基于扰动观测器的倾斜镜滑模控制

赵德春，宋延嵩，刘洋，董岩，2，张柏硕

（1 长春理工大学 电子信息工程学院，长春 130022）

（2 长春理工大学 空地激光通信国防重点学科实验室，长春 130022）

（3 长春理工大学 光电工程学院，长春 130022）

0 引言

在无线激光通信系统中，自适应光学系统中倾斜镜被广泛应用，能够实时校正光束偏移、稳定对准接收端［1］，具有运动惯性小［2］、响应速度快、角分辨精度高、抗电磁干扰能力强等显著优点。由大气湍流引起的整体倾斜约占扰动误差的87%［3］，因此，倾斜镜系统对于校正一阶倾斜起到至关重要的作用。

自适应光学系统中倾斜镜由于受到风振，设备振动和平台振动，严重影响了系统的闭环性能［4-5］，因此，为了达到光学的衍射极限，必须减轻振动。传统的闭环反馈控制对倾斜镜振动的抑制能力较差，导致闭环性能降低，因此，研究新的抗振技术对提高倾斜镜闭环性能至关重要。目前，已经有很多种抑制振动的方法，例如：文献［6-7］提出一种基于扰动的前馈控制对倾斜镜系统结构振动的抑制方法，该控制器可以产生高抑制带宽，因此不受低速率采样的限制，然而加速度计或者陀螺仪［8］的低频漂移和高频噪声严重影响了振动的估计精度。由于现有的控制系统带来了额外的控制问题，许多研究人员专注于设计先进的控制器来抑制振动。在积分控制器的前提下，提出了线性二次高斯控制器和H∞/H2控制器［9-10］来提高倾斜镜在振动下的闭环性能。然而，闭环系统的性能取决于控制对象的模型精度和振动，尤其是在倾斜镜控制系统中，如果存在较大的模型误差，会使系统性能大大降低。由于干扰通常发生在低频域［11-13］，而传感器噪声发生在高频域，因此在能够准确估计或测量干扰的情况下，采用扰动观测器对低频域的干扰进行抑制。在许多伺服控制系统中［14-16］，Q31-滤波器通常被用作最优滤波器，在控制带宽和鲁棒稳定性方面对闭环性能进行优化，然而在低频和中频干扰较大时，则需要低通滤波器的高带宽。滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）因其算法简单，具有强大的抗干扰能力和克服系统不确定性的能力，被广泛应用到工业中。然而，许多实际系统中存在的不确定性不满足系统的匹配条件。例如：由于参数变化和负载转矩造成的不确定性的永磁同步电机系统［17］，未对动力学建模、外部风振和参数变化引起集中扰动转矩的飞行控制系统［18］，对于这些系统，传统SMC 的滑模运动会受到不匹配扰动的影响，使其鲁棒性能大大降低。

本文提出一种新的SMC 方法，通过扰动观测器（Disturbance Observer，DOB）来抑制系统中的振动，设计一种新的基于扰动估计的滑模面，即使存在不匹配扰动的情况下，也能通过滑模面使系统状态渐进地达到理想的平衡状态。然后，设计了带有高频切换增益的不连续控制率，迫使系统初始状态到达所设计的滑模面。该方法的主要优点有：1）所提出的控制率中的高频切换增益只需要设计大于扰动估计误差的边界，而不需要设计大于扰动的边界，从而大大缓解了抖振问题；2）在不存在不确定性扰动的情况下，不会对系统造成不利影响。

1 传统滑模控制（SMC）方法

对于存在未知外部扰动的二阶系统，可表示为

式中，x1和x2分别为系统的状态量，a(x)为系统状态多项式，b(x)为带有系统状态的输入多项式，u为系统的输入，d(t)为外部扰动，y为系统的输出。传统的滑模面和控制率设计为

将式（1）代入式（2）可得

从式（3）中可以看出，只要式（2）中滑模控制率的切换增益k>cd*，系统（1）将在有限时间内驱动到滑模面s=0 上。令式（2）中s=0，可将状态量x1表示成

从式（4）中可以看出，即使式（2）中控制率能够使系统状态在有限时间内到达滑模面，系统状态也不能被驱动到期望的平衡点，这就是传统滑模控制方法。

2 基于扰动观测器的滑模控制（DOB-SMC）方法

针对传统SMC 方法不能有效的估计外部扰动，现设计一种DOB-SMC 方法，设计过程为：令x=[x1x2]T，系统（1）可以表示为

式中，f(x)=[x2a(x)]T，g1(x)=[0b(x)]T，g2=[1 0]T。设计一个可以估计式（5）中扰动的DOB为［19］

式中，，p，l分别为外部扰动的估计，DOB 的内部状态和待设计的观测器增益。基于式（6）对外部扰动的估计，定义了系统（1）在外部扰动存在下的新滑模面为

式中，c是一个待设计的控制参数。因此，提出基于DOB 的滑模控制率为

式中，k是符号函数的增益，sgn(s)=对提出的DOB 的滑模控制结构框图如图1所示。

图1 基于DOB 的滑模控制结构框图Fig.1 Block diagram of sliding mode control structure based on DOB

2.1 DOB-SMC 方法稳定性分析

对上述提出的控制方法进行稳定性分析。假设2：系统（1）中外部扰动的导数是有界的，且满足如果系统（1）满足假设1 和假设2，设计DOB 矩阵增益l，使lg2>0，则DOB 的扰动误差估计可以渐进跟踪系统的误差，那么

是全局渐进稳定的。其中ed(t)=d(t)-(t)是扰动的估计误差。假设3：式（9）中扰动的估计误差有界，定义为

如果系统（1）满足假设1～3，系统在控制率式（8）的前提下，切换增益k>(c+lg2)e*d，观测器增益l使得lg2>0，则闭环系统渐进稳定。

2.2 DOB-SMC 方法验证

对式（7）中定义的滑模面s沿系统（1）进行求导，将控制率式（8）代入可得

选取李雅普诺夫函数为

对式（12）求导，可得

当k>(c+lg2)e*d时，根据式（13）可以推导出系统状态将在有限时间内到达滑模面s=0 上。s=0 则表示

将式（14）与观测器相结合，得

在给定c>0 和lg2>0 的情况下，验证系统

是渐近稳定的。根据这一结果，可推出系统

对于任意有界的外部扰动以及有界的状态初始条件，状态总是有界的，并且当外部扰动为零时，系统总能恢复到平衡点。根据假设2 给出的条件，式（17）的状态满足说明在所提出的控制率下，系统状态将渐近稳定滑动到期望的平衡点。

因此得出结论，为了保证系统稳定性，传统SMC 方法和DOB-SMC 方法切换增益分别设计为k>c|d|，由于DOB 对外部扰动进行了精确的估计，因此可以使估计误差|的幅度比扰动的幅度小得多，使其收敛到0。因此，该方法可以在一定程度上缓解抖振问题。

3 仿真实验分析

考虑以下系统进行仿真研究，讨论DOB-SMC 方法的可行性，通过MATLAB Simulink 搭建倾斜镜控制模型，对比传统SMC 方法和DOB-SMC 方法的控制效果，控制参数见表1。

表1 控制参数表Table 1 Control parameter table

对系统分别输入阶跃信号和正弦信号，阶跃信号加入时间为0.1 s，正弦信号幅值为1 mrad，频率为100 Hz，加入幅值为100 μrad 的随机信号作为模拟对系统的扰动，阶跃响应扰动信号加入时间为0.1 s，正弦响应扰动信号加入时间为0.01 s。对响应曲线和进入稳态后的误差曲线进行对比，如图2、图3所示。

图2（a）中，与传统SMC 方法相比，DOB-SMC 方法的动态响应没有出现超调；图2（b）中，采用DOBSMC 方法抑制扰动效果明显，降低了系统误差。图3中，在没有扰动加入的情况下，传统SMC 方法和DOBSMC 方法都能很好的跟踪系统状态，加入扰动后，DOB-SMC 方法能够比较准确的跟踪系统状态，输出曲线更接近输入的正弦信号曲线。但是，由于选择了较大的切换增益来抑制扰动，两种方法都产生了很大的抖振。

图2 c=4，k=3 时阶跃信号响应曲线Fig.2 Graph of the step signal response of c=4，k=3

图3 c=4，k=3 时正弦信号响应曲线Fig.3 Graph of the sine response of c=4，k=3

根据第2 节中的结论，通过设置相对较小的切换增益来抑制抖振，控制参数见表2。

表2 控制参数表Table 2 Control parameter table

将切换增益k从3 减小到1，从图4～5 中可以看出，提出的DOB-SMC 方法可以通过降低切换增益来减小抖振。所提出的DOB-SMC 方法在抖振减小的情况下，仍然可以获得良好的控制效果，同时也验证了第2节中的结论。

图4 c=4，k=1 时阶跃信号响应曲线Fig.4 Graph of the step signal response of c=4，k=1

图5 c=4，k=1 时正弦信号响应曲线Fig.5 Graph of the sine response of c=4，k=1

4 实验验证

本文研究外部扰动对自适应光学系统中倾斜镜影响的SMC 设计。将自适应光学系统中倾斜镜等效为一个二阶质量-弹簧-阻尼系统，如图6所示。

图6 倾斜镜系统示意图Fig.6 Structure diagram of the tip-tilt mirror system

根据牛顿第二定律可得该系统的动力学模型表示为

式中，系统状态分别为倾斜镜位置x1，响应速度x2和系统的外部扰动d，x=[x1x2]T，A=倾斜镜系统参数见表3。

表3 倾斜镜系统参数表Table 3 System parameters of the tip-tilt mirror

将DOB、滑模面和控制率分别设计为

式中，c1，c2必须满足Hurwitz 矩阵，即P0(z)=c2z+c1=0，系统渐近稳定。B†u为Bu的广义逆矩阵。对式（21）中滑模面求导，得

令k>(c1+c2LBd)e*d，所提出的控制率能够保证系统的滑模运动，即系统在滑动模面上的状态能渐进移动到平衡点。控制参数见表4。

表4 倾斜镜控制参数表Table 4 Control parameters of the tip-tilt mirror

对传统SMC 方法和DOB-SMC 方法进行对比，在误差满足小于5 μrad 的情况下，搭建了实验系统如图7所示，在室内环境下进行了倾斜镜对模拟大气湍流的倾斜校正测试。实验装置分为两部分组成，发射部分和接收部分。发射装置作为模拟目标源，经过模拟大气湍流后到达倾斜镜系统，其由激光器和平行光管组成。接收装置为光端机的控制系统，由倾斜镜、变形镜、哈特曼传感器、CCD 相机、精跟踪伺服系统及上位机系统组成。

图7 实验装置图Fig.7 Experimental device diagram

发射装置的信标光和通信光是同轴发射，其中采用波长为785 nm 的激光器作为信标光源，波长为1 530 nm的激光器作为通信光源。倾斜镜选用芯明天P32 系列压电偏转镜，口径25 mm，方位轴和俯仰轴最大偏转角度为6 mrad，最小偏转分辨率为0.1 μrad；变形镜采用21 单元变形镜，口径35 mm；哈特曼传感器子孔径为7×7，单个子孔径占10×10 个像元。激光经10 m 平行光管整形后出射，光束经倾斜镜校正后入射至变形镜。CCD 相机的帧频设置为100 Hz，脱靶量信息从相机中获得，像元角分辨率为5 μrad/pixel，将相邻两帧间的脱靶量转换为微弧度，得到差值，在上位机上计算并显示均方根值。倾斜镜方位轴和俯仰轴实时校正结果如图8～9 所示，位置误差结果如图10～11 所示。

图8 倾斜镜方位轴校正曲线Fig.8 Azimuth axis calibration curve of the tip-tilt mirror

图9 倾斜镜俯仰轴校正曲线Fig.9 Pitch axis calibration curve of the tip-tilt mirror

图10 倾斜镜方位轴校正误差曲线Fig.10 Azimuth axis correction error curve of the tip-tilt mirror

图11 倾斜镜俯仰轴校正误差曲线Fig.11 Pitch axis correction error curve of the tip-tilt mirror

图8～9 中，采集的数值为倾斜镜方位轴和俯仰轴的校正实时值，与传统SMC 方法相比，DOB-SMC 方法校正曲线较平稳，实时校正误差可以根据图10～11 对比看出，在相机视场中，X脱靶量对应倾斜镜方位轴，Y脱靶量对应倾斜镜俯仰轴，将采集到的脱靶量数据计算出均方根值，对比两轴的校正误差。DOBSMC 方法的控制性能要优于传统SMC 方法，抑制扰动幅度较小，在采用传统SMC 方法时，方位轴的误差均方根值（Root Mean Square，RMS）为1.64 μrad，俯仰轴的误差RMS 为1.97 μrad，采用DOB-SMC 方法时，方位轴的误差RMS 为1.08 μrad，俯仰轴的误差RMS 为1.61 μrad。该控制策略下，控制反馈精度优于5 μrad，整体性能相较于传统SMC 大大提高。

5 结论

针对倾斜镜抑制外部扰动的控制问题，提出了一种基于扰动观测器的滑模控制方法来减小误差，设计了一种新的滑模面，该滑模面包含了扰动估计，在不确定扰动的情况下，沿滑模面的滑模运动可以将系统状态驱动到期望的平衡点。该方法在没有扰动存在的情况下可以与传统滑模控制相同，但是在系统状态发生变化的时候会抑制抖振。仿真和实验都验证了该方法的有效性和优越性。实验结果表明，倾斜镜方位轴误差RMS 为1.08 μrad，与传统SMC 方法相比，控制精度提高约51.2%，俯仰轴误差RMS 为1.61 μrad，与传统SMC 方法相比，控制精度提高约21.8%，保证了倾斜镜的波前探测精度。由于室内实验时扰动对系统影响较小，保留了3 μrad 的提升表现，为后续室外实验留有余量。