梯形中的蝴蝶定理模型应用探究

沈建新

【摘要】 几何模型与数学学习息息相关，它们在新知探究过程中生成，在解题训练中得到巩固与提升.在问题解决过程中，能不能建构出有效的几何模型至关重要. 本文以梯形中的蝴蝶定理模型为例展开探究，以飨读者.

【关键词】 蝴蝶定理;构造模型;面积问题

例如图1，梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则四部分面积之间有怎样的关系？

分析 因为AD∥BC，

所以△ABC和△DBC同底等高，

可得S△ABC=S△DBC，

所以S△ABO=S△DCO，

即S2=S4.

又因为S1S2=DOBO=S4S3，

所以S1·S3=S2·S4.

结论 ①S2=S4，即左、右两部分面积相等.

②S1·S3=S2·S4，即上、下两部分的面积之积等于左、右两部分的面积之积.

阴影部分是不是很像蝴蝶的翅膀？所以我们把这个定理形象地叫做蝴蝶定理.蝴蝶定理为我们提供了解决四边形的面积问题的一种途径.通过构造蝴蝶定理模型，直接应用结论，往往能在解题中起到事半功倍的效果.

1 在平行四边形中的应用

例1 如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，连接OE，OF，EF，EF与OC相交于点G，已知△CEF，△OEF，△ODF，△BOE 的面积分别为2，4，4，6，求△CEG的面积.

解 如图3，因为ABCD是平行四边形，

所以OB=OD，易得

S△BOC=S△DOC=12S△BCD=12×16=8，

所以S△COE=2，S△COF=4.

又因为S△ODF=S△COF=4，

所以F为CD中点，

即OF为△BCD的中位线，

所以OF∥BC，

四边形OECF为梯形.

设S△CEG=x，则S△CFG=2-x，

S△OFG=2+x，S△OEG=2-x，

根据梯形中的蝴蝶定理模型结论②，可列方程

x（2+x）=（2-x）×（2-x），

解得x=23，

即S△CEG=23.

2 在矩形中的应用

例2

如图4，E，F是矩形ABCD的边AB上的两点，CE，DF相交于点O，已知△OCD面积为8，△OEF面积为2，四边形AEOD的面积为5，求四边形BCOF的面积.

解 如图5，连接DE，CF，根据梯形中的蝴蝶定理模型结论②，可得

S△OEF·S△OCD=S△DOE·S△COF，

根据结论①得S△DOE=S△COF，

所以根据题中条件可得

S△DOE=S△COF=4，S△AED=1.

因为△OEF∽△OCD，

面积比为1∶4，可得相似比为1∶2，

设EF=x，则CD=2x，

又因为S△EFD∶S△AED=6∶1，

可得EF∶AE=6∶1，

所以AE=16x，

则BF=56x，

所以BF∶AE=5∶1，

得S△BFC∶S△AED=5∶1，

所以S△BFC=5，

则四边形BCOF的面积为9.

3 在正方形中的應用

例2图6

如图6，正方形ABCD和正方形EFCG并排放置，AG与CF相交于点H.已知CH∶CF=1∶3，△CHG的面积为6，求五边形ABGEF的面积.

解 如图7，连接正方形对角线AC，FG，易得

∠ACB=∠FGC=45°，

所以AC∥FG，

四边形ACGF为梯形.

根据梯形中的蝴蝶定理模型结论①，可得

S△AHF=S△CHG=6.

已知CH∶CF=1∶3，可得CH∶HF=1∶2，

根据等高三角形的面积比等于对应底之比，可直接得

S△ACH=3，S△FHG=12，

所以S△AHF·S△CHG=S△ACH·S△FHG，

即蝴蝶定理模型的结论②也得到验证.当然此题也可通过结论②解决.

因为AC∥FG，

得△ACH∽△GFH，

CH∶HF=1∶2，

得相似比为1∶2，可得面积比为1∶4，

设S△ACH=x，则S△GFH=4x，

由S△AHF·S△CHG=S△ACH·S△FHG，得

6×6=x·4x，解得x=3，

所以S△ACH=3，S△FHG=12.

易得△ABC∽△FCG，

相似比为AC∶FG=CH∶HF=1∶2，可得面积比为1∶4，易得S△FCG=18，

所以S△ABC=4.5，

所以S△ABGEF=S△ABC+S△ACH+S△AHF+

S△FCG+S△EFG

=4.5+3+6+18+18

=49.5.

4 在梯形中的应用

例4

如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点F，E为线段DF上一点.已知S△ADE=1.8，S△ABF=9，S△BCF=27，求△AEC的面积.

解 如图9，根据梯形中的蝴蝶定理模型结论①，可得

S△ABF=S△DCF=9.

再根据结论②求得S△ADF=3，

所以S△AEF=1.2，

又因为S△ABF∶S△BCF=1∶3，

所以AF∶CF=1∶3，

得S△AEF∶S△CEF=1∶3，

则S△CEF=3.6，

所以S△AEC=S△AEF+S△CEF=4.8.

此题中你会发现S△AEF·S△BCF=S△ABF·S△CEF，

即蝴蝶定理模型结论②在任意四边形中都是成立的.

0

如图10，因为

S1S2=DOBO=S4S3，

所以S1·S3=S2·S4，

而结论①则不适用.

只有当AD∥BC，

即ABCD为梯形时，结论①才成立.