二元一次方程组的分析与解答

杨芬

【摘要】 二元一次方程组属于初中数学教学的过渡部分，可以为学生的一次函数学习奠定基础.二元一次方程组是初中考试中的重要组成部分.本文主要探究二元一次方程组的分析与解答，并提出相关意见，予以参考.

1 二元一次方程组的有关概念

（1）二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成.

（2）能够使方程两边拥有相等值的解二元一次方程组的解.

2 二元一次方程组的解法

在二元一次方程组的求解过程中，无法同时求出两个未知数，应先求出其中一解，再得出另外一解，将方程组的求解过程转变为一元一次方程组的求解过程，此种求解方式被称为消元法.在二元一次方程组求解中，代入法及加减法是最为常用的解题方法.

代入消元法

此种解决方式主要利用一个代数式代替其中一个方程的未知数，并将代数式代入到另一个方程中，消去未知数的同时，得到解.代入消元法也可称之为代入法，以下是代入法解二元一次方程的主要步骤：

（1）应选择难度系数较低的二元一次方程进行变形，将其中一个未知数利用某一代数式替换.

（2）在变形完成后，将变形方程代入另一个方程内，消去一个未知数，得到一元一次方程，注意，在代入过程中不能代入原方程，应代入未变形的方程内，实现消元.

（3）对一元一次方程进行求解，得出未知数值.

（4）把所得未知数值代入已变形的方程中，解出另一个未知数.

（5）用“{”将两个未知数的值联立，得到方程组的解;

（6）最后一步是对所得解进行检验，验证正确与否.需要注意的是，应代入方程组进行检验，观察等式两边所得值是否相同.

例1 解方程组：3x+5y=8，2x-y=1.①②

解 由②得，y=2x-1，③

代入①得3x+5（2x-1）=8，

解得x=1.

将x=1代入③，得

y=2×1-1=1，

所以原方程的解为x=1，y=1.

加减消元法

如果出现两个方程组中存在未知数系数相等或互为相反数时，应将两边方程进行加减进行求解，此种解法叫加减消元法，也可称之为加减法.

加减法解二元一次方程组的步骤：

（1）可以使用等式基本性质，改变原方程组中某一未知数系数相等或互为相反数的形式.

（2）应用等式性质将变形后的方程进行相加或相减，消去其中一个未知数，得到一元一次方程，需要注意的是变形应该将方程两边乘以相同的数，如果未知数系数相同可以用减法，如果未知数系数互为相反数可以用加法.

（3）求解一元一次方程，得出未知數值.

（4）把所得未知数值代入原方程组任一方程，解出另一个未知数.

（5）用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解;

（6）应将所得解代入方程组中，计算等号两边数值是否相同.

例2 解方程组：3x-y=5，5x+2y=23.①②

解 ①×2+②，得 11x=33，

解得x=3，

将x=3代入①，得 y=4.

所以原方程的解是x=3，y=4.

3 二元一次方程组的应用

在解二元一次方程组应用题时需要特别注意的是应该将应用题中存在的等量关系找出，并列出二元一次方程形式进行解题.以下是应用题列二元一次方程的解题步骤：

（1）仔细审题，找出应用题中存在的等量关系的两个量，用x，y代替;

（2）找到等量关系;

（3）根据两个等量关系，列出方程组;

（4）解方程组;

（5）检验作答.

例3 现有大篮子和小篮子，两个大篮子与三个小篮子每次可以装15.5斤物品，五个大篮子与六个小篮子每次可以装35斤物品，求三个大篮子和五个小篮子每次可以装多少斤物品？

解 此题最主要的解题思路是求出每个大篮子和每个小篮子每次能装多少斤的物品，因此可以假设大篮所装物品斤数为x，小篮子每次可装物品斤数为y，由此找出此题目中存在的等量关系.

（1）2个大篮子每次所装物品+3个小篮子每次所装物品=15.5;

（2）5个大篮子每次所装物品+6小篮子每次所装物品=35.

列出方程组2x+3y=15.5，5x+6y=35，

解得x=4，y=5，

所以4×3+2.5×5=24.5（斤）.

答：3各大篮子与5个小篮子一次可以装24.5斤物品.

例4 在某节日期间，某商场有折扣活动以抽奖的方式决定顾客折扣力度.一顾客购买a，b两种商品，抽到7折和9折，共计386元，两种商品原价共500元.问：两种商品的原价各是多少？

解 设甲、乙两种商品的原销售价分别为x元、y元，根据题意得

x+y=500，0.7x+0.9y=368，

解得x=320，y=180.

答：甲、乙两种商品的原销售价分别为410元、90元.

4 含有字母参数的二元一次方程组的解法

解含有字母的参数方程组，应先将参数当成常数求出方程组的解，再利用方程组的解的限制条件构造以参数为未知数的方程或不等式求解.

例5 已知关于x，y的方程组x=6k-27，x-y=9-3k，有正数解，求k的取值范围.

解 想要求出k的取值范围，应创建k的不等关系式（组），根据已知条件可知方程组有正数解（即x>0，y>0）.

首先解方程组得x=6k-27，y=9k-36，

由方程组有正数解，可得

6k-27>0，9k-36>0，

解不等式组得k>4.

结语

二元一次方程组的学习不仅可以锻炼我们有效分析题目中的等量信息，还可以促使我们将所学知识应用与实际生活中，利用二元一次方程知识解决生活中遇到的问题，在学习过程中要注意观察生活中存在的等量关系，并对其进行分析及归纳.