基于自然采样确定PWM 逆变器脉冲沿的近似算法

屈宝丽

（西安交通工程学院，陕西西安 710300）

脉冲宽度调制（Pulse Width Modulation，PWM）是功率变换器控制技术的一种重要方法[1-2]。在当前的技术水平上，脉宽调制中的3 个区域在所完成的解决方案中具有一定的自主性，3 个区域分别为脉冲宽度调制的切换策略（与切换脉冲边沿的产生有关）、逆变器输出电压基波谐波幅度的调节以及逆变器输出电压和电流的谐波失真[3-4]。PWM 技术是基于调制函数的方法，调制函数包含所需波形的信息，而信号载波包含开关频率的信息。调制信号和脉冲载波的交点确定了调制信号的脉冲沿，这是涉及自然采样调制函数方法的所有模拟实现的基础[5-6]。

脉宽调制器输出端的信号定义了逆变器支路的开关函数，用于控制支路内开关的导通状态。逆变器输出端交流电压的合成、幅值和频率的调节是通过逆变器支路中的开关动作来完成的。

基本的PWM 方法与脉冲沿的确定方式有关，基于调制信号和载波信号交叉的脉冲沿检测属于自然采样技术。自然采样技术的缺点是与决定脉冲沿的角度和调制函数有关[7-8]。常规采样法是调制函数法数字化实现的基本解决方案，由于调制函数是在离散点上指定的，因此常规采样方法具有较大的灵活性。自然采样法在谐波含量的线性度、基波幅值的调节范围等方面均优于常规采样法。

空间矢量调制作为三相逆变器PWM 的矢量方法已经得到了应用[9-10]，其具有以下优点：①支持向量机扩展了线性调制范围，无需将三次谐波注入正弦调制函数；②与基于正弦调制函数的常规方法相比，空间矢量调制方法的谐波含量更低；③空间矢量调制较低的开关损耗仅由一种状态决定。

文献[11]详细分析了基于载波的PWM 方法及其与空间矢量法的关系。利用简单的变换，调制函数从时域变换到复域，其中参考矢量以与时间调制函数的角频率相等的角速度旋转。文献[12]证明了经典方法SVM 与注入三次谐波和正则采样技术的正弦函数调制方法完全相同。在以上研究的基础上，文中根据调制函数方法提出了一种近似的PWM 采样算法，该算法将先验方程式替换为导出的代数表达式即可实现任意精度的自然采样。

1 调制函数法

调制函数法的一般特点：调制器输出端的脉冲合成是在参考信号和信号载波的基础上进行的。参考信号是一个周期函数，其频率等于逆变器输出电压的基频，幅值与基频谐波的幅值成正比例[13-14]，调制函数是参考信号的解析表示，其一般式如下式所示：

其中，参数M表示调制幅值指数，参数ω表示逆变器交流电压函数的基频，ωt可以是连续的，也可以是不连续的[15]。

在经典的PWM 方法中，载波信号是一个三角半周期的交流信号，频率为fc，幅值为1。载波信号频率和参考信号频率的比值决定了调制的频率指数。当频率指数是整数时，该指数表示的是脉冲数p，是同步调制函数方法的一个特征。调制函数法的另一个的特征是在载波信号的频率不变时，基频连续变化。在这种情况下，由于脉冲具有非周期性，因此次谐波的出现对较低基频的负载产生不利的影响[16-17]。

与脉冲沿确定方法无关，调制器输出端信号的基本特征是二进制形式，输出的是调制宽度。通过开关函数将信号转换到开关元件的状态。调制器输出的脉冲沿通常是在参考信号和载波信号的基础上，由自然或常规采样方法确定。在三相逆变器的情况下，调制函数除了基本分量外，还包含三阶分量，这些分量在整个负载中起中和作用。

1.1 常规采样法

在常规采样方法中，参考信号被离散化，通过比较载波信号和离散化的参考信号来确定脉冲沿，这意味着该方法可数字实现。因此，与自然采样方法相比，常规采样方法的优点是可以控制微处理器，自然采样法的脉冲沿是由参考三角信号与载波三角信号交叉得到的超越方程的迭代解来确定的。图1给出了采用调制函数法和常规采样的合成半桥逆变器的输出电压。

图1 合成半桥逆变器的输出电压

为了确定开关函数，必须确定对应于开关频率周期的脉冲宽度p，输出端的交流电压由开关函数α(ωt)通过以下表达式确定：

电压μA0表示调制器输出脉冲的周期序列的副本，该电压可用傅里叶级数表示，如式（3）：

如果载波频率远高于参考信号基频(ωc＞15ω)，则在谐波频谱的较低范围内，可以进行近似，则有以下关系：

由上式可知，逆变器输出电压谐波频谱的较低部分对应于标度系数为M/2 的参考信号的频谱。

1.2 空间矢量调制及其与调制函数的关系

使用调制函数方法的PWM 基本组成元素是参考信号，参考信号表示逆变器三相负载上确定的相电压映射，而载波信号则可以确定逆变器支路的开关频率，这些元素是合成支路三相逆变器的开关函数所必需的，并且这些函数与相位和线路交流电压线性相关。与之不同的是，支持向量机的基本成分是参考电压矢量和逆变器的开关状态。空间矢量法的实质是使用两个映射逆变器开关状态的有效矢量逼近旋转矢量的平均值。

连续矢量调制函数是由经典的支持向量机方法得到的。在每个扇区内，交换扇区是由连续矢量组成的对称交换状态序列。通过将此原理应用于活动连续矢量状态，可以找到每个扇区中活动状态和零状态的时间。利用时间序列的不变性，可以求出逆变器支路开关函数的平均值。另一方面，通过对称采样，可以得到开关函数的平均值，即αˉ(ωt)=0.5[1+F(M,ωt)]。使用SVM 方法将此公式与获得的平均值进行平衡，得到向量调制函数。利用模拟过程和由非连续空间矢量合成参考矢量，可以得到不连续调制函数。

2 近似采样算法

在近似采样算法中，用直接确定近似解的方法代替了求脉冲边角的迭代方法。以脉冲个数为参数，将脉冲沿的角度视为调幅指数的函数，因为调幅指数是连续变化的，而脉冲数在频率控制的单一范围内保持不变。在该方法中，脉冲沿的角度由多项式近似，多项式的最高阶决定了与自然采样相比所获得解决方案的优劣程度，并且不影响近似采样算法的适用性。多项式近似是没有限制的，适用于所有已知的调制函数和三角载波信号。

调制函数的载波信号是三角半周期的周期性交流信号。参考信号和载波信号的相位位置由一个公共零点同步，有两种情况可能导致不同的脉冲角度值。第一种情况，相同符号(s=1)半周期的相位零点是同步的；第二种情况，不同符号(s=0)半周期的相位零点是同步的。从PWM 信号控制和合成的角度来看，可以应用近似过程来获得根据振幅指数值计算脉冲宽度的分析表达式。逆变器输出电压的幅度和频率调节是通过幅度指数的连续变化和频率指数p的离散变化来实现的，在恒定的频率指数下，脉冲沿的角度相对于参考频率和载波频率的变化是不变的。

在实际应用中，用近似多项式确定脉冲沿消除了迭代数值过程，根据脉宽计算方法可以得到任何调制函数。当幅值为0 时，调制器输出的脉冲是具有相同角宽度的信号。

3 结果分析

由于基于自然采样确定PWM 逆变器脉冲沿的近似算法产生的脉冲序列交流分量具有奇对称性，因此逆变器交流电压的傅里叶展开式只包含正弦分量。电压第n次谐波的幅值由以下表达式给出：

由上式可以得到电流失真系数与振幅指数的函数关系。根据振幅指数M，令n=1 可直接获得调幅指数。由于二阶多项式算法给出的脉冲沿的角度与使用自然采样法获得的脉冲沿的角度的偏差相对较小，因此相同的结论也适用于脉冲产生的基波振幅二阶多项式算法。使用多项式算法可显著降低幅度调制的失真系数。数值分析和仿真结果表明，在低频指标下，该采样方法在失真系数和最大调制幅度系数方面都具有优势。

当二次多项式算法应用于正弦调制函数时，p=6的结果已经接近理想自然采样方法。实验结果表明，在较高的频率指标下，所有算法都收敛到相同的失真系数值和相同的电压调节幅值特性。由于三相逆变器的桥式结构是由3 个半桥组成的，所以上述结果可应用于三相逆变器的计算。当应用于矢量调制函数时，所提出的多项式算法也显示出了其主要优点。在频率指数p≤15 时，算法可以给出振幅特征的最大值，与常规采样方法相比最大值有较大的提高，同时还降低了失真系数。为了说明这一点，假设p=6 和m=1，多项式算法使基谐波的振幅降低为0.567 2，失真系数DIS为5.676 1%。如果在相同条件下应用常规采样方法，则振幅降低为0.552 1，失真系数DIS 为8.408 7%。就幅度特性而言，使用相反符号s=0的同步半周期可以实现p=9和p=21的最佳结果。

4 多项式算法的实现及实验结果

自然采样数字实现的基本特征是迭代过程和浮点数格式的数据处理，这是确定脉冲边角表达式的超越性结果。逆变器输出电压基波谐波的幅值与脉冲数的关系如图2 所示。电压失真系数DIS 与脉冲数的关系如图3 所示。

图2 电压基波谐波的幅值与脉冲数的关系

图3 电压失真系数DIS与脉冲数的关系

通过时域转换，可以得到在适当的开关频率周期内的第k个脉冲位置。现代微控制器配备了集成的外围设备，用于合成调制信号，进而控制逆变器支路的开关状态。Intel 的微控制器8XC196MC/MD 采用调制函数法对PWM 的实现进行了优化，它包含了调制信号发生器，大大简化了选择算法的程序实现，并减少了对外部硬件设备的需求，从而能够合成3组独立的互补调制信号，具有共同的开关频率和保守确定的“死区”时间。采用多项式算法的基本条件是程序实现所需的时间必须小于载波信号周期的一半。调幅指数可以从显示输出振幅与频率的依赖关系存储表中得到。

实验模型是为多项式算法的实际实现设计的，它包含3 个基本单元。

1）电压三相逆变器：实现了一次多项式算法和矢量调制函数。

2）三相异步电机：其标称电压为380 V；额定电流为5.3 A；功率因数cosφ为0.81；额定功率为2.2 kW；额定转速为1 410 r/min。

3）电动制动器：其额定功率为2 kW；额定转速为1 500 r/min。

实验结果表明，采用多项式算法对常规的2.4 kHz开关频率选择算法进行改进是可行的。对于较高的开关频率，在线计算脉冲沿位置所需的时间对于开关段的不对称性至关重要。文中实现了输出频率为40 Hz，脉冲数p=60 的一次多项式算法的应用。将多项式算法与矢量调制函数合成得到的线电流和相电压波形图如图4 所示。

图4 线电流和相电压波形图

5 结论

文中提出了一种新的基于调制函数的自然采样PWM 算法，该算法无需迭代即可实现自然采样。结果表明，脉冲沿的角度可以用多项式来逼近，多项式的最高阶决定了与自然采样相比所得解的近似度量。在简单性方面，自然采样PWM 算法与常规采样方法相比较，仿真结果表明，该算法保留了PWM 自然采样技术的所有优点，使逆变器输出的电压质量得到了改善。