真空态下高Q腔中的静态Casimir效应

巴合提古丽·阿斯里别克，吐尔逊·艾迪力比克，郑泰玉

(1.伊犁师范大学电子与信息工程学院光电材料与器件实验室，新疆 伊宁 835000；2.东北师范大学物理学院，吉林 长春 130024)

1948年，荷兰物理学家Casimir首次预言了置于真空中且靠得很近的两块电中性平行金属板之间存在吸引力[1].1956年，俄国物理学家Lifshitz对Casimir效应做了进一步的研究，提出了介质板之间的Casimir力[2]，并考虑了有限温度对Casimir力的影响.目前为止，Casimir效应已经被多种实验所证实[3-5].研究显示Casimir效应与很多因素有关，如腔的大小和形状、有限温度、环境性质、时空维度、边界性质等[6-9].随着纳米技术和微观系统科学的不断发展，Casimir效应已有了广泛的应用前景.例如，随着超大规模集成电路的发展，人们开始考虑Casimir效应对微电子技术的影响.Casimir效应不仅在量子力学范围具有重要作用，在物理学的其他领域也具有重要价值，例如：凝聚态物理、量子场论、原子分子物理、数学物理、引力和宇宙学等[10-12].

本文研究的是由处于真空态的两平行板组成的系统，其中一端是具有输出耦合的一维腔场.基于光场环境模式，利用正规化方案，求出高Q腔中两块平行板之间Casimir力的解析表达式，并对此表达式进行了分析和讨论.

1 系统的模型

图1 一端输出耦合的一维腔

本文研究的系统是一端具有输出耦合的耗散腔，如图1所示.该耗散腔由放在x=0处的半透明镜和放在x=-L处的全反射镜组成，半透明镜的透射率为t，反射率为r.为了简单起见，设线偏振的电磁波在x方向传播，定义磁场的偏振方向为z轴，而电场的偏振方向为y轴.

假设半透明镜不吸收，透射率t和反射率r满足如下关系：

(1)

r*t+t*r=0.

(2)

系统中的耗散腔可通过半透明镜与外界交换能量，因此会引起腔模式的衰变.本文研究的系统采用Lang等[13]提出的一种环境模式.在环境模式中，系统由一系列分立的量子化谐振子模式组成，而外界是由另一种连续的量子化谐振子模式组成.

根据环境模式，腔内电磁场可描述为[13]：

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

腔真空态可表示为

|0〉=⊗nk|0nk〉.

(8)

其中真空态|0nk〉对任意的n，k满足

(9)

2 高Q腔中的Casimir力

耗散腔中两平行板之间的Casimir力f等于零点能E0对腔长度导数的梯度.即

(10)

因此，首先计算零点能.腔场零点能可表示为

(11)

(12)

(13)

将(3)式和(4)式代入(13)式，并利用(6)—(9)式，计算得

(14)

根据Poisson’s的求和函数[14]，并假设透射率t和反射率r与波数k无关，可得环境模式中的函数L(k)的平方为[15]

(15)

其中：

(16)

(17)

(18)

(18)式中，Δ代表失谐量，当arg(r)<π时，x=0处的透镜是半透明镜，当arg(r)=π时，是全反射镜.把(15)式代入(14)式，对k积分得

(19)

利用黎曼Zeta函数

(20)

整理得

(21)

其中

(22)

把(21)式代入(10)式可得输出耦合一维腔中的Casimir力

(23)

当arg(r)=π时，得到

(24)

这与两块理想平行导体板之间的作用力一致[16].

3 讨论

根据Casimir力的表达式(23)式，讨论Casimir力和相关参数之间的变化关系.这里有2个参数，分别为腔尺寸(两板间距)L和介质板反射率r.通过Matlab求解方程(23)式的数值解，画出Casimir力和两板间距的关系图，如图2所示.从图2可知Casimir力为吸引力，且随着腔尺寸L的增加而减小，这与理想腔的结果一致.

为了考虑Casimir力和半透明镜反射率的关系，在反射率取不同值的条件下，讨论Casimir力和腔尺寸之间的关系平面图，如图3所示.图3中虚线表示的是反射率函数arg(r)=0.9π时的Casimir力，而实线表示的是反射率函数arg(r)=0.7π时的Casimir力.从图3可知，腔的尺寸不变时，虚线表示的Casimir力始终比实线表示的Casimir力大.这表明高Q腔中的Casimir力随着反射率的增加而增加.根据这一结果，可以通过调节腔壁反射率的大小来调节Casimir力.

图4表示两板之间Casimir力、介质反射率和腔尺寸之间的变化关系.从图4可知，两平行板之间的Casimir力随腔壁反射率的增加而增加，随两板间距的增加而减少.

图2 耗散腔中Casimir力随腔尺寸的变化曲线

图3 尺寸为L的真空腔中Casimir力和腔壁反射率之间的关系

图4 Casimir力与耗散腔两平行板之间的距离、腔壁介质板反射率之间的变化关系

4 总结

利用全量子理论研究了真空态下高Q腔中的Casimir效应.推导了处于真空态下一端具有输出耦合的一维腔中平行板之间Casimir力的解析表达式.在此基础上，分析了腔尺寸、腔壁介质的反射率对两平行板之间Casimir力的影响.研究结果有助于进一步研究Casimir效应的相关问题.