“三招”破解平面向量数量积的最值问题

周小宏

平面向量兼有“数”和“形”两种身份，因而解答平面向量问题往往可从“数”和“形”两方面人手，寻找不同的解题思路.平面向量数量积的最值问题主要考查平面向量的数量积公式、数乘运算法则、三角形法则、平行四边形法则、模的公式等.其命题形式多种多样.那么，如何选择合适的方法进行求解呢？下面结合实例来进行探讨.

一、基底法

基底法是求解平面向量问题的重要方法.由平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，可知平面内的任意一个向量都可用基底表示出来.若不易求得目标向量，可根据几何图形的特点，选择两个基底，将目标向量用基底表示出来，通过平面向量运算求得数量积的表达式，再根据几何图形的特点和位置关系找出表达式取得最小值的情形，即可求得平面向量数量积的最值.

二、坐标法

有些平面向量数量积的最值问题涉及的图形为规则图形，如矩形、直角三角形、等腰三角形等，此时，可根据几何图形的特点寻找垂直的两条线段，据此建立平面直角坐标系，设出或求得各个点的坐标，并求得各个向量的方向向量，便可通过平面向量的坐标运算求得数量积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.

三、函数性质法

对于与动点有关的平面向量数量积的最值问题，常需运用函数性质法求解.首先需根据解题需求设出变量，然后根据平面向量的基本定理、共线定理、数乘运算法则、数量积公式等求得目标式，再将其看作函数式，利用函数的有界性、单调性、最值来求得数量积的最值.

我们根据平面向量的共线定理，设出参数t，并用t表示出 OP·AP，然后将其看作关于t的二次函数式，通过配方，便可利用二次函数的有界性求得数量积的最小值.

相比較而言，基底法比较常用，且适用范围较广;坐标法和函数性质法虽适用范围较窄，但运算量较小.在解题时，同学们可根据题意和几何图形的特点灵活选用. （作者单位：江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区）