怎样选用合适的方法来求函数的值域

景庆

求函数的值域问题的难度一般不大，但具有较强的综合性.解答此类问题，需灵活运用函数的解析式、定义域、性质、图象以及不等式的性质.求函数值域的方法有很多，很多同学在求值域时经常找不到合适的方式.下面结合实例，谈一谈如何根据不同的题型选择合适的方式求解.

一、利用基本不等式

基本不等式：若a、b>0，则a+b≥√ab，当且仅当a=b时等号成立.若函数中含有双变量，或函数式是两个代数式的和、积，则可利用基本不等式来求函数的值域.运用基本不等式求函数的值域，往往要将函数的解析式进行适当的变形，构造出两式的和或积，并使其中之一为定值，再运用基本不等式或其变形式

通过三角换元，将函数值域问题转化三角函数最值问题，利用正弦函数的有界性和单调性即可求得函数的值域.在换元的过程中，要注意确保定义域的等价性.

三、局部换元

局部換元法是解答代数问题的重要方法.对于较为复杂的代数式、函数式，往往可采用局部换元法求解.通常可将根号下的式子、绝对值内部的式子、分式的分子或者分母等用一个新元替换，这样便可将函数式化简，将问题转化为关于新元的值域问题来求解.

可见，求函数的值域，往往要仔细分析、研究函数的解析式，将其进行合理的变形，如将其配凑成两式的和或积，并使其中之一为定值，将某一部分或某个式子用三角函数式、新元替换，再选择与之相应的方法，利用基本不等式、三角函数与函数的性质、图象，即可轻松求得问题的答案.

（作者单位：江苏省常州市金坛第一中学）