重建三角，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议

王婷婷

一、 引言

为了发展学生的综合素养、促进学生的社会实践、确保初中数学教学能够取得新的突破及成效，教学经验丰富的教师开始立足于学科教学的教学条件，以改革课程结构为基础，在全面调整以及优化的过程中鼓励学生自由分散，深化学生对数学知识的理解及认知。在传统的课程内容中，三角函数被引入为直角三角形两条边的比值。该定义依赖于相关相似三角形的专业知识，只定义了锐角的三角函数。其实三角函数的定义只是给三角函数一个几何模型，几何模型应该有多种选择。其中重建三角最为关键，教师需要着眼于这一学科教学重难点，在指导和鼓舞学生的过程中夯实学生的学习基础，确保学生能够实现自主探索和大胆想象。只有这样才能够充分凸显初中数学教学的重要价值及优势，全面提升学生的数学核心素养，顺利完成前期的育人目标。

二、 重建三角与初中数学课程结构性改革

我们可以换一个思路给三角学重新定位，将三角、几何、代数有机地结合在一起，进行逻辑结构的改造，重新构造课程体系。在中学数学课程中三角占得比重比较大，教师需要立足于这一基础性的板块，关注不同学科之间的紧密联系及互动，了解各个学科板块之间的内在逻辑联系。几何与代数最为关键，三角是连接两者的重要桥梁，有助于深化学生对所学知识的理解，促进初等数学向高等数学的顺利过渡。不管是向量、函数、坐标还是复数都与学生的三角知识学习存在一定的联系，教师需要关注对数学实际问题的深入分析以及研究，与学生共同探索，保证学生能够灵活运用三角知识解决其他知识板块的难题。与几何相比，三角的学习难度相对偏低，学生更容易上手，同时兴趣十足。

许多教育学家十分关注对课程教学体系的分析以及研究并提出了不同的改革方案，加大对三角知识板块的投入及支持力度，适当删减几何内容。这种教学模式能够更好地促进学生的数学学习和社会实践，对推进初中数学教学改革有重要的影响。在新课程改革不断深入的今天，初等数学教学中三角的地位仍然非常高，难以动摇。有一部分学生的学习能动性欠缺，学习基础还有待夯实。在学习三角知识时有的学生感觉比较困难，存在许多理解上的困惑，教师则可以根据数学课程改革活动的开展现状，融入更多的趣味性元素，了解课程教学的具体内容，注重不同板块的教学衔接。让学生能够实现自主想象和大胆探索，以此来更好地加强对课堂教学时间的合理把控。从正弦定理可以推出相似三角形的基本定理：“若两个三角形的三个角对应相等，则对应边成比例。”由余弦定理立刻可以推出“若两个三角形的对应边成比例，则对应角相等”，以及相似三角形的“边角边”判定法则。

三、 初中数学中重建三角的具体含义

中华人民共和国成立以来，实施了十余项数学初中课程标准。对三角形的内容，关键要求学生掌握锐角和特殊角的三角函数值以及三角函数处理直角三角形问题的应用。《义务教育数学课程标准(2011年版)》对三角内容的学习要求基本没有变化。要求学生探索和理解锐角的三角函数，掌握特殊角的三角函数值，并能运用计算方法求锐角的三角函数值，可以用锐角三角函数解直角三角形。数学在初中教育阶段中扮演关键的角色，这门课程有极强的实践性和应用性，教师需要注重环环相扣，有效调整教学思路。以重建三角为基础，明确这一重要育人目标的具体含义，优化教育教学策略及思路，确保对症下药。

首先，在解决几何问题时三角非常关键，教师则需要意识到这一教育板块的工具作用，利用这一有力的工具来训练学生的战术变化能力，关注学生的学习兴趣，了解几何与代数学习的重要要求及核心，灵活利用多种现代化的教育教学策略主动重建三角。从逻辑体系上来看相似三角形相对比较简单，能够实现对三角函数的准确定义。教师所需要立足于三角与几何学习之间的相关性，明确代数课程与其他课程板块之间的逻辑联系，确保三角重建，充分凸显这一教育板块的指导作用，为学生的几何学习和代数学习指明道路及方向。逻辑结构的改造最为关键，传统的课堂教学比较机械，教师直接将三角函数与直角三角形相等同，通过简单的比值引进来实现模糊性定义。其中相似三角形的提示最为关键，但是这一点只能够对锐角的三角函数进行定义，学生会出现诸多的模糊认知，无法对三角函数进行准确深刻的定义。三角函数的几何模型分析比较复杂，教师只需要提供给学生多个不同的几何模型，让学生自由选择，学生所选择的几何模型并不会直接影响最终三角函数的具体数值，但是在推理以及论证三角函数的性质时会产生一定的波动。教师只需要注重对几何模型的进一步分析，为后期的推理以及论证指明道路，真正实现化难为易和化繁为简。许多教师开始着眼于当前的教育教学实践经验，在反复实践以及深入思索的过程中提出比较简单的三角函数定义方法，了解几何模型的推理论证技巧，结合初中数学教学的现实条件构建科学完善的逻辑体系。进而更好地指导学生、鼓励学生、发挥学生的主观能动性，促进学生的个性化成长，提升学生的数学学习成绩以及综合素养。

四、 重建三角，全局皆活——初中数学课程结构性改革的简单设想

(一)基本出发点

为了实现初中数学与高中数学的有效衔接，初中数学教师需要做好前期的准备工作，意识到自身的责任，关注对三角这一核心板块的深入分析以及研究，教学经验丰富的教师会着眼于学生小学阶段的学习情况，根据学生的学习现状以三角形面积计算公式为出发点，明确基本命题。其中三角形面积等于底与高的乘积之半，因此对等高三角形来说，面积比就等于底之比。在自主分析时，教师需要着眼于这一重要概念，让学生积极利用针对性的数学表达式进行简单练习，了解三角形的具体面积以及不同线段的长度。这一点有助于更好地减轻学生的理解压力，很多学生能够轻松上手，根据自身的学习经验深入分析各种数学公式，了解数学公式之中所涉及的概念，在全面拓展以及延伸的过程中提升个人的逻辑思维能力。

“重建三角形”就是使用面积法创建三角形。周长为1，角为的棱柱的面积记为sin。然后可以定义平行四边形和三角形的面积，进而可以得到正弦函数的主要特征。这种定义方法考虑了面积，面积为就中小学介绍的重点细节而言，在学生的认知能力系统中，区域是一个非常直观的定义，容易理解。这个定义将不再需要以相似三角形和比例的专业知识作为铺垫，摆脱直角三角形的限制，斜角和锐角都一样，这样你就可以用这个定义进行科学研究。当今初中数学三角内容中可以科学探究的问题。教师则需要鼓励学生自主探索，避免学生过度依赖于三角形的面积公式，通过简单的放大以及缩小来引导学生自主推导，确保不同知识板块的独立性，让学生自主分析其他的基本性质。这一点对夯实学生的学习基础有重要的作用，学生也能够产生耳目一新的感觉，自主自觉地接受教师的指导以及熏陶。对几何以及解析几何来说共角以及共边定理的使用频率比较高，教师则需要着眼于共高定理的应用要求，让学生能够自主分析，利用这些常见的数学定理来解答问题。教师只需要将三角引入作为主要目标，促进中学数学课程整体结构的有效改善，夯实学生的基础，提升学生的数学核心素养。

(二)正弦函数的新定义

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，“勾”“股”是直角三角形的两条直角边。

正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。

正弦=股长/弦长

正弦函数与三角形的面积公式存在一定的联系，教师需要以定义为出发点，关注对不同问题的有效探索及研究，让学生对三角形的高进行简单测量，分析三角形的高与三角形面积之间的相关性，进而顺利解决不同的难题。当学生了解了等腰三角形的顶角以及腰等相关概念后，教师就可以着眼于角度与边长之间的逻辑联系让学生自主计算，通过简单的几何画板来减轻学生的理解压力和心理负担，确保学生能够轻松上阵。教师可以结合不同的三角定义，让学生自行分析、大胆判断，引导学生结合正弦的基本性质进行拓展及延伸，这种正弦引进方式一方面能够避免学生出现过度依赖的思想，让学生结合个人已有的知识，在拓展以及延伸知识的过程中调整个人的学习思路。教师需要根据直角钝角以及锐角的正弦定理全面拓展及延伸学生的思维空间，避免按照传统的定义方式让学生进行简单的解释，确保表达的严谨性以及合理性，激发学生的学习兴趣。只有这样才能够全面发展学生的综合素养以及学习能力。

在完成基本教学任务后教师还需要以直角三角形中锐角的正弦为切入点，让学生自主分析直角与锐角之间的区别及联系，将课堂归还给学生，尽量避免简单直白的照搬照抄，了解学生的个体差异性，分析学生的个性化发展诉求，引导学生自由发散。在实际教学中，不同命题的概念学习有所区别，教师则需要以用字母代替数以及等式变形为依据，关注对教学练习活动的有效落实以及合理穿插，与学生共同探索三角知识的发生以及发展过程，提升学生的代数方法应用能力，通过简单的举例来编写不同的例题，让学生自由探索，很多学生的学习成绩有了显著的提升，能够变得更加自信和主动。

(三)正弦定理及其应用

在任意△中，角、、所对的边长分别为、、，则有：

一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

首先，教师需要以正弦定理的简单介绍为切入点，让学生自主分析不同的等式变形情况，抓住初中数学学习中的核心要求，让学生在基础学习的过程中深入掌握不同的正弦定理，真正实现高屋建瓴，调动学生的主观能动性。其次，教师需要与学生共同利用正弦定理解答几何问题，传统的课堂教学模式比较机械，学生只能够对正弦定理进行简单分析，然后了解相似三角形。这种机械生硬的教学模式不利于学生对正弦定理的理解以及认知，学生只能够对简单的几何图形进行基本推理。教师则需要以三角形中等角对等边为基础，让学生自主分析三角形中三个角的对应关系，了解边长之间的比例情况，让学生结合三角形全等的角边角判别法来进行解答。这一点有助于学生高效解答各种几何问题，提升学生的综合素养。正弦定理与不同命题之间存在一定的联系，能够更好地解决各种几何问题，教师需要与学生共同剖析正弦定理与面积公式之间的相关性，让学生主动利用面积法解决各种疑难问题，深化学生对公式以及定理的理解，更好地提升学生的数学学习成绩以及学习效率，深化学生对几何知识的理解。

(四)正弦和角公式

首先，教师需要从正弦和角公式出发，关注对不同角度以及边长的分析，让学生自主绘制辅助线，了解垂线与直线之间的相关性，然后着眼于面积公式来进行解答。这一点有助于发展学生的逻辑思维能力以及适应能力，确保学生实现举一反三和学以致用。其次，教师需要以特殊角的正弦与简单方程为基础，让学生自主分析正弦和角公式，通过特殊值的进一步剖析来得出最终的答案。教师需要扮演好组织者的角色，通过不同定理以及公式的有效引进来夯实学生的学习基础。其中勾股定理的出现频率比较高，对学生直角三角形的解答有重要的影响，教师需要通过勾股定理的有效推导以及分析来强化学生的知识印象，避免学生出现消极应对的情绪，确保学生能够高效独立地解答不同直角三角形的相关问题。正切和余弦的引入最为关键，这一点有助于避免不必要的计算环节，让学生实现轻松上阵，在完成这一基础任务后教师还需要注重后期的总结及反思，了解学生在自主学习过程中所遇到的困难及障碍，活跃课堂气氛，激发学生的学习能动性，为初中数学课程结构性改革指明道路及方向。学习基础较好的学生能够在自主探索的过程中发挥个人的能动性，结合已有的学习经验自由发散和想象，真正意识到数学这门课程学习的必要性和重要性，主动自觉地接受教师的指导以及熏陶。高效课堂得以打造，教育教学资源的使用效率提升较为显著，学生能够逐步产生更多的学习动机。

五、 结语

在初中数学教学改革的过程中，教师需要着眼于课程结构性改革工作的现实条件，以三角为基础，活跃整个课堂气氛，灵活利用现代化的教育教学策略来鼓励学生，促进学科教学改革及创新，发挥学生的学习能动性，提升学生的数学素养。“重建三角”初等数学新体系对初中数学课堂教学改革创新具有借鉴意义。新的“重构三角形”系统具有可视化的三角函数定义方法和简单但认真细致的逻辑推理过程。在这个新体系下，三角形、几何图形、解析几何相互渗透，有利于塑造学生的几何直觉。期待加快推进“重建三角”教学计划的不断完善和实验教学的进展，完善“重建三角”实验教学中教师的学习和培训，并开发设计相应的培训供学生应用。通过简单的对比分析以及整合利用夯实学生的学习基础，确保学生在数学学习的过程中真正实现轻松上阵和举一反三。