单向加筋板低频振动的简化建模精度影响因素

吴 凡，高一民，李增光

(中国舰船研究设计中心 上海分部，上海 201108)

0 引 言

加筋薄板结构因为其轻质和力学性能优异等特点，被广泛应用于水面舰船和潜艇等大型工程结构。对于复杂工程结构的振动问题，很难用解析的方法进行计算，以有限元为代表的数值方法成为主要的计算手段。在工程上通常通过商用软件对实际工程结构进行建模，有限元模型的创建需要花费大量时间，而加筋板建模存在大量繁琐和重复性的工作，因此，对于加筋板结构的简化建模具有现实的工程意义。

对于加筋板的振动特性，国内外学者[1-5]进行大量且详尽的研究。姚熊亮等[6]针对平面应力和平面弯曲状态下的加筋板，通过2种不同的方法实现结构正交异性向材料正交异性转化并实现材料正交异性板的有限元软件模拟，研究指出2种正交异性板的计算误差与加强筋的面积和间距存在较大关系，但并未对振动特性的计算误差进一步研究。张朝阳[7]同样对平面应力状态和平面弯曲状态下的加筋板简化原理进行研究，并将简化理论与有限元软件相结合，通过软件的二次开发实现等效参数的自动生成和应力的自动还原。高双等[8-9]基于李兹法、正交异性理论和相当板厚理论，比较3种正交加筋板模型对低频声振特性计算的精度，并研究骨材密度对首阶固有频率计算误差的影响，但在骨材密度增加时未考虑结构质量的变化，得到的结论并不严谨。邱家波等[10]推导复合材料帽型加筋层合板典型板单元的等效弯曲刚度理论解，并通过有限元计算验证理论计算方法的有效性。秦昊等[11]结合正交异性板理论和等效板厚理论提出等效厚度正交异性板简化方法，并通过有限元计算验证简化方法的有限性。

以单向加筋板的低频振动问题为分析对象，基于薄板弯曲理论得到等效正交异性板的等效弯曲刚度与等效密度计算公式，通过具体算例分别分析质量等效、弯曲刚度等效和结构参数对简化方法精度的影响，对结构参数对简化方法精度的影响程度进行定量比较分析。

1 理论基础

对于加筋板低频振动问题，将加筋板等效为正交异性板，寻求加筋板与正交异性板在振动特性上的一致性。在各向异性弹性薄板的中面为弹性对称面且挠度大幅小于其厚度时，可应用弹性薄板的小挠度弯曲理论。假设xOy平面为弹性薄板的中面(见图1)，其基本假设[12]如下：(1)垂直于中面方向的线应变εz忽略不计；(2)应力分量τxz、τyz和σz大幅小于其他应力分量，由其引起的变形忽略不计；(3)薄板中面内的各点没有平行于中面的位移。

图1 弹性薄板中面示例

正交各向异性板的自由振动微分方程为

(1)

(2)

式中：E1和E2分别为正交各向异性板沿x方向和y方向的弹性模量；Dk为薄板在弹性主向的扭转刚度，Dk=Gt3/12，其中G为剪切模量；μ1和μ2分别为沿x方向和y方向的泊松比。

对于四边简支的正交各向异性弹性矩形薄板，其(m,n)阶固有频率为

(3)

式中：m和n分别为x方向和y方向的振型阶数，正整数；L和B分别为矩形薄板边长；ρ为薄板密度。

以典型单向加筋板(见图2)为例，将加筋板等效为正交异性板，可理解为将筋条的质量与弯曲刚度均匀附加至基板，得到正交异性板的等效密度ρe和等效弯曲主刚度：

(4)

(5)

式(4)和式(5)中：ρp和Ep分别为基板的密度和弹性模量；ρb和Eb分别为筋条的密度和弹性模量；b和h分别为筋条截面的宽度和高度；a为筋条间距；I为筋条相对于加筋板截面中和轴的惯性矩；e为基板中面至加筋板中和面的距离；μ为板的泊松比。

2 计算结果及分析

2.1 算例分析

分别使用有限元法和第1节的解析计算方法对如图2所示的四边简支单向加筋板进行自由振动特性计算，并对前4阶固有频率的计算结果进行对比分析。加筋板参数如表1所示。

表1 加筋板参数

图2 单向加筋板示例

有限元法采用ANSYS软件，板结构采用Shell 63单元，梁结构采用Beam 188单元，前10阶固有频率计算结果如表2所示。

表2 前10阶固有频率计算结果

由表2可知：各阶固有频率误差均小于10.00%，说明该简化方法在上述算例中具有较好的有效性。由于算例中的单向加筋板x方向弯曲刚度明显大于y方向，低阶固有频率主要反映加筋板y方向上的模态阶数变化。值得注意的是：(2,1)阶和(2,2)阶固有频率误差明显大于前8阶，这是由于加筋板x方向2阶y方向低阶模态受x方向1阶y方向高阶模态影响而在筋条之间出现局部振型，这种局部振型在等效正交异性板上并不出现，振型不一致产生较大的固有频率误差。单向加筋板结构异性明显，在对其采用简化方法建模时，需要注意局部振型对等效精度的影响。

对于舱壁、底板等局部结构，在工程上主要关心其低阶模态对船体振动的影响，因此以前4阶固有频率为研究对象，进行等效方法精度影响分析。

2.2 简化方法误差影响因素分析

等效方法思想是将单根筋条的质量和弯曲刚度均匀附加至筋条间距范围内的基板，只改变等效正交异性板的密度和单向弯曲刚度，不改变板的厚度。由式(4)和式(5)可知：简化方法精度取决于质量等效和弯曲刚度等效的准确性，但对于产生误差的具体影响因素，有必要分别对单一影响因素进行讨论。

2.2.1 质量等效对简化方法精度的影响

定义无量纲参数密度比β为基板密度与筋条密度ρ0的比值，即

β=ρ0/ρp

(6)

在第2.1节算例的基础上，只改变筋条密度以改变正交异性板等效密度，不改变其他参数以保证相同的等效弯曲刚度，以此考查质量等效对简化方法精度的影响。密度参数如表3所示，质量等效对简化方法精度的影响如图3所示。

表3 密度参数

由图3可知：固有频率误差随密度比的增加而增加，但变化并不明显。在密度比变化范围内，变动幅度最大的1阶固有频率误差的增加量不超过0.5%，质量等效对简化方法精度影响较小。

图3 质量等效对简化方法精度的影响

2.2.2 弯曲刚度等效对简化方法精度的影响

定义无量纲参数附加弯曲刚度比γ为

γ=Da/Dp

(7)

在第2.1节算例的基础上，通过改变筋条弹性模量改变附加弯曲刚度比γ，不改变其他参数以保证相同的等效质量，以此考查弯曲刚度等效对简化方法精度的影响。弹性模量参数如表4所示，弯曲刚度等效对简化方法精度的影响如图4所示。

表4 弹性模量参数设置

图4 弯曲刚度等效对简化方法精度的影响

由图4可知：固有频率误差随附加弯曲刚度比的增加而增加，各阶误差变化情况基本一致，且具有较明显线性相关性。结合质量等效对简化方法精度影响的分析，弯曲刚度等效是导致简化方法产生误差的主要影响因素。

2.3 结构参数对简化方法精度的影响分析

由等效弯曲刚度计算公式可知：筋条截面属性、筋条数量和基板厚度是决定等效弯曲刚度的主要参数。因此，分别分析上述3个参数对简化方法精度的影响。

2.3.1 筋条截面属性对简化方法精度的影响

对于算例的加筋板，筋条截面属性由截面宽度和截面高度决定。由惯性矩计算公式可知：截面高度对于弯曲刚度的影响明显大于截面宽度，因此通过改变筋条截面高度改变等效弯曲刚度，以此考查筋条截面属性对简化方法精度的影响。筋条截面高度参数如表5所示，筋条截面高度对简化方法精度的影响如图5所示。

表5 筋条截面高度参数

图5 筋条截面高度对简化方法精度的影响

由图5可知：固有频率误差均随筋条截面高度的增加而增加，且增速逐渐放缓，前4阶固有频率误差变化具有一致性。上述结果说明筋条截面属性对简化方法精度具有一定影响，但无须担心筋条截面属性过大而导致等效方法失效。

2.3.2 筋条数量对简化方法精度的影响

通过改变筋条数量改变等效弯曲刚度，以此考查筋条间距对简化方法精度的影响。筋条数量参数如表6所示，筋条数量对简化方法精度的影响如图6所示。

表6 筋条数量参数

由图6可知：前4阶固有频率误差整体呈现先减小后增大的变化规律。在筋条数量较少时，固有频率误差会明显增加，以(1,1)阶误差尤为显著，这是由于在筋条数量较少时，筋条不再完全以附加弯曲刚度形式参与加筋板整体振动，而是起到一种边界约束的作用限制基板振动，加筋板振型与等效后的正交各向异性板的低阶振型并不一致，简化方法在该情况下失效。由图6(c)可知：(1,3)阶和(1,4)阶的固有频率误差在筋条数量较少时会出现误差峰值，(1,3)阶在筋条数量为3根时出现误差峰值，(1,4)阶在筋条数量为4根时出现误差峰值，这是由于在上述工况条件下，每根筋条正好均处于正弦函数振型的波峰与波谷，可理解为每根筋条均最大程度参与基板振动，筋条对基板的实际附加弯曲刚度明显大于简化方法均匀分布思想下的附加弯曲刚度，真实模型固有频率明显大于等效模型固有频率，产生误差峰值。由于在算例设置中筋条数量均由2根开始，因此在(1,1)阶和(1,2)阶固有频率误差变化曲线中未出现误差峰值。

由上述分析可知：在采用简化方法对加筋板进行简化建模时，需要考虑加筋板上的筋条数量与在低频域内感兴趣的模态阶数。筋条数量不可过多，筋条越多，等效误差越大；筋条数量不可小于感兴趣的模态阶数，否则会出现误差峰值。

2.3.3 基板厚度对简化方法精度的影响

通过改变基板厚度改变等效弯曲刚度，以此考查基板厚度对简化方法精度的影响。基板厚度参数如表7所示，基板厚度对简化方法精度的影响如图7所示。

由图7可知：固有频率误差随基板厚度的增大而减小，随附加弯曲刚度比的增加而增加，且具有增速放缓趋势。上述结果说明：基板厚度对简化方法精度具有一定影响，基板越厚附加弯曲刚度比越小，误差越小。

图7 基板厚度对简化方法精度的影响

2.3.4 结构参数对简化方法精度的影响程度比较

第2.3.1节～第2.3.3节显示筋条截面高度、筋条数量和基板厚度等3项结构参数在单独考虑时对简化方法精度的影响，但3项结构参数对简化方法精度的影响程度并不明确。由于3项结构参数的量纲各不相同，无法直接进行比较，因此采用无量纲参数附加弯曲刚度比γ，将3项结构参数放在同一尺度下进行定量比较，如图8所示。

由图8可知：筋条数量对简化方法精度的影响程度最大，筋条截面高度对简化方法精度的影响程度最小，筋条截面高度和基板厚度的变化不会导致固有频率误差无限增加，随着附加弯曲刚度比的增加，误差会趋于稳定。前4阶固有频率误差变化情况基本一致，说明该结果具有一般性。上述结果说明：在采用简化方法对加筋板简化建模时，筋条数量是优先考虑的结构参数，基板厚度和筋条高度不会造成过大的计算误差。综合考虑，结构的附加弯曲刚度比应尽可能保持在10的二次方量级以内。

图8 结构参数对简化方法精度的影响程度比较

3 结 论

(1)对于四边简支的单向加筋板，在低频域内简化模型的固有频率与真实模型具有较好的一致性。需要注意的是：加筋方向2阶非加筋方向低阶模态受加筋方向1阶非加筋方向高阶模态的影响，筋条之间会产生局部振型，对简化方法精度具有一定影响。

(2)弯曲刚度等效是简化方法精度的主要影响因素，质量等效对简化方法精度的影响可忽略不计。

(3)筋条截面高度、筋条数量和基板厚度等3项结构参数对简化方法精度均具有一定影响。固有频率误差随筋条截面高度的增大而增大，随筋条数量的增大而先减小后增大，随基板厚度的增大而减小。

(4)筋条数量是简化方法精度影响较显著的结构参数。筋条数量过少或过多均会产生较大的固有频率误差：从实际工程角度出发，对于局部加筋板结构，建议在采用简化方法建模时，加筋数量不少于5根；若结构加筋数量较多，则需要考虑无量纲参数附加弯曲刚度比的大小，为保证计算误差，建议附加弯曲刚度比在10的二次方量级以内。