基于CFD模型的和粗糙度和尺度效应对溢洪道水流结构的影响研究

陈 臣

（安徽省阜阳水文水资源局，安徽 阜阳 236000）

在适当设计和建造时，反弧形溢洪道能够高效安全地通过水流，并具有相对良好的流量测量能力，在各种情况下可以将其用作排水结构［1］。在设计水头下，反弧形会在坝顶部分产生接近大气压力。在低于设计水头的水头处，由于坝顶阻力，流量较小。在较高水头下，流量大于充气尖顶堰，因为负顶压会吸入更多流量。与标准设计参数的偏差会改变流量特性。溢洪道对大坝安全起着重要作用［2］，因此在分析溢洪道的影响时，物理模型得到了广泛的应用［3］。但物理模型所需成本高、时间长，原型与模型比例的增加可能会导致由尺度效应引起的误差严重性增加。因此，数值建模虽不能用于设计的最终确定，但计算成本较低，具有一定的可取性。

目前，大量研究采用各种数学模型和计算方法来解决溢洪道上的水流问题。该问题的主要难点在于从亚临界流向超临界流的流动过渡。此外，流量排放是未知的，尤其当溢洪道上游的流速水头是总上游水头的重要组成部分时，这一点必须解决。刘梦超等［4］通过应用带有变量代换的解析泛函边值理论推导出非奇异边界积分方程，扩展了势流理论。该方法已成功应用于具有自由落差的溢洪道。艾丛芳等［5］将有限元法和有限体积法应用于溢洪道流量计算。结果表明，该模型可作为溢洪道水力设计的主要分析工具。最近，有研究者使用商用计算流体力学程序FLOW-3D对反弧形溢洪道上的流动进行了研究［6］，该程序可求解雷诺平均方程（RANS方程）。结果表明，压力和流量的物理模型和数值模型之间存在相当好的一致性。

1 理论基础

1.1 尺度和粗糙度

尺度效应的严重性会随着原型与模型尺寸比例的增加或同时复制的物理过程数量增加而增加。通常，明渠水流与水工建筑物之间的稳定非均匀流动特性可表示为式（1）：

式中 Sw为水面坡度，用百分比表示；So河道底坡度，用百分比表示；h为水深（m）；k为固体边界粗糙度高度（mm）；V为流速（m/s）；g为重力加速度（m/s2）；υ，ρ，σ分别为水的动态黏度（N·s/m2）、密度（kg/m3）和表面张力（N/m）。式（1）指出水面线用底坡、相对粗糙度高度、弗劳德数、雷诺数和韦伯数表示。

在明渠水流和水工建筑物的水力模型中，通常使用弗劳德数相似性来实现几何相似性（So）。水被用于分析比例模型的流动特性，由于水的特性未缩放，因此建模精度会受到影响。小比例模型可能会导致无法模拟流体特性附带的力，从而表现出与原型不同的流动行为。此外，由于实验材料的限制，无法准确再现比例模型的相对粗糙度高度。

对于溢洪道的设计运行范围，溢洪道顶部的模型流动深度应至少为75 mm，长度比例Lr=30～100。表1给出了几种用于建造水工结构和比例模型材料的粗糙度高度值。

表1 粗糙度高度的近似值

为定量确定尺度和粗糙度效应对模型结果的影响，本文使用不同表面粗糙度（包括原型）的比例模型，在合理的时间和成本内对反弧形溢洪道上的流动行为进行数值研究。

1.2 反弧形溢洪道

图1所示为标准反弧形溢洪道（类型1）。流量的经验公式如式（2）：

图1 标准反弧形溢洪道形状（类型1）

式中 C为流量系数；Le为横向波峰长度（m）；He为总水头。通常，式（2）需要一个附加的能量方程和迭代解来确定流量，因为在计算流量之前，流速水头是未知的。由于流速水头只占总水头的小部分，因此经过多次迭代后，方程收敛到一个解。

2 数值模型

2.1 控制方程和计算方案

FLOW-3D使用有限体积法来求解RANS方程，通过实现分数面积或体积障碍表示法来定义障碍物，给出了不可压缩流的一般控制RANS和连续性方程，包括有利变量，如式（3）：

式中 ui为x，y，z方向的对应速度（m/s）；t为时间（s）；Ai为在下标方向开放流动的分数面积；VF为每个单元中流体的体积分数；ρ为密度（kg/m3）；p为静水压力（N/m2）；gi为下标方向上的重力（N）；fi为雷诺应力，闭合时需要湍流模型。

2.2 数值模型实现

二维数值建模如图2。为了建模方便，z方向代替图1中向上的y方向。建模区域的尺寸为7Hd长和3Hd高。为了加速收敛到稳态解，采用人工多重网格法。使用初始粗网格快速计算近似水面和流速。然后，通过将先前的计算值内插到网格上来初始化一个顺序更精细的网格。最终使用正交网格，其中△x为0.01Hd～0.14Hd，△z为0.01Hd～0.04Hd。

图2 建模区域的尺寸和边界条件

为了研究尺度和粗糙度效应，在PR00、PR05、PR30上进行粗糙度效应研究的数值模拟，在PR05、M50、M100、M200上进行尺度效应研究。原型反弧形溢洪道一般是混凝土结构，因此其粗糙度高度选择为0.5mm。为了分析与式（1）中相对粗糙度高度相关的粗糙度效应，对液压光滑表面和3.0mm表面粗糙度高度进行数值模拟。为了分析与式（1）中与雷诺数和韦伯数相关的尺度效应，对1/50、1/100和1/200比例模型进行数值模拟。在比例模型的建模中，网格分辨率与原型建模一样保持不变。本文未考虑表面张力效应，因此默认只有黏度效应影响尺度效应。

2.3 边界条件

给定流量的边界条件如图2。采用以下边界条件：上游静水压力；下游流出；底部上游被下方障碍物阻挡（无滑移）；底部下游流出；顶部对称。在这种配置下，水流在无滑移底板和堰及顶部大气压力边界之间从左向右移动。无滑移定义为零切向速度和法向速度。这些边界条件使用“壁函数”设置，即假设壁附近存在对数速度剖面用于计算壁处的有效剪切应力。因此，使用局部雷诺数和考虑用分流面积算法将壁面剪应力施加到堰表面。

上游边界条件可以用两种压力边界条件之一（静态和停滞）计算。对于静水停滞状态，pbcs=He且u=0；对于静态状态，pbcs=Ho且u≠0。本研究采用静水停滞条件，原型设计水头为10m。式（2）和能量方程用于确定上游高程水头和进场速度水头。表2总结了不考虑壁面摩擦引起能量损失的上游边界条件。

表2 上游边界条件和建模时间

3 结果

3.1 反弧形溢洪道泄流量

表3总结了几种粗糙度高度下溢洪道的单位流量。由表1可知混凝土的粗糙度高度约0.1～3.0mm，因此对表面粗糙度高度为液压光滑条件进行数值建模，并对k=0.5mm和k=3mm进行了试验研究。式（2）比较了水位流量的结果。排放流量随着表面粗糙度高度的增加而略有下降。由于粗糙度导致最大流量减少率仅0.4%，导致建模结果高估了式（2）的结果约2.0%。如果考虑式（2）的简单性和适用性，则2.0%的差异是式（2）有用的证据。

表3 几种表面粗糙度高度下反弧形溢洪道的单位流量

表4总结了几种模型比例下单位排放流量。原型表面粗糙度高度取0.5mm作为混凝土表面粗糙度高度。将几种模型的表面粗糙度高度调整为几何相似性。原型和比例模型的计算网格也调整为几何相似性，以排除不同比例网格中产生的不同数值误差。由表4可知，随着模型与原型的长度比例增加，排放流量略有下降。在1/200比例模型中，原型最大流量的最大减少率仅0.6%。表明从排放流量角度来看，因最小化原型导致的雷诺数失真并不重要。

表4 几种模型比例下反弧形溢洪道的单位流量

3.2 反弧形溢洪道水面

图3描绘了3个不同上游水头下的反弧形溢洪道水面，以及水道实验站（WES）的试验结果。图3（a）是原型建模结果，其为液压光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3.0mm（PR30）。图3（b）为原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道水面的建模结果。从图3可看出，随着表面粗糙度和模型尺度的变化，水面波动幅度很小。因此，可以推断若仅使用混凝土的一般粗糙度高度，由表面粗糙度引起的数值误差很小。从溢洪道水面的角度来看，模型比例小于100或200，则模型的尺度效应出现在可接受的误差范围内。

图3 反弧形溢洪道上方水面

3.3 反弧溢洪道顶部的压力分布

3种不同上游水头下的反弧形溢洪道坝顶压力分布如图4，无量纲图中Hp为压力水头。图4（a）是原型的建模结果，对比描述了液压光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3mm（PR30）时溢洪道上的顶部压力。图4（b）为原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道顶部压力分布的建模结果。若溢洪道剖面设计为自由溢流下推覆体形状，则设计水头下溢洪道顶部压力理论上应为零。由于溢洪道必须在设计水头以外的水头下运行，因此较低水头下的压力会增加，较高水头下的压力会降低。数值计算结果与理论压力分布和试验结果基本一致。即随着表面粗糙度和模型比例的变化，顶部压力发生了微小变化。

图4 反弧形溢洪道坝顶压力

3.4 压力水头的垂直分布

He/Hd=1.33时，反弧形溢洪道顶部压力水头的垂直分布如图5。图5（a）是原型建模结果，对比描绘了液压光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3.0mm（PR30）时溢洪道上压力水头的垂直分布。在波峰轴上游，随着水流深度的增加，压力分布一定程度上类似于静水压力分布，随着水流深度接近ho，压力迅速降低至负压。在坝顶轴线下游，当溢洪道顶部压力接近大气压时，压力分布几乎与所有深度的大气压力一致。随着溢洪道表面粗糙度变光滑，负压会有所增加，但无论表面粗糙度如何，压力分布几乎相同。图5（b）为原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道上压力分布的建模结果，结果与图5（a）相同。He/Hd=1.0和0.5的压力分布如图6和图7，压力分布的总体趋势与图5一致。

图6 压力水头的垂直分布（He/Hd=1.0）

图7 压力水头的垂直分布（He/Hd=0.5）

3.5 最大速度及其垂直位置

利用速度的垂直分布图分析研究了任何截面的最大速度及垂直位置。沿x轴任何截面的最大速度如图8。图8（a）是原型建模结果，图中对比描绘了液压光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3mm（PR30）的最大速度。随着表面粗糙度的增加，最大速度略有下降。随着上游水头的增加，最大流速的降低率也增加，即表面粗糙度的影响增加。图8（b）显示了原型（PR05）和1/200比例模型（M200）沿轴的最大速度分布。比例模型上的最大速度小于原型上的最大速度，因为比例效应会因粗糙度效应引起类似现象。He/Hd=0.5，1.0，1.33时，出现最大速度的垂直位置如图9。可以看出，当上游水头增加时，出现最大流速的垂直位置位于较低位置，且该位置随距溢洪道前端距离呈线性增加。

图9 最大速度发生的垂直位置

4 结语

本文采用CFD模型，在6种试验情况下详细研究了反弧形溢洪道流量、水面、顶部压力等流动特性以及考虑模型尺度和表面粗糙度影响下速度和压力垂直分布。得出结论：

（1）若仅使用建筑材料的一般粗糙度高度，则由于表面粗糙度引起的数值误差不显著，如果模型比例小于100或200，模型的尺度效应出现在可接受的误差范围内。

（2）以hm作为参考点，参考点以下为原型速度大于比例模型速度，参考点以上相反。粗糙度和尺度效应在参考点以下更为严重。

（3）随着表面粗糙度和模型比例的变化，溢洪道顶部压力有所不同，但垂直压力分布几乎相同。

（4）随着表面粗糙度和模型比例的增加，任一截面上的最大速度都有所减小。出现最大速度的垂直位置随着上游水头的增加而位于较低位置，且与距溢洪道前端距离呈线性增加。