弹簧丝横截面上各内力对锥形弹簧刚度的影响

李峥彬，钱宁伟，肖奉英，沈逸舟，黄模佳

(南昌大学工程力学系，江西 南昌 330031)

弹簧常用于机械系统中，尤其在汽车悬架方面应用广泛，弹簧的刚度、强度、稳定性对机构整体的安全性起着重要作用[1-5]。锥形螺旋弹簧具有结构紧凑、稳定性好的优点，能够减振和承受较大的荷载，但目前国内外对锥形螺旋弹簧刚度的研究还不够全面，还没有考虑弹簧丝倾斜度及弹簧径径比(即，弹簧丝直径d和锥形螺旋弹簧圈最大半径R1之比d/R1)影响的弹簧刚度表达式。Mohazzabi[6]研究了扭转和纯剪切对圆柱螺旋弹簧刚度的贡献的公式，发现剪切变形对弹簧刚度的贡献度与弹簧径径比有关；文献[7]的研究结果表明，当螺旋弹簧的螺旋角α>9°时，需要考虑螺旋角及弯矩变形对弹簧刚度的影响。张健等[8]在弹簧刚度分析中考虑了弹簧丝弯曲变形对弹簧刚度的影响，但未考虑弹簧丝剪切变形对弹簧刚度的影响。张功学等[9]研究了弹簧丝在扭矩和弯矩作业下锥形螺旋弹簧丝横截面上的应力分布。利用有限元软件研究弹簧刚度已经成为一种较为常用的研究方法和验证方式，朱勋等[10]通过ABAQUS有限元软件将弹簧经典理论公式[11]与Ancker[12]提出的弹簧表达式进行了对比分析；周凯林等[13]利用ANSYS得到的有限元结果和理论解进行对比，最大误差仅为5%；钟文彬等[14]利用ANSYS和Pro/E的转换接口，将弹簧三维实体模型导入进行有限元仿真计算。

到目前为止，考虑弹簧丝倾斜度和弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度计算式还未给出。利用能量法，给出弹簧丝在组合(扭、弯、剪、拉压)变形的变形能，利用外力功等于弹簧丝组合变形能，推导出包含弹簧丝倾斜度和弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度计算式，比较了弹簧丝的扭转变形、弯曲变形、剪切变形和拉压变形对锥形螺旋弹簧刚度的贡献量及其与弹簧丝倾斜度和弹簧径径比的关系。采用三维有限元数值仿真可以给出锥形螺旋弹簧变形与力之间的关系，本文推导的考虑弹簧丝倾斜度及弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度表达式的计算值与有限元结果十分吻合；因此，本文给出锥形螺旋弹簧刚度计算式对锥形螺旋弹簧的工程设计和应用具有指导意义。

1 锥形螺旋弹簧的几何参数

结构紧凑、稳定性好的锥形螺旋弹簧常用来承受较大荷载或减振，锥形螺旋弹簧刚度的经典计算式[11]为

(1)

式中：G为弹簧丝材料的剪切模量；d为弹簧丝直径；n为弹簧圈数(沿弹簧轴线从起点开始每转过2π为一圈，n不一定为整数)；R1为锥形螺旋压缩弹簧一端的最大半径；R2为另一端的最小半径；几何参数示意图如图1。

图1 锥形螺旋弹簧几何示意图Fig.1 Geometric sketch of conical coil spring

假设锥形螺旋弹簧的弹簧丝长为L，锥形螺旋弹簧的弹簧丝展开后为直线，直线的倾斜度为κ；即

(2)

式中：α为弹簧丝的倾斜角；κ称为弹簧丝的倾斜度；h为锥形螺旋弹簧的高度。进一步假设锥形螺旋弹簧的弹簧圈半径R(θ)从R1到R2随角度θ线性变化；即

(3)

其中

(4)

称为锥形螺旋弹簧的锥度参数。

在空间坐标系中，锥形螺旋弹簧的弹簧丝截面形心线上任一点参数坐标为

x=R(θ)cosθ,y=R(θ)sinθ,z=κS(θ)

(5)

其中S(θ)为弹簧丝从θ=0到θ的弹簧长度，显然，我们有S(2nπ)=L(n为锥形螺旋弹簧的圈数)。

式(5)给出的弹簧丝微段长度dS满足

(6)

在式(6)中，可以仅保留锥度参数η的线性项，根据式(4)中的η2≪1，得

(7)

结合式(7)与式(4)，将弹簧丝微段dS在弹簧丝全长上积分，得弹簧丝长度L与弹簧半径和弹簧丝倾斜度κ的关系为

(8)

2 包含弹簧丝扭转、弯曲、剪切、轴向变形能效应的锥形螺旋弹簧刚度

2.1 锥形螺旋弹簧的刚度

弹簧受到荷载作用时弹簧丝承受的轴力相对很小，由轴力引起的弹簧丝长度L的改变可以忽略不计；因此，根据式(2)，锥形螺旋弹簧在拉压荷载P作用下，锥形螺旋弹簧载荷与变形量的关系为

P=KΔh=KLΔκ,P=KLζ

(9)

这里K为锥形螺旋弹簧的刚度，ζ为倾斜度的变化量。

ζ=Δκ

(10)

在经典表达式(1)中，锥形螺旋弹簧刚度K由弹簧圈数n、弹簧圈的最大半径R1和最小半径R2、弹簧材料的剪切模量G、弹簧线径d参数决定；但经典表达式(1)中没有包含弹簧丝倾斜度κ和弹簧径径比d/R1对锥形螺旋弹簧刚度的影响。

2.2 弹簧作用力与弹簧丝承受的扭矩、弯矩、剪力及轴力的关系式推导

锥形螺旋弹簧的一端固定，另一端受荷载P作用于弹簧圈正中心，将荷载P平移到弹簧丝横截面中心等效成为力P和力矩PR。根据式(3)和式(9)可知等效力系中的力矩

PR=KLζR1(1-ηθ)

(11)

对作用于弹簧丝横截面上的力P和力矩PR分解，将力P沿着弹簧螺旋线方向和垂直方向投影分别得轴力N和剪力Q，同理，将力矩PR等效分解为扭矩T和弯矩M；具体的受力分析如图2(a)、(b)所示。

(a)

(b)图2 锥形螺旋弹簧受力图及弹簧丝横截面受力图Fig.2 Force diagram of Conical coil spring and cross section force diagram of spring wire

利用式(2)和式(9)～式(11)，可得锥形螺旋弹簧横截面上的扭矩、弯矩、剪力和轴力的表达式

(12)

M=PRsinα=KLζR1(1-ηθ)κ

(13)

(14)

N=Psinα=KLζκ

(15)

2.3 弹簧丝组合变形能与外力功的求解

锥形螺旋弹簧受荷载P时产生的变形能全部积蓄在弹簧丝内；将式(12)～式(15)代入以下能量计算表达式，得弹簧丝内的扭转变形能UT、弯曲变形能UM、剪切变形能UQ和轴向变形能UN

(16)

(17)

(18)

(19)

荷载P在锥形螺旋弹簧拉压变形Δh上所做的功WP为

(20)

荷载P所做的功WP等于弹簧丝的组合变形能；即

WP=UT+UM+UQ+UN

(21)

2.4 考虑倾斜度及径径比的锥形螺旋弹簧刚度表达式

材料拉压弹性模量与剪切弹性模量的关系为E=2G(1+ν)，联立式(16)～式(21)，得锥形螺旋弹簧刚度表达式

(22)

弹簧刚度K主要由弹簧丝扭转变形、弯曲变形、剪切变形、轴向变形的能力影响；弹簧丝的扭转变形最易产生，扭转变形能最大；弹簧丝的轴向拉压变形最难发生，拉压变形能最小，弹簧丝的长度改变量可以忽略不计。

弹簧的变形主要来自弹簧丝的扭转变形；利用外力做功等于弹簧丝的扭转变形能(即，WP=UT)，得锥形螺旋弹簧的扭转刚度计算式

(23)

若不考虑锥形螺旋弹簧丝倾斜度的效应，取κ=0并将式(4)代入式(23)，得仅考虑扭转变形能且不考虑弹簧丝倾斜度的锥形螺旋弹簧刚度表达式

(24)

式(23)的退化表达式(24)与锥形螺旋弹簧刚度经典表达式(1)完全一致。

由于式(4)中的η2≪1，将式(22)对锥度参数η进行泰勒展开，仅保留η的线性项，最终得到考虑弹簧丝倾斜度及弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度计算式

K=Kγ(1+γM+γQ+γN)+
ηKλ(1+λM+λQ+λN)

(25)

(26)

η的线性项为弹簧锥度参数的影响项；当η=0，式(25)退化为圆柱螺旋弹簧的刚度计算式；当η≠0，式(25)为锥形螺旋弹簧的刚度计算表达式；弹簧丝的轴力变形对弹簧刚度的影响很小，γN和λN的效应可以忽略不计。在式(26)中，γM和λM是弹簧丝的弯曲变形对弹簧刚度的影响系数，考虑了弹簧丝倾斜度对锥形螺旋弹簧刚度的效应；在式(26)中，γQ和λQ为弹簧丝的剪切变形对弹簧刚度的影响系数，考虑了弹簧径径比对锥形螺旋弹簧刚度的效应。

3 锥形螺旋弹簧案例计算

根据第2节得到的考虑弹簧丝倾斜度及弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度计算式进行案例计算，分析不同影响系数下弹簧刚度的变化，为了较为直观地比较弹簧丝倾斜度及弹簧径径比对弹簧刚度的影响，案例以表格的形式对锥形螺旋弹簧进行分析。

主要计算两类锥形螺旋弹簧：粗锥形螺旋弹簧如图3(a)所示，细锥形螺旋弹簧如图3(b)。

当弹簧丝直径与弹簧圈最大半径的比值大于0.3时，弹簧相对较粗，比值小于0.3时，弹簧相对较细。总共计算了12个案例，所有弹簧取同种材质，泊松比ν取0.3，圈数均为n=5，弹簧圈最大半径R1=0.030 m，最小半径R2=0.020 m，弹簧案例的具体计算结果如表1所示。

根据表1，比较案例1，4，7，10可知，当弹簧径径比相同时，弹簧丝倾斜度越大，弯矩变形对锥形螺旋弹簧刚度的影响也越大，倾斜度κ=0.4时，弯矩变形对锥形螺旋弹簧刚度的影响效应高达14.65%。比较案例1，2，3可知，当弹簧丝倾斜度相同时，弹簧径径比越大，剪切变形对锥形螺旋弹簧刚度的影响逐渐增加，径径比d/R1=0.4时，剪切变形的影响效应达到了3.70%。由此可见，当弹簧丝倾斜度和弹簧丝径径比较大时，由弹簧丝倾斜度引起的弯矩变形能影响效应和弹簧径径比引起的剪切变形能影响效应不能忽略。

(a)粗锥形螺旋弹簧

(b)细锥形螺旋弹簧

表1 锥形螺旋弹簧案例结果比较Tab.1 Comparison of spring case results

4 有限元仿真分析和验证

为了验证推导出的表达式计算结果的精确度，参考前人的研究成果，利用Solidworks软件对锥形螺旋弹簧进行建模，并用ANSYS Workbench软件对弹簧模型进行有限元分析计算。

为了研究弹簧丝倾斜度κ和弹簧径径比d/R1对锥形螺旋弹簧刚度的影响，建模时控制倾斜度κ和弹簧丝直径d两个参数的变化，其他参数R1=0.035 mm、R2=0.025 mm、n=5、ν=0.3、E=208 GPa保持不变；将装配好的弹簧模型导入Workbench，定义弹簧材料的属性，设置接触和网格精度之后，在弹簧顶部正中心施加位移荷载P并设定大小，最后对模型进行运算。

依照上述方法，总共计算并提取了12个模型的有限元结果，将有限元结果分别与经典表达式(式(1))和式(25)进行比较，相关的比较结果如表2所示。

从表2中可以看出，考虑了弹簧丝倾斜度和弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度计算表达式得出的刚度值与有限元结果之间的误差基本在1%以内，结果精确。观察倾斜度较大、弹簧丝较粗的12号弹簧，考虑了弹簧丝倾斜度和弹簧径径比效应之后误差降低了7%，其他倾斜度较大、弹簧丝较粗的锥形螺旋弹簧的刚度的误差也能降低3%～6%。

由此可见，选择本文推导出的锥形螺旋弹簧刚度表达式来计算弹簧刚度能够更好地降低误差、提高精度。

5 结论

利用能量法，考虑组合变形(扭、弯、剪、拉压)的变形能对弹簧刚度的影响，推导出了新的锥形螺旋弹簧刚度计算表达式，进行了有限元仿真计算并与之对比验证，得到如下结论：

(1)本文给出了考虑弹簧丝倾斜度及弹簧径径比效应的锥形螺旋弹簧刚度计算式，该表达式更具有一般性，该锥形螺旋弹簧表达式可退化为圆柱螺旋弹簧刚度计算式，也可退化为锥形螺旋弹簧刚度的经典表达式。

(2)本文推导的锥形螺旋弹簧刚度表达式计算出的刚度和有限元结果，均证明弹簧丝倾斜度和弹簧径径比对弹簧刚度具有一定的影响。当弹簧丝倾斜度较大时，弹簧丝的弯曲变形对锥形螺旋弹簧刚度的影响较大；当弹簧丝较粗时，弹簧丝的剪切变形对锥形螺旋弹簧影响不能忽略；弹簧丝的拉压变形对锥形螺旋弹簧刚度的影响很小，可以忽略。

(3)将本文推导出的表达式计算结果与有限元结果进行对比，数据吻合好，误差小，验证了本文推导出的锥形螺旋弹簧刚度表达式的正确性和精度，可供锥形螺旋弹簧的工程设计和应用参考。