利用微专题提升二轮复习效率

王学会

摘要：利用微专题进行二轮复习，能大大提高复习效率，使学生实现深度学习，领悟知识和方法的本质及背后所蕴含的数学思想，使学生跳出“题海”，提高思维能力和数学核心素养.

关键词：微专题内涵;微专题设置;微专题案例;

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0069-03

受疫情影响，教师对学生想抓又抓不着，线上教学极大地影响教学效果，导致学生基础薄弱，高三时间紧、任务重，要想二轮复习提高复习效率，就要认真研究学情、考情，找准学生的“病灶”，突出重点、突破难点，狠抓中等偏上的问题，研究哪些是学生能提升的知识点和方法，形成微专题.

1 对微专题的认识

微专题是微而准，就是将考点细化，选择切口小、范围小、角度新、针对性强的知识点和方法，并运用与之相关的基本概念和原理来解决问题，在知识的深度、广度和宽度上下功夫，从而达到对知识的深刻理解并领悟知识的本质、思想和方法，提高学生的应变能力，促进学生进行深度学习，增加学生的参与度，

发展学生的数学思维能力和学科核心素养.

2 微专题的设置

要设计出高质量的微专题，就要发挥备课组集体优势，群策群力.

第一步：研究病灶，确定主题.研究历年高考试题，结合教材，尤其关注新教材新增知识点和方法，找准学生的薄弱环节确定微专题的主题.

第二步：研究解题方法，精编例题.将高考题、课本、模拟题进行整合，通过一题多解、多题一解、多题归一等方式适当地进行变式、拓展和延伸，挖掘知识和方法的本质，使学生学深学透，完善知识结构，从感性到理性.

第三步：研究学情，精选习题.围绕主题，根据学生的实际情况分层作业，遵循学生“最近发展区”的教学规律，“跳一跳，够的着”，不选过易的，也不选过难的，真正实现高效练习.

第四步：完善答案，资源共享.例习题的讲解与训练要充分发挥学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，将例习题进行优化，解题方法系统完善，以电子版的形式进行存档，资源共享.

3 案例分析

3.1 根据学生的短板设置微专题

指对幂比较大小问题是近几年高考的重要题型，考查学生综合运用函数思想解决问题的能力，设置了微专题——指对幂比较大小问题.

例1（2017年新课标Ⅰ）设x，y，z均为正数，且2x=3y=5z，则（）.

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

变式已知t>1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（）.

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

例2（2016年新课标Ⅰ）若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

变式已知a>b>1，0

A.ca>cbB.ac

C.logca>logcbD.bac

例3已知a=12log23， b=log94，c=

log0.2 0.3，则a，b，c的大小关系是（）.

A.a

C.c

变式已知a=223，b=log32，c=cos3，则a，b，c的大小关系为（）.

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

3.2 根据教材的典型例习题设置微专題

题1（新教材选择性必修第一册第138页复习巩固6）直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.

题2（第146页10）已知直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值.变式1A，B是抛物线y2=2px（p>0） 上的两点，若OA⊥OB，证明直线AB过定点.

变式2A，B是抛物线y2=2px（p>0

）上的两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，求点D的轨迹方程.

变式3A，B是抛物线y2=4x上的两点，若kOA+kOB=2，证明直线AB过定点.

变式4A，B是抛物线y2=4x上的两点，若kOA·kOB=m（m为常数），证明直线AB过定点.

通过这些变式，不但训练了定值、定点、轨迹问题的基本方法，还使学生体验了知识发生、发展、衍生的过程，拓展了学生的知识生长空间，感受动中有静，静中有动的发展规律，真正领会课本例习题的价值，体会高考源于课本又高于课本.

3.3 依据新增知识点、题型和方法设置微专题

关注新教材的新增内容及变化，比如平面向量增加了三角形“四心”的向量形式，加强了向量“投影”的应用;数列习题增加了分段数列，加强了数列与函数的关系（比如单调性和最值），应用题注重了递推数列等;立体几何增加了开放型问题的考查，突出了向量法（基向量法和坐标法）在立体几何中的应用等，都可以作为微专题的素材.

3.3.1 微专题——立体几何中探究点的位置问题

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点.

（1）求证：BG⊥面PAD;

（2）求證：AD⊥PB;

探究1若F为BC的中点，能否在棱PC上找到一点E，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明结论;

探究2在线段PC上是否存在一点E使PA∥面BDE;

探究3点F在CD上，且PE∶ED=CF∶FD，在棱PA上（不含端点）是否存在点M使平面BCM∥平面AEF？

探究4在棱PC上是否存在一点E，使BE与面PGC所成角的正弦值为217.

本题将课本、高考题、模拟题进行整合，以底面是菱形的四棱锥为载体，通过一题多问，设置了探索性的问题，体会向量法的优势，加深线面、面面平行和垂直的判定和性质的理解及空间角和距离的处理方法，培养了灵活变通能力、探究能力和创新能力，提高了复习效率.

3.3.2 微专题——圆锥曲线相切及双切线问题

圆锥曲线上某点处的切线方程：

（1）圆x2+y2=r2上一点x0，y0处的切线方程为x0x+y0y=r2;

（2）抛物线y2=2px上一点x0，y0处的切线方程为y0y=p（x0+x）;

（3）椭圆x2a2+y2b2=1上一点x0，y0处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1;

（4）双曲线x2a2-y2b2=1上一点x0，y0处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.

切点弦所在直线方程：

（1）过圆x2+y2=r2外一点Px0，y0作两条切线PA，PB，切点为点A，B， 则切点弦AB所在直线方程为x0x+y0y=r2;

（2）过抛物线y2=2px外一点Px0，y0作两条切线PA，PB，切点为点A，B， 则切点弦AB所在直线方程为y0y=p（x0+x）;

（3）过椭圆x2a2+y2b2=1外一点Px0，y0作两条切线PA，PB，切点为点A，B，则切点弦AB所在直线方程为切线方程为x0xa2+y0yb2=1;

（4）过双曲线x2a2-y2b2=1外一点Px0，y0作两条切线PA，PB，切点为点A，B，则切点弦AB所在直线方程为x0xa2-y0yb2=1.

例题已知椭圆C： x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2为其左右焦点，离心率为32，F1-3，0.

设点Px0，y0x0y0≠0在椭圆上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为k0，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2k0k1k2为定值.

解法1由题知，椭圆方程为x24+y2=1，

l：y=k0（x-x0）+y0且k0≠0.

联立方程y=k0x-x0+y0，x2+4y2=4，

消y，得1+4k20x2+8k0y0-k20x0x+4y20-2k0x0y0+k20x20-1=0.

因为直线l与椭圆相切，

所以Δ=4-x20k20+2x0y0k0+1-y20=0.

因为点P在椭圆C上，所以y20=1-x204.

代入上式得k0=-x0y0.

又k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，

故k1+k2k0k1k2=1k01k1+1k2=4y0x0·2x0y0=-8.

解法2将x24+y2=1两边取x的导数，得x2+2y·y′=0.

所以y′=-x4y.

所以Px0，y0处的切线斜率k0=-x04y0.

故k1+k2k0k1k2=2x0y0x20-3-x04y0·y20x20-3=-8.

微专题因微而准，因微而深，只要团队精诚合作，深入研究考情、学情，将考点分解细化，瞄准学生的病灶，站在学生的角度，选择学生最近发展区，设置微专题，可以大大提高学生的灵活变通能力、探究能力和创新能力， 使学生真正跳出“题海”，提高二轮复习效率.

参考文献：

[1] 倪树平.精准·精细·精炼：高中数学微专题深度教学的思考＼[J＼].中学数学教学参考，2020（19）：67-70.

[责任编辑：李璟]