同位置同速率抛出落点相同的条件

黄 伟

（湖北省汉川市第一高级中学，湖北 孝感 431600）

1 问题的提出及缘由

抛体运动的形式及应用很多，其中有一类很特殊，物体以相同速率从同一位置以不同方式抛出，落于同一点.那么若沿水平面斜上抛、沿斜面向上抛、沿斜面向下抛分别需要什么条件呢？

伽利略在1638年出版的《关于两门新科学的对话》这部著作中，提出了惯性思想和对自由落体运动的研究，并进一步研究了抛体运动，伽利略认为抛体运动具有匀速运动和自然加速运动的复合运动的性质.

在中学阶段一般采用正交分解法分析抛体运动，对于斜面上的斜抛运动，若涉及到复杂的三角函数，采用正交分解法在两个方向上多次分解往往让问题比较复杂.而把抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，建立位移矢量三角形，利用正弦定理来求解，可以得到简单的表达式，这也正是回到了伽利略对抛体运动研究的思想，下面笔者具体展开分析.

2 问题分析

2.1 沿斜面向上抛落点相同

如图1所示，小球从倾角为α的斜面上O点向上抛，落于P点，初速度v与斜面的夹角为θ.小球从O到P的运动可分解为沿初速度v方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，如图2所示建立位移矢量三角形，由正弦定理可得

图1

图2

运动时间为

联立（1）、（2）式，得

由三角函数积化和差得

x相等时有两个解θ1和θ2，满足

如图3所示，OO1为竖直向上方向和位移方向夹角的角平分线，当两个抛射角满足θ1+θ2=∠MOP时，则∠MOB=∠AOP=θ1，∠BOO1=∠O1OA，即OO1也为两个抛射方向的夹角∠BOA的角平分线，即两个抛射方向关于竖直向上方向与位移方向之间的角平分线OO1对称.

图3

2.2 沿水平面斜上抛落点相同

如图4所示，沿水平面斜上抛是上述情况中斜面倾角α=0的一种特例，当α=0时上述（4）式为

图4

x相等时的两个解θ1和θ2满足

同上，即两个抛射方向关于竖直向上方向与位移方向之间的角平分线OO1对称.

2.3 沿斜面向下抛落点相同

如图5所示，OP2为水平面，设倾斜面OP1倾角α正值，则倾斜面OP3的倾角α为负值，如图6所示沿斜面向下抛，当α为负值时上述（4）式为

图5

图6

x相等时的两个解θ1和θ2满足

同上，即两个抛射方向关于竖直向上方向与位移方向之间的角平分线OO1对称.

3 结论

综上可得，以相同速率从同一位置抛出的小球，当两个抛射方向关于竖直向上方向与位移方向之间的角平分线对称时，落点相同.