结构化视角下小学数学知识内容及其学与教

【摘要】小学数学知识结构，是指小学数学四大内容领域中，“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”的各自内在关系与相互关系（内在结构），以及与其他学科和社会生活（实践）之间的关系（外在结构）；“综合与实践”则应充分体现内在结构与外在结构的有机融合。学习结构是指上述知识结构尤其是其层次或主题甚至“单元”知识结构的学习轨迹。教学结构是指知识结构与相应学习结构之间的适配关系。小学数学教学应把握好其知识结构、学习结构和教学结构及其之间的结构关系。

【关键词】小学数学；知识结构；学习结构；教学结构；结构关系

【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2022）33-0022-03

【作者简介】徐文彬，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所教授，博士生导师。

随着小学数学教学研究的不断深入与教学改革的不断深化，人们对结构化视角的关注越来越凸显。如结构化知识（别称如核心知识、起点型核心知识、关键知识、大观念、大概念等）、结构化教学、结构化学习等概念不断涌现。但是，如何理解上述三大结构及其关系则有待进一步讨论。本文即是对此的初步探讨，期待由此引发更为系统而深刻的思考与研究。

没有结构化的所谓知识其实就只能称为信息，因此，小学数学教学应该以其知识结构为出发点。小学数学知识结构，是指小学数学四大内容领域中，“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”的各自内在关系及其相互关系（内在结构），以及与其他学科和社会生活（实践）之间的关系（外在结构）；“综合与实践”则应充分体现内在结构与外在结构的有机融合。

仅就小学数学知识内容的整体而言，其知识结构可由图1来宏观地呈现。就小学数学四大内容领域各自的整体知识结构以及相关层次或主题甚至“单元”知识结构的建构而言，则还需更为系统地展开具体且细致的分析。

下面，笔者将结合苏教版二下第七单元“角的初步认识”来探讨小学数学知识结构及其相应的学习结构与教学结构及其关系。

依据数学课程标准，通过大量的教材分析与比较，以及对教学实践的观察、反思与改进，我们建构了如图2所示的“角的初步认识”单元知识结构。

首先，“什么是角？”“如何比较角的大小？”“如何对角进行分类？”这三个问题构成了“角的初步认识”这一单元知识的内在结构（需要逻辑性分析）；其次，日常生活中能够体现角的实物环境则可视为构成了其外在结构（需要适切性分析）；再次，上述内在结构和外在结构一起形成了“角的初步认识”这一单元的知识结构。此外，我们还建构了“角内”“角外”这一对“新概念”，旨在避免日常教学中学生经常出现的“角的大小与其两边的长短有关”这一错误认知。

学习结构是指上述知识结构尤其是其层次或主题甚至“单元”知识结构的学习轨迹。依据皮亚杰等人的心理学理论和布鲁姆等人的教学理论，我们建构了如表1所示的“角的初步认识”单元知识结构的学习轨迹，即所谓的学习结构。

阶段1是了解学生所学知识的前概念，教师的教学应该充分考虑到学生所学知识的前概念。阶段2—4是第一课时学生学习轨迹的预设，阶段5—7是第二课时学生学习轨迹的预设，阶段7—8则是第三课时学生学习轨迹的预设。整体来看，每节课的学习轨迹都是相互关联的，且贯穿于整个教学过程中。第一、二课时之间以“什么是角？”作为纽带相互关联，也为第三课时的应用反馈和拓展提升奠定了基础；第三课时则是对第一、二课时的提炼和巩固，有助于加深学生对知识的掌握和方法的运用。

教学结构则是指知识结构与相应学习结构之间的适配关系。依据我们所建构的“五环节”（单元）整体教学设计模式，我们认为，小学数学知识内容（知识结构）的课堂教学结构可以由以下四个模块构成：情景导入、突出重点，提出问题、引发思考，合作探究、达成共识，应用反馈、拓展提升（即所谓的“问题解决导向式课堂教学模式”）。其中，“五环节”主要是指，（单元）整体教学设计应该渐次、叠加、系统地解决以下五个基本问题：（1）如何确立（单元）知识结构？（2）如何建构（单元）知识结构的学习轨迹？（3）如何把握（单元）知识结构整体教学的目标与重难点？（4）如何开展（单元）知识结构学习的教学评价？（5）如何组织和安排（单元）知识结构的学习活动？这五个基本问题的解决相应地构成了（单元）整体教学设计的五个基本环节。

依据安德森的教育目标分类法，我们将“角的初步认识”的教学目标确定为促使学生能够：（1）了解角的构成要素，了解角内、角外的概念（学生需要对相关的基本要素或具体事实进行记忆，属于记忆事实性知识），并能对不同角的大小进行比较（依据两种角的大小比较方法来进行具体操作，属于运用程序性知识）；（2）描述直角的特点，并能借助三角尺中的直角对角进行分类（“描述”和“分类”这两个动词都属于理解的认知过程领域，利用直角对角进行分类则是建立在学生理解三类角之间的联系基础之上的，因而本目标属于理解概念性知识范畴）；（3）能够判断并区分生活中的角和数学意义上的角，体会生活中角的多样性和数学中角的单一性（生活中的角和数学上的角既有区别又有联系，要区分和辨别这种关系，既需要分析概念性知识又需要理解概念性知识）。

其教学重点是：（1）角的构成要素；（2）角的大小比较的定性描述方法；（3）“0°～180°”范围内角的分类。与此同时，教学难点可能是：（1）角的概念（从日常生活经验中多样、丰富的有关角的语义中抽象概括出数学中单一、简单的角的含义）；（2）角的大小比较的定性描述方法。

就教学评价而言，（单元）整体教学之初可以考虑诊断性评价，以诊断学生对（单元）知识结构学习的整体“准备状况”；最后则可以考虑终结性评价，以评估（单元）知识结构学习的教学成效；其间每节课的“课堂检测”可视为该节课的总结性评价，亦应作为下节课的诊断性评价；而（单元）整体教学之初和最后之间的所有教学活动或评价活动都可以视为该（单元）整体教学的形成性评价。依据上述确定的教学目标、重难点，我们可以明确，单元检测（终结性评价）中需要考查学生在记忆、理解、分析和运用这四大认知过程领域中的发展水平，相应的内容应涉及角的含义、角的大小、角的分类等三方面（包括事实性、概念性和程序性知識）内容。

至于（单元）知识结构学习活动的组织与安排，其整体思路应该按照什么是角（重在分离角的构成要素）、如何比较角的大小（重在定性比较方法）以及如何对角进行分类（重在借助直角进行分类）的顺序展开，使学生在认识角的基础上探究影响角的大小的因素，对角进行分类，从而建构（单元）知识结构。在具体教学过程中，教师应注重联系学生的实际生活，运用活动教学，并关注观察与操作之间的相互结合。

限于篇幅，关于“问题解决导向式课堂教学模式”的具体展开，想必读者诸君也能依据上述论述自行管窥其貌，在此不再赘述。

[1]魏光明，王俊亮，刘正松，等.小学数学核心知识教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[2]古铁雷斯，伯拉.数学教育心理学研究手册：过去、现在与未来[M].徐文彬，喻平，孙玲，译.桂林：广西师范大学出版社，2009.

[3]安德森.学习、教学和评估的分类学[M].皮连生，译.上海：华东师范大学出版社，2008.

[4]乔伊斯.教学模式：第8版[M].兰英，译.北京：中国人民大学出版社，2014.