长程视野下数学起点型核心知识的遴选

【摘要】遴选起点型核心知识，比较高效的方法是运用抽象度分析法进行量化分析。通过绘制知识有向平面图，借助三元指标来确定起点型核心知识，进而放眼全局，进行长程教学设计。

【关键词】起点型核心知识；遴选方法；抽象度分析法；三元指标

【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2022）33-0015-03

【作者简介】王俊亮，江苏省扬州市江都区实验小学（江苏扬州，225200）教师，高级教师，扬州市数学学科带头人。

*本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（DHA200370）阶段性研究成果。

遴选起点型核心知识，比较高效的方法是运用徐利治和郑毓信两位教授在《数学抽象方法与抽象度分析法》一书中创建的抽象度分析法进行量化分析。

（一）抽象

抽象是指从具体事物中抽取出相对独立的一个或几个方面、属性、关系等特质形成概念、公理、命题、关系、公式等“抽象物”的思维活动。在数学活动中，抽象更多地指向抽取数学概念、公理、命题、关系、公式等共同的、本质的特征形成新知识的思维活动。

（二）抽象关系

从概念、公理、命题、关系、公式中抽取出新知识形成的抽象关系有三种形式。

1.弱抽象。如果从原型A中选取某一特征或侧面加以抽象，形成比A更一般的概念或理论B，使A成为B的特例，则A到B的抽象为弱抽象。如“正方形”弱化“四条边相等”的特征为“对边相等”就可以抽象出“长方形”，则从“正方形”到“長方形”的抽象为弱抽象。

2.强抽象。如果对于原型A，引入新特征强化得到概念或理论B，使B是A的特例，则A到B的抽象为强抽象。如“等腰三角形”强化“只有两条边相等”的特征为“三条边都相等”就可以抽象出“等边三角形”，则从“等腰三角形”到“等边三角形”的抽象为强抽象。

3.广义抽象。在概念或命题层面，如果定义概念B时用到了概念A，或证明命题B时用到了命题A，则B是A的广义抽象。如证明“正n边形的周长=边长×n”时用到了“正n边形的每条边都相等”，则从“正n边形的每条边都相等”中推导出“正n边形的周长=边长×n”的抽象为广义抽象。

（三）三元指标

依据知识点之间的弱抽象、强抽象或广义抽象关系，把有关联的知识点用单向箭头连接（箭头指向生发出的知识点）绘制成知识链，数条知识链相互勾连就形成知识结构网络图，我们称之为知识有向平面图（如图1所示）。

1.出度和入度。“出度”和“入度”这两个概念描述的是知识点之间一对多或多对一的抽象关系与程度。从一个知识结点x发出的有向线段的条数是它的出度，可以记为d出（x）。在图1中，由于“因数”与“倍数”有着不可分割的相互依存关系，我们把它们看成一个知识点，从它们发出的线段条数是8，它们的出度可以记为：d出（因数与倍数）=8。同理，d出（公因数）=3，d出（公倍数）=2。指向一个知识结点x的有向线段的条数是它的入度，记为d入（x）。在图1中，指向“最小公倍数”的线段是2条，“最小公倍数”的入度可以记为：d入（最小公倍数）=2。同理，d入（最大公因数）=2。

2.相对抽象度。相对抽象度描述的是知识点之间一对一的抽象关系与程度，它是指知识链上的知识点Cn相对于知识点C1的长度，可以记为：d相（Cn|C1）=n-1。如果连接C1与Cn之间的路径有好几条，则定义最大长度为相对抽象度。在图1中，从知识点“因数”通向知识点“分解质因数”的路径有3条，其中最长的一条知识链是：C1因数→C2质数→C3质因数→C4分解质因数，我们就定义在这个有向平面图上，知识点“分解质因数”相对于知识点“因数”的相对抽象度为：d相（C分解质因数|C因数）=4-1=3。

出度、入度与相对抽象度合称为三元指标。

（一）出度是判断起点型核心知识的第一选择

一个知识点的出度越大，说明它发出的有向连线就越多，意味着由它衍生出的新知识点就越多，它在这个知识结构体系中的基础性就越强，就越有可能是起点型核心知识点。因此，绘制出知识有向平面图，遴选起点型核心知识时，我们首先要分析知识点的出度。处于起始位置的知识点，如果在这个有向平面图中的出度最大，一般是起点型核心知识点。如图1中，作为这一组关联知识的基础知识，“因数与倍数”是一个核心知识，在这个有向平面图中出度最大，又处在起始位置，它就是一个起点型核心知识。

（二）“出度+入度之和”是判断起点型核心知识的第二个选择

一个知识点的入度越大，指向它的有向连线就越多，意味着理解、运用这个知识点需要的支撑性知识点就越多，弄懂了这样的知识点，就必然掌握了支撑它的这些知识及其之间的关系，显然，它对于掌握知识结构体系很重要，因此，入度的数据体现了这个知识点的重要程度。当我们把它和“出度”结合起来时，“出度+入度之和”就成为遴选起点型核心知识的第二个选择。起点型核心知识的主干位置，决定着它有时既要接受先出现的知识点的抽象关联，有一定的入度，又要主动与其他知识点关联起来，这使它又具有相对较大的出度。因此，在知识有向平面图中，“出度+入度之和”最大或较大的知识点往往也是起点型核心知识。如图2中，d出（两位数乘两位数）=5，d入（两位数乘两位数）=2，“两位数乘两位数”的“出度+入度之和”=5+2=7。除了“一位数乘一位数”之外，“两位数乘两位数”的“出度+入度之和”最大，因而它也是一个起点型核心知识。依据“出度+入度之和”判断出的起点型核心知识常常具有开启新的知识序列的特点。这里的“两位数乘两位数”就开启了把多位数乘多位数的几个积错开分行罗列，再相加，最后求出计算结果的方法，是所有十进制数相乘的终极运算方法。

（三）相对抽象度是判断起点型核心知识的第三选择

在如图3所示的链条式知识有向平面图中，知识点之间的出度、入度基本均衡，很难用出度或“出度+入度之和”来判断起点型核心知识。这时，我们可以用相对抽象度来遴选起点型核心知识。知识点Cn相对于C1的相对抽象度越大，表明知识点C1到达知识点Cn经过的弱抽象、强抽象或广义抽象次数就越多，而知识点每经过一次抽象，深刻程度就会加深。因此，相对于末端知识点抽象度越大的知识点就越有可能是起点型核心知识。显然，“自然数”作为整个数系的起点，经过一次次衍化，建构起一个数系，它是一个位于起始位置的起点型核心知识，其他知识都是借助自然数加上一些符号来表示的。

起于“自然数”的“数系”知识建构的长期性启示我们，起点型核心知识的教学要立足长程视野，重视阶段衔接与层级贯通，前面知识的学习一定要为后续知识预留好生长点与衔接口，促进后续知识的顺利纳入和自然生长。

[1]徐利治，郑毓信.数学抽象方法与抽象度分析法[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[2]魏光明，王俊亮，刘正松，等.小学数学核心知识教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[3]王俊亮.小学数学核心知识教学中的抽象度分析[J].教育视界，2021（35）：11-15.