一道双零点导数压轴题的解法分析与拓展

福建省福清第一中学 (350300) 李云杰

试题呈现已知函数f(x)=ex-1-a(x-1).

(1)讨论f(x)的零点个数；

(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2>4.

上述试题是广东省清远市2022年高三期末教学质检第22题，试题在素材的选取以及问题的铺设方面均与2016年全国卷Ⅰ理科数学第21题：

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.保持高度的一致.

本文对该题第(2)问的解法与延伸做一些思考，与同仁交流.

构造偏差函数是破解上述问题惯用的方法.事实上，问题(2)还可以通过比值代换消元法进行求解.