具有垂直传染的随机SIR传染病模型的定性分析

叶丽霞，兰德新，陈芳媛

（武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300）

1 研究背景

传染病是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾，尤其是2019年我国出现的新冠状病毒（COVID-19），传播速度快，感染性极强，已严重危害人类的生命健康和国家的经济发展[1-2]。因此，对传染病建立数学模型，研究其传播规律，为人们防控疾病和研发疫苗提供相应的理论依据[3-4]。目前，对传染病模型已建立许多研究成果，如具有带病毒变异的SIR模型解的渐近形态[5]，基于隔离控制的无垂直传染SIR模型的稳定性分析[6]，考虑染病母体的新生儿可以接种的具有垂直传染的SIR传染病模型的定性分析[7-8]，具有时滞和脉冲疫苗接种的SIR传染病模型的分析等[9]。

然而在现实情况中，环境因素，如湿度，降水和温度等对疾病病菌的传播起着重要的作用[10]。李琼等考虑种群之间的部分作用系数受到随机因素的干扰，建立一类具有饱和感染率的随机SIR传染病模型的性质分析[11]。ZHU等提出一类具有离散延迟的随机SIR传染病模型并建立无病平衡点的稳定性[12]。因此，在研究传染病模型的过程，环境随机因素的干扰是不可避免的，基于随机干扰的传染病模型具有十分重要的研究意义[13-20]。

在汪金燕模型的基础上[8]，考虑易感体、染病体的死亡率b1,b2受到环境白噪声的干扰：b1→b1+σ1B（t），b2→b2+σ2B（t），其中B（t）是标准布朗运动，σi（i=1,2）>0分别为它们的强度，建立一类具有垂直感染的随机SIR传染病模型。通过建立合理的Lyapunov函数，运用Itô积分，建立该系统依期望全局渐近稳定的判别准则，并利用Matlab软件进行数值仿真，验证所建理论的准确性与有效性。

2 主要结论

研究的模型描述如下：

其中：A为输入率（单位时间内由于人口迁徙及出生而进入易感者的数量），S（t）,I（t）,R（t）分别表示易感个体的数量、传染病个体的数量、免疫个体的数量。记总人口N（t）=S（t）+I（t）+R（t）。τ（τ＞0）表示传染病患者从染病到能够传染给易感者的间隔时间，β表示传染率，γ表示传染病患者的恢复率。b表示t时刻传染病患者的出生率系数，b1、b2、b3分别表示t时刻易感个体、染病个体和免疫个体的死亡率，b1＜min｛b2,b3｝。

假设只对染病者未被感染的新生儿进行接种，接种率为m，垂直感染率设为p（p+q=1）。

Itô积分在随机微分方程的稳定性研究中起着重要的作用，对于随机系统dx（t）=f（x,t）dt+g（x,t）dB（t），设V（x,t）是关于x和t的正定函数，且和存在，则存在一个随机微分算子

其中：LV（x,t）=Vx（x,t）f（x,t）+（1/2）trac［gT（x,t）Vxx（x,t）g（x,t）］+Vt（x,t）。

定理2.1 若系统(1)满足以下条件：

证明 构造Lypunov函数

利用Itô积分，则有

由已知条件（1）、（2）、（3），则二次型矩阵Ξ为负定矩阵，则E[d V]=E[LV]＜λmax（Ξ）‖ξ（t）‖2＜0,这里E表示随机过程的期望，则系统(1)在处是依期望全局渐近稳定的。

推论2.1假设系统（1）免疫个体的死亡率b3=0。若系统（1）满足则该系统在平衡点（S*（t），I*（t），R*（t））＝处是依期望全局渐进稳定的。

3 示例

考虑系统(1)的初始值为S（0）=10,I（0）=5,I（0）=1。选取A=0.3，b=0.1，β=0.1，P=0.08，q=0.92，m=0.8，b1=0.2，b2=0.2，b3=0.01，γ=0.01，σ1=0.1，σ2=0.1。可得模型如下:

Matlab数学软件中运行结果如图1。

图1 系统（1）S（t），I（t），R（t）随t的变化Fig.1 System（1）S（t），I（t），R（t）change with t

从图1中可以看出S（t），I（t），R（t）随t的变化情况。随着t的增大，S（t），I（t），R（t）最终将趋于稳定(特别在t≥30之后系统(1)全局渐近稳定)。

4 结论

基于实际应用背景，考虑加入随机干扰，研究具有垂直感染的随机SIR传染病模型，对该系统分析其依期望全局渐进稳定。定理2.1给出该系统达到稳定的一个充分条件，并给出定理2.1的推论，考虑该系统个体具有较强的免疫力，分析该系统参数和干扰系数的关系，而且表明该系统具有较强的抗干扰性。最后，通过1个实例并借助Matlab软件作图，具体描述该系统个体密度随时间的变化情况。