“双新”背景下数学建模活动初探——以“医院推床通道的宽度研究”为例

200137 上海市高桥中学 朱咏梅 杨晨昊

一、 教学设计说明

(一)教材分析

《普通高中数学课程标准》(2017年版2020年修订)明确指出必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动

.

课标在主题二“函数”的教学提示中提到，函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题

.

在函数单元的学习中，帮助学生理解函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出问题、分析问题和解决问题

.

《上海市数学学科教学基本要求》明确指出，在函数的单元教学中，应把本单元的内容视为一个整体，从具体的函数出发，引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数概念

.

通过梳理函数的单调性、周期性、奇偶性、最大(小)值等认识函数的性质

.

而数学建模正是学生运用函数模型，探究并解决实际问题的应用体验，有助于学生深刻感悟函数作为数学的语言和工具在解决实际问题中的重要作用

.

数学建模与教材必修一“5

.

3函数关系的建立”的侧重点是不同的

.

函数关系的建立是对已经数学化的问题，通过分析变量间的关系建立函数关系，亦可着眼于在简单的生产、生活问题中建立相应的函数模型

.

而数学建模是对某个现实问题经过必要的简化、合理的假设得到一个数学问题，将其称为数学模型，再求解所得到的数学问题，根据实际情况验证该数学答案是否合理

.

在合理性得不到保证时，还要进行反复迭代和修正模型

.

数学建模是从实际问题抽象出数学问题，到赋予数学模型解答现实意义的完整过程

.

(二)教学内容解析

本次建模活动是在沪教版普通高中教科书《数学》必修一第五章第三节“函数关系式的建立”教学之后进行的，是参考必修四中“家具搬运”的案例，重新创设的适合高一学生开展的一次数学建模活动

.

本活动共分为四课时，其中，第一课时、第四课时在课堂外进行，本文重点探究第二课时、第三课时

.

第二课时：

现实带来的思考是救治病人需要争分夺秒，在最短时间内通过病床把病人送到抢救室

.

因此，从数学的视角发现问题，即医院推床通道的宽度应有严格的最低限度要求，进而通过分析问题、建立转角模型并求解模型得到答案、回到实际情境验证答案、直观感受到答案与实际情形不相符，产生疑惑，发现需要再改进模型

.

第三课时：

根据问题本质，通过数据分析、逐步添加影响因素等方式，模型不断完善，在模型不断合理化的过程中提高学生数学建模能力，开发学生的创新能力

.

(三)学情分析

1

.

学生已有的认知基础学生已经具备了锐角三角比、函数的概念、性质(单调性、奇偶性，最值)等知识，能对简单的应用问题建立相应的函数关系

.

2

.

达成教学目标所需的认知基础数学建模对学生的综合能力要求较高，包括将实际问题转化为数学问题，分析问题的本质与影响因素，收集数据并合理分析运用，建模、解模、检验模型、优化模型、再检验模型等能力

.

3

.

教学难点的突破策略通过教师引导启发，学生小组团队合作完成数学建模的完整过程，应用数学软件辅助直观想象

.

二、 教学设计具体内容

通过教师的引导，学生逐步考察影响数学模型的相关因素(如图1所示)

.

图1

(一)教学过程

活动1

创设情境，引入课题

情境1

(播放视频)抢救病人需要争分夺秒，在推拉着病床迅速跑向抢救室的过程中，一路上要保证行进的畅通、顺利

.

因此，对于医院通行推床的通道，其宽度的最低限度有严格的要求

.

问题1

如果由你来制定这个行业标准，你认为该通道宽度的最小值应为多少？

设计意图：

通过真实的情境引导学生关注其背后的数学问题，并能准确表达

.

活动2

分析问题本质，考察相关因素

情境2

每个小组画出病床在通道中运动的示意图，小组展示交流，并考察问题的本质和相关的因素

.

问题2

该问题的本质是什么？在病床能转过通道转角的前提下，求解通道宽度的最小值

.

(因为病床的宽度一定小于通道宽度，故不考虑病床的直线前进)这里的通道宽度指的是除去占用通道的物体后，实际可行的通道宽度，也就是通道净宽的最小值(如图2所示)

.

图2

问题3

影响通道宽度的因素有哪些？由于病床的床面和地面平行，床的高度一定小于楼层高度，所以只需要研究病床在水平地面上的投影形成的平面几何图形即可

.

因此，有可能影响通道宽度的因素如图3所示

.

图3

问题4

如何处理这么多复杂的因素？提出合理的假设

.

1

.

通道的转角是直角，因为直角转角是建筑通道中最多使用的转角

.

2

.

转角两侧的通道没有任何占据通道的人或物，且通道两侧净宽相同，记为

d.

3

.

病床的尺寸有严格的要求，为了研究的方便，用字母

l

表示其长度，

h

表示其宽度

.

4

.

忽略运动过程中的所有摩擦

.

设计意图：

通过一系列问题串，学生对从现实情境抽象出的数学问题的分析方式有了直观的理解，为后续初步建模建立了基础

.

活动3

分析主要矛盾，合理简化模型

情境3

考察该问题背后的数学模型

.

问题5

既然影响问题的因素得到了合理简化，那么该问题所对应的数学模型能否相应得到简化？由于人能够推动病床前进且帮助病床顺利转过通道转角，故假设病床有自动前进、转弯的功能，工作人员都在床的前方或者后方，这样就能先忽略人对通道宽度的影响

.

此时，如图4所示,通道宽度

d

就只与病床的长

l

、宽

h

有关

.

图4

情境4

利用几何画板观察病床转过转角的过程，感受通道宽度

d

只与病床的长

l

、宽

h

之间有依赖关系

.

问题6

如何理解长

l

、宽

h

的病床能够转过宽度

d

的通道？从运动过程(几何画板拖动演示)可见，如果通道足够宽，那么床能顺利转弯(如图5-1所示)

.

说明此时可以缩小通道的宽度，使得床的一边抵在通道转到的拐点(如图5-2所示)

.

图5-1图5-2

图5-3

而如果床的一边抵住了点

O

，有时也会发生无法转动的情况(如图5-3所示)

.

造成上述情况的原因是病床在运动中不会发生形变，不易想象病床抵住墙时的运动情况，且不知道通道宽度

d

与病床的长

l

、宽

h

之间的关系，这给问题的解决造成了困难

.

换一个角度思考、想象一下，将病床置于一个长宽都能在运动中伸缩自如的弹性矩形内，这样弹性矩形就可以抵住墙转过转角，此时通道宽度和弹性矩形长宽之间存在着某种依赖关系

.

图6

问题7

通道宽度和弹性矩形长宽之间的关系是一个多元变量函数，以目前的知识储备无法解决这样的问题，怎么办？考虑控制变量，实现降维处理

.

如图6所示,令弹性矩形

A

B

C

D

的宽度即为病床的宽度，

B

,

C

始终贴着通道外侧的墙运动的情况下，结合动画软件可知在

θ

变化的过程中，对任意给定的通道宽度

d

，线段

B

C

的长度随之变化并有最小值

.

对任意给定的通道宽度

d

，只要病床的长度

l

小于等于

B

C

的最小值，病床就能转过直角通道

.

设计意图：

通过对所有相关因素的分析与简化，抓住影响问题的关键点，实现对模型的简化，同时让学生认识到对多变量进行控制变量是实现降维处理、化繁为简的有效手段

.

活动4

模型初建与求解

转角模型

推床转弯的问题可以表述为如下数学问题

.

如图7，已知

OM

与

PK

、

ON

与

PQ

分别平行且距离都是定值

d

，

OM

⊥

ON

，

PK

⊥

PQ

，矩形

A

B

C

D

的边

A

D

通过点

O

，矩形的宽

A

B

=

h

(

h

为定值，且

h

<

d

)，∠

D

ON

=

θ

，求矩形的长

l

′与角

θ

的函数关系

l

′=

f

(

θ

)，并求这个函数的最小值

.

图7

过

A

作

EF

⊥

KP

，交

KP

于

E

，交

OM

于

F

，过

D

作

HG

⊥

PQ

，交

PQ

于

G

，交

ON

于

H

，则∠

A

B

E

=∠

C

D

G

=∠

OA

F

=∠

D

ON

=

θ.

显然

l

′=

OA

+

OD

,在Rt△

A

EB

中，

A

E

=

h

sin

θ

，所以

A

F

=

d

-

h

sin

θ

，进而在Rt△

OA

F

中，同理所以其中考虑到

d

>

h

，不妨设

d

=

th

(

t

>1)，于是有令

x

=sin

θ

+cos

θ

，则且则再令

u

=

tx

-1，则且从而上式变形为对于函数任取即在上严格递增，所以当时，此时因此，当床的长度时，能转过两侧宽度为

d

的直角转角，即通道净宽

设计意图：

通过对模型的初建和改进，感悟初步建立模型并求解的意义在于得到极简情况下数学意义上的解，尽管这个结果与真实情形是有较大差距的，但它为后续的模型改进提供了必要的基础

.

活动5

交流反思模型的解及其实际意义

情境5

对改进后模型的解进行分析

.

问题8

利用转角模型的结论，结合病床的尺寸求解通道宽度的最小值，并思考这个结果的合理性

.

医用病床基本尺寸应符合不含床架的情况下，床面长度为1900mm-2000mm，床面宽度为900mm-1000mm，且床栏的高度应不小于350mm，长度不小于800mm.

图8

医院病床最为常见的是ABS冲孔面手动双摇病床(如图8所示)，其外形尺寸为2000mm×900mm×500mm(长×宽×床面高)

.

因此若取

h

=1m，

l

=2m，则由得若取

h

=0

.

9m，

l

=2m，则由得

d

≈1

.

343m

.

由此提出问题：根据上述建模的结果，你能给出医院通道宽度的最低限度吗？(不能，还要考虑人的因素)

问题9

如何考虑人对通道宽度的影响？人的作用是帮助病床前进、转弯，其站位和体型都对通道宽度有影响

.

人的站位：(观察视频中医护人员的站位)通常情况下，推床周围有5名工作人员，其中4名分别站在床的两侧(阴影处)，还有1名在床尾推着床前进(斜纹处)，其站位通常情况如图9所示

.

人的体型：由于人的体型复杂，不易处理

.

为了研究的方便，这里对人体作简化处理，将人看成一个长方体，假设人体宽为

w

，人体厚度为

k

，则其俯视图是邻边为

w

,

k

的矩形(如图10所示)

.

图9图10

提出问题:根据人的体型和站位，你能画出工作人员推病床的俯视图吗？

该平面图形的横向最大宽度是床的宽度+两人的宽度，纵向最大长度是床的长度+一步长(如图9所示)

.

问题10

如何选取人的体型数据？尽管床两侧的4名工作人员会有侧身的情况，但前进中大致上还是会保持身体朝前方的姿态，因此其俯视图的宽度应为人体最宽的部位

.

而人体最宽的部位是肩部，下面考察普通成年人的肩宽

.

根据《中国成年人人体尺寸(GB10000-88)》得到表1

.

表1

年龄分组项目男女男女差 男18岁-60岁,女18岁-55岁身高(mm)16781570108肩宽(mm)37535124最大肩宽(mm)43139734

说明：

肩宽指的是人两肩峰之间的距离，最大肩宽指的是人上臂三角肌外侧两点间的距离，所以应该用“最大肩宽”

.

该数据来自1986年我国人体基础数据调查

.

时隔20多年，随着人的生活水平不断提高，越来越多的人重视运动健身，人的体型也发生了较大的变化

.

2013年11月27日，“中国成年人工效学基础参数调查”正式启动，持续5年

.

而“国家人口健康科学数据中心人口健康科学数据仓储PHDA”的网页显示，该调查数据将于2029年11月19日公开

.

因此，引入其他国家的一些数据进行参考，例如根据日本《size-JPN 2004-2006》得到表2.

表2

年龄(岁)身高(mm)肩宽(mm)最大肩宽(mm)男女男女男女20-241704158240335844940825-291710159040436046040730-341713158440635846640635-391710158540635946540740-441705157940436046541145-491697156240335946340650-5416911555399358459408

根据美国2010

Anthropometric

Survey

of

U.S.

Marine

Corps

Personnel

:

Methods

and

Summary

Statistics

节选得到表3

.

表3

年份项目女男男女差2010身高(cm)162.49175.3412.85肩宽(cm)35.8540.885.03最大肩宽(cm)44.1949.795.6

结合上述数据，考虑到亚洲人与欧美人的体型有较大差异，所以采用日本的数据，记推床的医护人员的最大肩宽为0

.

466m

.

后两名工作人员在奔跑中呈前倾姿势，因此，其俯视图是长度为人最大肩宽

w

，宽度为手所扶的床沿到脚后跟的距离

k

′，取

k

′=0

.

9m

.

问题11

结合转角模型的结果和人的相关数据，再次求解通道宽度的最小值，并思考此时能否为医院推床通道定一个最低的宽度

.

如图11，将人和病床置于矩形内，若取床宽

h

=1m，则通过直角通道的矩形的长度为

l

+

k

′=2

.

9m，宽度为

h

+2

w

=1+2×0

.

466=1

.

932m，则若取床宽

h

=0

.

9m，则

图11

根据模型结论，考虑到行进中的工作人员和墙之间会留有一定的空间，所以推床通道的净宽不低于2

.

4m是合理的

.

这与《综合医院建筑设计规范》中的规定是吻合的

.

设计意图：

在转角模型的基础上，增加先前为了简化模型而去掉的因素，还原模型的真实性，体会模型不断改进的必要性

.

同时在人体数据的收集和运用中，让学生感受到数据的来源必须是真实的，其运用是有理有据的

.

情境6

关于模型的一些思考

.

问题12

如果两侧宽度相同的转角是钝角，通道的宽度的最小值会有所改变吗？如图12-1、图12-2，在弹性矩形

A

B

C

D

转弯的过程中，

B

C

的长度在转角的角平分线

OP

两侧呈对称变化，所以只需考虑当

B

C

垂直于转角的角平分线

OP

时，弹性矩形转出这个拐角的过程即可

.

图12-1

图12-2

当

B

C

垂直于转角的角平分线时，过

B

，

C

分别作

PB

，

PC

的垂线，两条垂线交于点

O

′

.

以

O

′为圆心，

O

′

O

和的长度为半径作出同心圆，当弹性矩形

A

B

C

D

在同心圆通道内滑动时，其形状不会发生变化

.

说明：

若不然，当为锐角时，

B

处无法左转；当为钝角时，

C

处无法左转，从而矩形无法前进转出，如图13-1、图13-2所示

.

图13-1

图13-2

由于同心圆中较大的圆与通道的外侧

PB

，

PC

相切于

B

，

C

，因此当弹性矩形

A

B

C

D

保持宽度

A

B

=

h

(病床宽度)不变，从垂直于角平分线

OP

起发生转动并到达图12-2中加粗位置时，此时

B

，

C

两点处于通道内

.

也就是说，一旦撤去同心圆轨道，

B

C

就会伸长，使得

B

，

C

两点抵住通道外侧墙面，即弹性矩形

A

B

C

D

的长

B

C

变大

.

从上述过程可知，如图14，弹性矩形

A

B

C

D

垂直于角平分线

OP

时，

B

C

达到最小值，只要病床的长度小于(

B

C

)时，病床就能通过该转角

.

此时弹性矩形

A

B

C

D

即为病床俯视图的矩形

ABCD

，

h

=1m,

l

=2m)

.

图14

设转角则代入

h

=1,

l

=2，得所以因为所以函数在上严格递减，如图15所示，即当转角通过规格统一的病床时，

α

越大时，通道所需的净宽就越小，由此也说明了通道净宽的最小值应该按照直角通道来进行设计

.

图15

设计意图：

改变转角角度即是对合理简化后条件做出的改进，也是让学生多角度认识不同因素对通道宽度的影响，同时这些结论也能再次解释《综合医院建筑设计规范》中通道净宽最小值的合理性

.

由此，还可以将其推广到其他建筑类型中，即在满足相关建筑行业规范的前提下，设计不同的、既实用又美观的通道

.

问题13

如果(直角)转角两侧的过道的宽度不同，从窄的过道转进宽的过道，或者从宽的过道转进窄的过道，情况会有什么不同？“宽进窄出”和“窄进宽出”是运动相反的两个过程，所以只需考虑其中一种即可，下面说明窄进宽出

.

设窄侧通道宽度为

b

，宽侧通道宽度为

a

(

a

>

b

)，如图在

θ

变化中的任意时刻都有

图16

而两侧等宽的直角通道的宽度最小值已经在之前的模型中解决了，从而说明当通道两侧宽度不同时，所能通过的病床的最大长度，一定大于通道两侧等宽时的病床的最大长度

.

因此，当窄侧通道的宽度达到《综合医院建筑设计规范》中要求的2

.

4m时，就能保证病床能顺利通过两侧宽度不同的直角通道

.

设计意图：

改变转角两侧的通道宽度有两方面的需求

.

一是改变初步建模时设置的通道两侧等宽的条件，以观察这种情况对模型结果的影响

.

二是这个病床转弯的模型还有其他可以应用的意义，如停车场中的车道并非都是等宽的

.

因此，根据此模型的解可知，在设计两侧不等宽的直角通道时，窄侧通道需达到相应的行业标准

.

问题14

经过本次建模活动，你还能对模型作出其他改进吗？你还能从其他角度来建模吗？你觉得生活中还有哪些地方可以用到该数学模型？

问题15

你觉得还有哪些生活中的问题可以用数学建模的方式来解决？

设计意图：

引导学生对模型进行改进，使其认识到数学建模的过程是一个由简到繁、不断完善的过程，任何一个模型都有其不足，需要多角度建模，并不断改进，才能使模型与真实情境更贴近；使学生明白要学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界

.

(二)总结

1

.

数学建模的过程(如图17所示)

.

图17

2

.

数学建模过程是一个从简单到复杂、逐步优化的过程

.

初步建模时应突出影响目标的主要因素，简化其他因素，分类分解复杂因素，使问题得到初步解决，然后再逐步添加其他因素，使数学模型越来越接近现实情形

.

三、 案例反思

(一)建模方式的初探——建模活动的真实体验

本次建模活动是基于新教课程、新教材的第一次初探，以四课时为一次建模活动进行探究

.

第一课时的主要内容是数据采集、实地考察、资料收集、小组协作

.

第一课时在课堂之外展开，学生以小组为单位，教师指导，家长为辅，在确保安全的前提下，有些小组进入医院对通道宽度、病床宽度等进行实地测量，或根据医院可提供的数据，得到了2m到6

.

8m不等的医院通道宽度数据

.

有些小组上网进行数据采集，比如采集人体尺寸、病床尺寸等信息

.

有些小组进行访谈，记录了解相关信息

.

通过小组组员协作，学生自行制作PPT展示小组的调查情况

.

有了数据之后，教师布置学生阅读材料

.

由于这次建模活动所需的知识储备不仅涵盖不等式、函数，而且涉及三角知识，所以教师通过预习方式将实际问题数学化

.

学生通过自主预习、自主采集(上网查阅需要的数学知识、向教师寻求帮助、和同伴合作交流)、自主探究等方式解决“自学案”的三个数学问题

.

第二课时和第三课时依托市级展示活动，以公开教学方式展开

.

本文的教学案例就是基于第二课时和第三课时设计并完成的

.

在经历了第一课时的实际问题调查后，学生经历如下六个步骤：在真实情境中提出问题；分析问题的本质和影响因素；突出主要矛盾，对影响因素作出合理的假设；建模解模，并检验；反思改进模型，再检验；对模型进一步思考

.

两节课原先没有设计“画一画”的学生活动，教师发现学生从实际情境到数学化的过程有一定的困难，通过试讲发现了问题，故而在问题引入上加以改进

.

结合调查的数据和视频资料，学生以小组为单位画出需要解决的数学问题的图像，在直观想象下思考并解决问题

.

“画一画”活动的调整不仅符合学生的认知和对问题的理解能力，而且激发了学生探究问题的热情，发现原来自己也能设计建筑图纸，也能把实际问题数学化

.

但是，课堂上为用数学语言将实际问题数学化、整理成“应用题”的过程所预留的时间有些不足

.

如果再增加3分钟-5分钟让学生把实际问题具体化，写出已知、求解就更好了，可以进一步完善学生对数学建模从实际到抽象的理解和实际应用

.

教师在第一课时发现有学生自学了三角函数和解析几何的相关知识，他们觉得目前的知识储备不够用，于是通过自学画出了三角函数图像解决问题，运用了数形结合的数学思想方法

.

在第二课时，课堂中有学生说：“老师，我发现了一种很有趣的解法

.

”他利用点到直线距离知识克服难点，有了解析法的思想

.

无论学生的解决方式是什么，建模活动都激发了学生学习数学的兴趣和乐趣，他们自主学习的能力在建模活动中真正有了“内驱动”，而不是出于完成“数学作业”任务的需要

.

他们发现学习数学是有趣的、有效的、有方法的，而且这还带动了整个班级的学习氛围

.

自主学习、自主应用的意识在高一起始年级就形成了，为今后的数学学习打下了坚实的心理基础和行为基础

.

第四课时的内容为建模论文

.

此次建模活动组织了高一年级14个班级612名学生参加，为了更好地反思模型、验证模型，第四课时设计为“建模作业——论文”

.

通过课后进一步思考和探究，从不同角度思考，不少学生形成了有一定质量的小论文，为数学研究打下了基础

.

当然，也有一部分学生以感想的形式递交了作业，虽然未形成“小论文”，但是他们对这次活动的所感所思还是非常深刻的

.

(二)建模活动的课堂行为——问题相扣，思维碰撞，合作交流，思辨共进

第一课时、第四课时在课堂外，第二课时、第三课时在课堂内

.

课堂外教师适时、有序地指导，帮助学生形成自主预习和学习的能力

.

那么第二课时、第三课时的课堂对教师的语言是有高要求、严标准的

.

如何设计问题才能引发学生思考？如何有序、合理地实施建模的六个步骤？如何在建模活动中让学生产生共鸣？如何在一次建模活动中实现学科融合、“五育”并举，甚至让学生产生对未来职业的诉求和向往？这些都是“建模课题”

.

首先，课堂语言的科学性、严谨性和准确性非常重要

.

数学是一门基础学科，“它是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，它可以应用于现实世界的任何问题”

.

应用是学习数学的本质，它是人类科技进步的基础和保障，是一种语言，为其他学科的学习奠定了基础

.

故而，在选定课题后，如何解决问题，如何引导学生思考问题需要不断磨、不断调、不断改

.

例如当医院通道较窄时，学生不易想象病床转弯的情形，此时教师在引导学生时需要设置语言上的陷阱，如“病床是刚体，在过弯时不会发生形变，导致其在较窄通道内转弯时有可能被卡住，但是如果这是一张有弹性的病床，可以发生形变呢？”基于学生在问题解决中可能产生的思维障碍，两节课的问题链在一次次试讲、一次次修改中不断调整，从语言组织到语言“陷阱”，从问题提出到问题本质，从影响因素到合理假设，从数学化到问题解决，从数据分析到验证模型

.

基于学生的认知是基础，层层深入分析问题为引导，突破重点和难点是关键，总结归纳是思考和反思

.

其次，课后学生的共鸣和收获有些在笔者的意料之中，有些在意料之外

.

比如学生说“建筑简易图纸都能画了，好像可以做建筑师吧”，“病床如果能有弹性不就能通过很多医院通道了吗”，“人体数据原来只能查到1986年的，要到2029年才能有最新数据”，“老师通过上网搜索了其他国家的人体数据，补充了我国数据，我怎么没想到呢”，“统计，我们会学吗？那我们采集数据后就会分析数据了吧”等

.

学生不仅学到了新知，对数学学科有了新的认识，而且对今后的职业规划也有了初步的思考，可谓一举多得

.