一类带p-Laplace算子的Caputo分数阶导数边值问题解的存在性

李 小 平

(湘南学院 数学与信息科学学院, 湖南 郴州 423000)

0 引 言

目前, 关于分数阶微积分方程的研究已取得了许多成果[1-9]. 文献[8]用单调迭代法研究了如下带p-Laplace算子分数阶微分方程四点边值问题正解的存在性:

(1)

其中:

Dα,Dβ,Dγ是标准的Riemann-Liouville分数阶导算子,f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).文献[9]利用Gronwall不等式和不动点定理, 研究了具有Riesz-Caputo导数的分数阶微分方程

(2)

但目前关于带p-Laplace的Caputo分数阶导数的边值问题可解性研究文献报道较少, 基于此, 本文研究如下带p-Laplace的Caputo分数阶导数的边值问题解的存在性：

(3)

1 预备知识

定义1[10]函数f: (0,+∞)→的ζ>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义2[10]函数f: (0,+∞)→的ζ>0阶Caputo分数导数定义为

其中n=[ζ]+1, [ζ]表示实数ζ的整数部分.

引理1[10]设ζ>0,n=[ζ]+1, 则方程CDζf(t)=0的解为

f(t)=d0+d1t+d2t2+…+dn-1tn-1,

其中di∈,i=0,1,2,…,n-1.

引理2[10]设ζ>0,n=[ζ]+1, 则有

IζCDζf(t)=f(t)+d0+d1t+d2t2+…+dn-1tn-1,

其中di∈,i=0,1,2,…n-1.

(4)

的唯一解为

(5)

其中,

(6)

证明： 由引理2及方程(4), 可得

由CDαu(0)=0, 有b=0.从而有

φp(CDαu(t))=Iβh(x),

(7)

(8)

由引理2, 得等价的积分方程：

其中m1,m2,m3∈.

通过计算得

由u″(0)=0, 得m3=0.进一步由边值条件u(0)+u′(0)=0,u(1)+u′(ξ)=0, 可得

m1+m2=0,

则

所以

证毕.

引理4式(6)定义的G(x,t)满足如下性质：

1)G(x,t)∈C([0,1]×[0,1]),G(x,t)>0, ∀x,t∈(0,1)；

2) 存在函数ν(t),ω(t)∈C(0,1), 使得

证明： 1) 由G(x,t)的定义易知1)成立.

2) 设

则可得

所以有

1) 当u∈K∩∂Z1时, ‖Tu‖≤‖u‖, 且u∈K∩∂Z2, ‖Tu‖≥‖u‖；

2) 当u∈K∩∂Z1时, ‖Tu‖≥‖u‖, 且u∈K∩∂Z2, ‖Tu‖≤‖u‖.

1) 当u∈K(θ,r2,r3)时, {u∈K(θ,r2,r3)|θ(u)>r2}≠0, 且θ(Tu)>r2；

2) 当u≤r1时, ‖Tu‖

3) 当u∈K(θ,r2,r3)时, ‖Tu‖>r3,θ(Tu)>r2.

则T至少存在3个不动点u1,u2,u3, 其中‖u1‖

2 主要结果

K={u∈X|u(x)≥0, 0≤x≤1}.

引理7算子T:K→X定义为

则算子T:K→K是全连续的.

证明： 函数G(x,t),f(x,u)是非负且连续的, 所以算子T:K→K是连续的, 由Arzela-Ascoli定理和Lebesgue控制收敛定理知算子T:K→K是全连续的.

为方便, 记

χ(h)=max{f(x,u),(x,u)∈[0,1]×[0,h]},ψ(h)=min{f(x,u),(x,u)∈[0,1]×[0,h]}.

定理1假设f: [0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是一个连续函数, 且存在两个正数τ1>τ2>0, 使得

χ(τ1)≤φp(τ1L),ψ(τ2)≥φp(τ2M),

则边值问题(3)至少有一个正解u满足τ2≤‖u‖≤τ1.

证明： 下面分两步进行证明.

1) 设Z1∶={u∈K|‖u‖≤τ1}.对于∀u∈∂Z1, 有‖u‖=τ1,f(x,u(x))≤χ(τ1)≤φp(τ1L), 其中(t,u)∈[0,1]×[0,τ1].则

因此, 对于∀u∈∂Z1, ‖Tu‖≤‖u‖.

2) 设Z2={u∈K|‖u‖≤τ2}.对于∀u∈∂Z2, 有‖u‖=τ2,f(x,u(x))≥ψ(τ2)≥φp(τ2M), 其中(x,u)∈[0,1]×[0,τ2].则有

定理2假设f∈C([0,1]×[0,+∞), [0,+∞)), 存在3个正数0<τ1<τ2<τ3, 使得:

1) 当(x,u)∈[0,1]×[0,τ1]时,f(x,u)≤φp(Lτ1)；

2) 当(x,u)∈[1/4,3/4]×[τ2,τ3]时,f(x,u)≥φp(Mτ2);

3) 当(x,u)∈[0,1]×[0,τ3]时,f(x,u)≤φp(Lτ3).

则边值问题(3)至少有3个解u1,u2,u3, 满足：

(10)

(11)

(12)

证明： 下面分四步证明.

且

{u∈K(θ,τ2,τ3)|θ(u)>τ2}≠Ø.

所以如果u∈K(θ,τ2,τ1), 则τ2≤u(t)≤τ3, 1/4≤t≤3/4.由假设2)知,f(x,u)≥φp(Mτ2),u∈K(θ,τ2,τ1), 从而

所以∀u∈K(θ,τ2,τ1), 有θ(Tu)>τ2, 即满足引理6的条件1).

即满足引理6的条件2).

4) 如果u∈K(θ,τ2,τ3), 则由2)有θ(Tu)>τ2, 即满足引理6的条件3).

由引理6, 边值问题(1)至少有3个非负解u1,u2,u3, 满足式(10)～(12).

3 应用实例

例1考虑边值问题：

(13)

例2考虑边值问题：

(14)

其中

由定理2知, 边值问题(14)至少有3个非负解u1,u2,u3, 满足：