一种主动反射面的变形策略研究

张广为，王子雨，李咏琪

（北京建筑大学，北京 102627）

500 m口径球面射电望远镜（Five－hundredmeter Aperture Spherical radio Telescope，FAST） 是我国国家“十一五”重大科技基础设施建设项目。主动反射面作为FAST 的创新点，其特点是通过控制基准球面上主索节点的伸缩，在观测方向形成300 m口径瞬时抛物面。随着所观测天体位置的变化而将反射面实时调整至理想抛物面的位置，使得观测天体发出的平行电磁波经过主动反射面反射后汇聚到馈源舱平面上，即实现了对观测天体的实时跟踪及接收[1]。因此，通过数学模型进行理想抛物面形状的设计是使FAST 能够获得最佳接收效果的必要保证。

关于FAST 抛物面的变形策略，前人的研究比较少。李明辉等[2]考虑节点总位移量、抛物面边缘与球面是否平滑过渡等原则，设计出3 种变形策略，但未综合考量每种理想抛物面的反射效率。

在前人研究的基础上，本文首先建立了馈源舱的接收比模型，衡量了不同抛物面的接收效果。随后，建立了双目标优化模型，以“最佳的接收效比”和“主索节点总位移量最小”为优化目标，得到了理想抛物面方程；进而考虑了随着天体的位移，理想抛物面方程的变化情况，量化分析了理想抛物面的形状。

1 问题分析

在2021 高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题A题“‘FAST’主动反射面的形状调节”[3]中，提出了下面的问题：在反射面板调节约束下，确定一个理想抛物面，然后通过调节主索节点的径向伸缩量，将反射面调节为理想抛物面。通过建立数学模型，对理想抛物面形状进行量化分析。为了便于分析，本文简化了物理模型，忽略了自重和风载荷引起的反射面形状变化，同时忽略了其中一个主索节点长度变化对周围主索节点变化精度的影响[2]。

2 馈源舱的接收比模型

依据旋转抛物面在旋转过程中的对称性，建立模型时将三维旋转抛物面简化到二维抛物线[2]；并且基于黎曼积分的思想，将线段离散化，以一个极小值为步长在线段上取点，将线段设想为一系列离散点的组合。通过分析线段上所有离散点的反射情况来判断一条线段的反射效果。

2.1 抛物线上任意点T 的反射过程分析

依据模型假设，电磁波信号可认为是直线传播，且对于无穷远的观测天体所发射的电磁波信号可近似为许多束平行光线[4-5]。依据上述对模型的简化，对于任一个以z 轴为对称轴同时焦点在z 轴上的抛物面，其方程为

式中：P 为焦点到对应准线的距离；C 为待求常数。

对于其上的一点T0（x0，y0，z0），其所在点的切平面法向量Γ＝（2x0，2y0，－2P），对应的入射电磁波l1方程为

法线l2方程为

依据光的反射定律[2]，可知反射电磁波l3与入射电磁波l1在其所处平面上关于法线l2对称。在三维空间里，若入射电磁波l1关于法线l2对称，则反射电磁波l3[6]可表示为

式中：X＝2x0；Y＝2y0；Z＝－2P。

抛物线上任意点的反射过程见图1。由图1 可知，已知馈源舱平面可简化为在z＝－160．2 的平面上半径为1 m 的圆[3]，如果要判断反射电磁波l3能否反射到馈源舱平面上（即馈源舱平面是否可以接收到反射电磁波l3），就需要在求得反射电磁波l3与馈源舱平面z＝－160．2 的交点T1（x1，y1，－160．2）后，比较x21＋y21与1 的大小。若x21＋y21≤1，则馈源舱平面可以接收到反射电磁波l3；若，则馈源舱平面接收不到反射电磁波l3。

图1 抛物线上任意点的反射过程

2.2 计算接收比

在2．1 节中分析了理想抛物面上一个离散点的反射情况，由于旋转抛物面的对称性，因此考虑取当y＝0 时的二维理想抛物线，通过取极小的步长将理想抛物线离散为许多点，就可以定义理想抛物线的接收比η 为

式中：N为成功反射到馈源舱的离散点总数；L′为取的离散步长，可取0．001；L为理想抛物线总长。

3 建立双目标优化模型确定理想抛物面方程

FAST 反射面实现对观测天体的跟踪过程中，为避免局部主索的松弛或因过度拉紧使应力超过设计值，主索节点运动位移量应在合理范围内越小越好[1]，同时又要保证变形后的抛物面形状有着良好的接收效率。

因此，本文以“主索节点总位移量最小”和“最佳接收比”两个因素建立优化目标。同时考虑单个主索节点位移受束缚、节点间位移变化的互相影响等作为约束条件，建立双目标优化模型。

3.1 双目标优化模型

由实际情况可知[3]，主索节点位移量有以下3 类约束条件。

1） 满足焦点P 以及对称轴SO 的约束，且过抛物线的顶点坐标。其中，焦点位置为（0，－160．2），对称轴SO 为x＝0，抛物线的顶点坐标为（0，－（R＋h））。由此可得约束条件方程组为

式中：坐标系为xOz；P 为焦点到对应准线的距离；C 为待求常数；F 为焦距；h 为抛物面顶点和基准球面顶点的距离；R为基准球面半径；焦径比F/R已知。抛物线方程可整理为

式（7）中仅h 未知，故旋转抛物线方程仅与抛物面顶点和基准球面顶点的相对位置h 有关。第102页图2 为理想抛物面的调节示意图。

图2 理想抛物面的调节示意图

2） 由于促动器顶端伸缩幅度限制与抛物面的位置关系不直接[3]，描述较为复杂，可以用以下约束条件近似代替：抛物面与基准球面同一径向上两点之间的距离应小于0．6 m，即主索节点顶点伸缩幅度≤0．6 m，其表达式为

式中：Oi（xi，zi）与Oi′（xi′，zi′）分别为第i 个主索节点变换前与变换后的坐标。

3） 主索节点调节后，相邻节点间的距离会发生微小变化，变化幅度≤0．007%，已知一个主索节点的最大位移量为0．6 m，其对周围主索节点的影响仅在微米级别，即0．6 m×106×0．007%＝42 μm，故可忽略不计。

考虑完上述约束条件，接下来以“主索节点总位移量最小”为优化目标建立函数。通过计算抛物面与球面间的面积来代替主索节点总位移量，运用积分在300 m 口径内求得曲面面积的表达式为

3.2 模型求解

双目标优化模型的目标函数可汇总为

考虑到算法的精度，本文采用遍历搜索算法求解。最优参数的求解结果为h=0.39 m，η=0.663 3%；理想抛物面方程为x2+y2-560.76z-1.684 5×105=0。

4 观测天体S 在不同方位时的变形策略

图3 为坐标系转换示意图。在3.2 节中求解得到的理想抛物面方程是观测天体S 在基准球面正上方时的情况；当观测天体S 变换方位时，其与基准球面球心O 的连线与x 轴的夹角为α，且与xOy平面的夹角为β，这就需要转换到新的坐标系，使观测天体S 依旧位于基准球面正上方，实现观测天体S在运动时，基准球面也能依据不同的理想抛物面形状做出及时调整。

图3 坐标系转换示意图

4.1 坐标系转换的旋转矩阵

在描述空间的一点经过旋转变化后所处的位置时，可以通过研究旋转矩阵来实现坐标系转换[7]，如观测天体S 处于α=36.795°，β=78.169°的方位时。

首先，将坐标系绕着z 轴进行旋转，通过顺时针旋转（2π-α），来修正x 轴的旋转变化，并得到绕着z 轴变换的旋转矩阵Rz（2π-α）为

接着，把坐标系再绕着y 轴进行旋转，逆时针旋转（π/2－β），得到旋转矩阵Ry（π/2－β）为

整合式（11） 和式（12），就可以得到观测天体S 变换到基准球面正上方时的整体旋转矩阵R 为

对于原先坐标系上的任意一点（x，y，z）都可以转换到观测天体S 处于基准球面正上方时的坐标（x′，y′，z′）。转换公式的具体应用示例为

如式（14） 所示，（0，0，-300.39）是观测天体S处于基准球面正上方时，即3.2 节中α=0°，β=0°的方位时的顶点坐标，（49.318 4，36.888 2，-294.008 7）为观测天体S 在α=36.795°，β=78.169°的方位时的顶点坐标。

4.2 理想抛物面方程

经过旋转矩阵变换，可将原先所有主索节点坐标（x，y，z）都更新到观测天体S 处于基准球面正上方时的新坐标（x′，y′，z′），继续沿用3．2 节所求解得到的理想抛物面方程，即可通过主索节点的径向调节，使基准球面更加贴近理想抛物面，实现对观测天体S 的动态观测。

5 结论

针对理想抛物面形状的设计问题，本文以实际问题为引，通过“最佳的接收比”和“主索节点总位移量最小”两个优化目标来建立数学模型，采用遍历搜索算法求解，在保证算法的精度和速度的同时，求解出了理想抛物面在三维坐标系下的数学方程，提供了有效的变形策略。进一步，为求解观测天体在不同方位时的形状，通过旋转矩阵求得当观测天体处于基准球面正上方时，需要调节的新主索节点的坐标数据，可沿用本文所求解得到的理想抛物面方程，模型的推广性较好，有助于FAST 实现对观测天体的定向跟踪。