序贯检测在“北斗”卫星信号捕获过程中的应用*

单 坤，宋晓鸥，李国彬

(武警工程大学 a.研究生大队；b.信息工程学院，西安 710086)

0 引 言

卫星信号的捕获一直是卫星导航接收机信号处理过程中最重要的环节之一，而要捕获成功的前提就是对伪码相关值得出正确的检测结果[1]。

弱信号环境中传统捕获方法按照奈曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则确定门限进行检测难以直接捕获到信号，而为了提高检测性能，确保及时捕获到卫星信号，一种利用序贯判决的信号检测方法被提出。序贯检测最大的特点在于样本数在检测前并不是确定值，而是通过设置双门限，将检验区域分为三部分，再在检测过程中根据观察值的统计推断做出判断，决定是否提高样本数继续试验，直至得出检测结果。动态的序贯检测的样本数在高信噪比下可以有效减少所需信号长度，在低信噪比下可以检测出传统方法无法有效检测的卫星信号[2-3]。

近年来，关于直接序列扩频信号的序贯检测技术已有部分研究成果。文献[4]分析了序贯检测在扩频系统中的应用方法以及计算公式，但是由于卫星通信中主要任务是迅速且精确地获得用户的位置等信息，相对于文献[4]中扩频系统的序贯检测方法，本文采用的序贯检测方法计算量适中且更易于实现。文献[5]提出了使用序贯检测捕获PN码，但由于使用连续积分器后各采样周期不独立，因此似然比的计算存在一定的误差而并不是最佳的。

本文重新对传统与改进的序贯检测方法检测阈值和各项参数的确定以及在不同信噪比下对系统性能的改善效果进行了分析与推导，最后通过仿真验证了方法的可行性。

1 信号模型

接收到的捕获信号可以表达为

s(t)=A1D(t)C(t-τ)cos(ωt+φt)+

ni(t)cosωt-nq(t)sinωt。

(1)

式中：D(t)代表数据信号，C(t-τ)代表C/A码，τ表示码相位延迟，φ表示多普勒频移,ni和nq表示噪声的同相与正交分量。这里令噪声方差为σ2,A1表示信号的幅度。

设H1条件为：本地码与C/A码相位对齐，即码片同步。

设H0条件为：仅存在噪声，即A1=0，忽略伪码与噪声的相关。

将s(t)与本地载波相乘后通过积分器得到的低通等效信号,经过对噪声方差归一化后可以表示为

j[A0C(t-τ)sin Δωt+ns(t)] 。

(2)

其中：

(3)

式中：Ts为取样间隔，Δω为本地载波频率与信号频率的偏移。取样序列可以表示为

j[A0C(n-τ)sin Δωn+ns(n)]。

(4)

同相分量与正交分量分别为

xi(n)=A0C(n-τ)cos Δωn+nc(n)，
xq(n)=A0C(n-τ)sin Δωn+ns(n)。

(5)

使用幅度检波器进行取样序列与本地码序列的积分相关运算，令同相分量与正交分量的相关结果分别为Ik与Qk，则复相关结果rk为

(6)

在H0条件下，Ik、Qk的分布均服从相同的正态分布且均值为0，所以rk将服从瑞利分布，概率密度函数fH0(rk)如下：

(7)

在H1条件下，可以等同于在H0条件下I、Q两路中增加卫星信号，且Δω与Δτ均为0，所以分布从瑞利分布变为莱斯分布，概率密度函数fH1(rk)如下：

(8)

不同条件下的检测量概率分布如图1所示。

图1 检测量概率分布图

因此，检测量似然比为

(9)

2 序贯检测算法

在弱信号捕获过程中，通常相干积分长度L是事先确定的。如果事先不规定积分长度L而是边增加长度边判决，在已定的积分长度范围内，如果长度为L时根据积分结果能作出判决，则捕获过程结束；如果还不能做出判决，则增加长度继续进行积分。在这种信号检测方法下，可以有效减少所需信号长度，同时提高捕获效率和捕获的实时性，因此将序贯检测方法应用于卫星信号捕获过程中是非常有意义的[6-7]。

序贯检测有两个似然比判决阈值ηA和ηB，可以表示为

(10)

如果似然比LR(rk)位于ηA和ηB之间，则增加积分长度一个单位，获得新的相关值观测量，再进行判决。图2为序贯检测方案的示意图。

图2 序贯检测流程图

根据Wald提供的近似公式，门限ηA和ηB可取决于检验水平α与β，其中α为虚警概率，β为漏检概率。设ηA=(1-β)/α，ηB=β/(1-α)，这样所需平均抽样最少，即为最优序贯检验。

同时由于LR(rk)为增函数，通过计算LR(rk)与门限ηA′、ηB′相等时的rk，可以得到ηA′与ηB′，之后判决时只需判断rk与ηA′、ηB″的大小即可。判决方法的改变可以一定程度上减少捕获过程中的计算以及后续性能分析时的计算。

随着L的增加，似然比函数也会随之发生变化。不妨设初始的信号为长度为1 ms，且含有N个采样点，当信号长度增加为Lms时，共含有NL个采样点。对Lms信号进行累积：

(11)

令

(12)

根据离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)中的圆周循环移位的性质可得

(13)

故

(14)

当Δω为0时，信号增益G为L，即信号功率增大L2倍。而噪声由于服从高斯分布，即

n(n+iN)～N(0,σ2) ，

(15)

故对Lms信号累积后的噪声为

(16)

可得噪声功率增大L倍，因此对长度为Lms的信号进行累积后，信噪比可增大10lgLdB,且此时的检测量似然比为

(17)

3 性能分析

接收机捕获过程中的性能指标分析主要包括检测概率、虚警概率以及捕获时间。检测概率是指当信号实际存在时，检测判决后正确捕获到信号的概率；虚警概率是指当信号实际不存在时，检测判决后错误认为信号存在而捕获到信号的概率；捕获时间主要考虑捕获所需信号长度[8-9]。

3.1 传统检测性能分析

假设捕获判决门限值为η，则传统检测中的检测概率Pd为

(18)

虚警概率Pfa为

(19)

由式(19)可得，噪声功率确定时，虚警概率只取决于门限值的设定，门限值设置越小，则虚警概率越大。

因此根据Neyman-Pearson准则通过事先确定虚警概率Pfa，可以计算得到门限值

(20)

对于传统检测，捕获时间Tc=L。

3.2 序贯检测性能分析

在单次判决中，序贯检测的检测概率Pd为

(21)

式中：fH1,Lk为多次增加样本长度后第n次判决时的H1情况下的概率密度函数。

根据序贯检测的判决条件，可得序贯检测的总检测概率PD为

(22)

同理可计算得出序贯检测下的总虚警概率PFA为

(23)

在序贯检测下，不同H1、H0条件捕获时间估计结果亦不相同，计算结果如下：

(24)

(25)

4 仿真与分析

利用Matlab对 “北斗”卫星导航系统信号进行仿真，分为两种导航电文，一种是由IGSO/MEO卫星播发的D1导航电文，另一种是GEO卫星播发的D2导航电文，均采用QPSK调制，载波频率为1 561.098 MHz，采用码长为2 046、码速率为2.046 MHz的C/A码扩频。其中,D1导航电文的比特周期为20 ms，数据率为50 b/s；D2导航电文的比特周期为2 ms，数据率为500 b/s。这里采用“北斗”B1I信号。

主要从以下三个方面进行仿真：一是同信号长度下两种检测方法对不同信噪比信号的捕获效果；二是在高信噪比时序贯检测的捕获效率；三是在较低信噪比时序贯检测对弱信号的捕获效果。

在恒虚警概率下，采用10 ms长度的信号，两种不同检测方法的检测概率与输入信号信噪比的关系如图3所示。

根据图中信息可以得出，在虚警概率恒定时，对于0.9的检测概率，传统检测对应的信噪比为-35.2 dB，序贯检测对应的信噪比为-37.0 dB，提高了1.8 dB的捕获灵敏度。

序贯检测的平均样本捕获时间与信噪比关系图如图4所示。

图4 平均样本捕获时间关系图

在信噪比为-33 dB时，采用10 ms长度的信号已然可以捕获到信号，但序贯检测只需4 ms长度信号即可检测出信号，大大减少了捕获时间。

随着信噪比的降低，在信噪比为-39.0 dB时，序贯检测通过调整信号长度，即可以通过近16 ms的信号成功捕获到卫星信号，但当信噪比在-40 dB继续下降时由于序贯检测需要的信号长度超过了最长相干积分20 ms，依然无法再捕获到信号。图5和图6为传统检测与序贯检测对-39 dB信号的检测过程中，序贯检测增加信号长度前后的相关结果对比。

图5 -39 dB序贯检测捕获

图6 -39 dB传统检测捕获

5 结 论

本文提出了一种将序贯检测判决逻辑应用于捕获相关结果检测中的捕获方案。分析与仿真结果表明，此方案在高信噪比的良好环境下的捕获时间约为传统检测方案1/2，因此可更快地捕获到信号；同时在较低信噪比时，传统检测方案已无法正常捕获到卫星信号，此时序贯检测方案在增加信号长度的同时还考虑到方案本身的捕获灵敏度优于传统检测，可以捕获到低2～3 dB信噪比的信号。通过序贯检测对捕获方案的改进，可以为一般卫星信号的捕获问题提供新的思路与方法。