数形结合思想在初中数学教学中的应用策略探究

王海霞

(甘肃省庆阳市宁县宁江初级中学 甘肃 宁县 745200)

数形结合是数学思想中应用率最高的思想之一，同时也是学生数学学习、数学作业过程中不可获缺的因素，在数学教学活动组织与落实过程中，如何更好的将数形结合思想进行有效应用适当前教师关注的重点问题之一。数形结合思想是通过数、形之间的关系，体现数学的本质，借助数与形之间的转化，不仅能够降低题目的难度，而且也能够拓展学生思路，通过数学思想的渗透打造不同的数学探究学习平台，提高初中生的数学学习综合质量。

1.数形结合思想的含义

所谓数形结合就是将数学中的抽象的数量关系通过具体、直观的图像呈现出来，大体上可以理解为以形助数和以数辅形两个方面。顾名思义，就是借助图形、图像的关系来明确具体的数学信息，同时又通过信息来辅助理解图像的内容，总而言之就是借助抽象思维与形象思维相结合的方式，将数学问题简单化、清晰化，从而更加深入的挖掘数学学科的内涵与育人功效，从而更进一步推动初中数学学科教学综合质量的提升与发展。

2.数形结合思想在初中数学教学中应用的意义分析

2.1 新课程标准将数学思想的学习与渗透作为数学学科活动的重要目标，华罗庚先生也曾经多数形结合思想的作用进行了非常形象的阐述，更加体现了数形结合思想的重要性。

2.2 数学核心素养要求数学教学中必须关注数学思想的重要性，借助数形结合思想能够有效培养学生将抽象的题目转化为图像的能力，同时又能够从图像中获得更多的信息，通过属于形之间的转化，有效拓展学生数学思维，提高学生数学学习的综合质量。

3.数形结合思想在初中数学教学中的应用策略分析

3.1 课堂贯穿，数形呈现魅力。数形结合思想的渗透首先要渗透于课堂教学过程中，双减政策落实之后，教育回归成为一种趋势，课堂的高效与否成为教师关注的重要问题之一，数形结合等数学思想在数学教学中的应用能够拓展课堂教学思路，从原本的单一讲解课堂中脱离出来，巧妙借助数与形之间的关系，达到高效学习、高效解题的目的。

3.1.1 预习为先。数形结合思想贯穿课堂要从课堂预习、教学环节等环节入手，巧妙借助数形结合思想打造高效学习活动平台，推动学生综合质量的提升。首先，在课堂预习阶段，教师可以采用导学案、前置性作业等方式，将一些重难点内容，通过具体的思维导图或者其他图片的形式展现出来，让学生能够更加明确本堂课所要学习的内容，然后带着问题投入到教学活动中，通过预习环节让学生能够初步了解当堂课程所学的问题，带着问题进课堂，从而提升学生学习质量。同时通过预习环节也能够让学生了解相似知识点之间的联系，从而建立起完善的知识体系，带动学生学习质量的提升与发展。

例如在反比例函数性质的预习活动中，教师通过正比例函数图像的复习过程，引导学生结合正比例函数学习的过程，建立起反比例函数学习的思维方式；在复习过程中，还可以以往函数相关的知识进行综合的整理。

·函数的概念：通过概念的复习，学生能够通过回想再次加深对函数内涵的认识。

·一次函数的解析式，什么样的特殊情况下一次函数又是正比例函数。

·正比例函数

解析式：y=kx+b(k≠0)

图象与象限：此部分内容分为k>0以及k<0两种情况，当k>0时图像是什么走向，k<0时图像又是什么走向。(画图分析)

函数的性质：此部分也分为两种情况，k>0以及k<0，按照不同的类别分析，k的情况与函数变化之间的关系。(图像结合典型的例题进行分析)

·反比例函数

什么是反比例函数？

……

如此，通过在课堂预习环节，通过系统的复习，从函数、一次函数、正比例函数的相关问题，逐渐引申到反比例函数的自主预习活动中，借助数形结合分析问题的过程，让学生能够初步建立反比例函数的学习思路。

3.1.2 课堂主导。课堂教学是提高学生数学学习质量的关键，也是渗透数学思想的关键环节。在小学的数学课堂上其实就已经开始渗透数形结合的思想，比如和差倍问题、追及问题等，通过分析简化题目的过程，将题目中复杂的数量关系通过图像的关系表现出来，在分析图像中的隐藏数量关系，从而找到解决问题的思路。那么随着初中数学探究问题的逐渐复杂，在课堂上数形结合的思想更是必不可少的。

同样以反比例函数性质探究为例，在导入环节中，教师借助生活中常见的问题，从简单的数量关系入手，引导学生找出反比例函数的“雏形”，然后再通过对比分析，结合一次函数等的定义，对反比例函数的定义进行综合分析。在典型问题导入过程中，教师可以通过长方形面积、路程时间速度关系等学生熟悉的数量关系，引导学生通过自己熟知的数量关系自主探究得出反比例函数的解析式。通过课堂互动的过程，学生对于其定义、解析式有了初步的了解，那么在后续探究中，教师就要下意识的引导学生自己动手画图分析反比例函数的相关性质；或通过典型的例题对反比例函数的性质进行相关探究。比如，给出反比例函数的一部分图像，学生自主探究其另一支在哪个象限，k的取值范围是什么？等一些问题，通过观察图像，结合题目中所给的数量关系，探究、熟悉、应用函数的关系，从而更进一步明确反比例函数的性质。

如此，在课堂上教师潜移默化的将数与形之间的关系进行渗透融合，让学生意识数与形之间的紧密联系，从而真正理解数学思想在数学学习中的重要性。

3.2 作业渗透，文图提升能力。双减政策之后，数学作业的布置成为教师、学生关注的重要问题，数学作业中引导学生对数学思想进行有效应用也称为教师关注的重要问题。对于数形结合思想而言，可以从两个方面入手，“以数助形，以形助数”从而发挥出数与形各自的优势，在数学作业中感受数形结合思想对于数形结合思想进行多维度的应用。

数学作业是高效课堂的重要组成部分，以往初中阶段数学作业的布置往往注重数量，对于其中蕴含的一些数学思想等缺少总结与分析，导致学生的作业质量受到了影响。那么数学思想在作业中的渗透可以从以下几个步骤入手：

首先，针对一些学习能力较差，数学思想应用意识较差的学生，可以用直接提醒法，比如请画出XX函数的图像(借助描点法等方式)给出学生一定的思维引导，让他们能够明确做图的思路、方法等，然后再根据自己作出的图像内容，进行相应问题的解决。

其次，针对一些学习能力较好的学生而言，可以不用刻意的提醒，而是要在作业中进行自然而言的应用，比如通过典型的例题，引导学生自己动手画出图像，然后再分析的过程中找到解决问题的方向。比如以中考典型、数列问题、数阵问题等。

比如(图像)如图所示，将同样大小的黑色棋子摆在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第N个图形需要黑色棋子的个数是？

通过题目所给的信息，然后再结合图形规律的特殊性，找出其中蕴含的规律；比如观察图形，现数出每个正多边形边上的棋子数量，然后再乘以边数，但是发现每两个边的交点上有一个点是重复的，因此还需要再减去一个点；那么第一个图形的点数为2×3-3，第二个图形为3×4-4……以此类推，数感好的同学就能够通过前面几个图形边数与点数的关系得出相应的规律，不能看出的同学可以多列出几个多边形边数与点数的关系再次探究，比如第3个图形为4×5-5，第4个图形为5×6-6……不难发现，第n个图形的边数与点数之间的关系就可以总结为(n+1)(n+2)-(n-2)然后再进行公式的简化，从而正确的解答出答案。

如此，通过不同难度的作业，将数形结合思想与数学作业进行有效衔接，在数学作业的过程中，教师潜移默化中带动学生将课堂上所学的数学思想应用于具体的数学作用中，在应用过程中，学生不仅能够对数学思想进行更加深入的理解，同时也能够将数与形之间的关系进行综合整理与分析，从而形成系统的应用思路，提高数学作业的综合质量。

3.3 活动落实，实现思维拓展。课堂预习、教学活动、作业设计等的过程的数形结合思想应用过程中，发现很多学生并不是不想应用数形结合思想，但是很多同学并不明白什么样时间、情况下需要或者必须要用数形结合思想，那么在数学综合实践活动中，教师可引导学生对数形结合思想的应用进行系统的分析与总结，在师生互动中探究数与形之间的紧密联系。

首先，可以参照数学作业设计中以数助形、以形助数的方式，引导学生从两个角度对问题进行分析。比如以数助形的角度分析，可以从两个方面分析，一是借助数轴、坐标系等将几何问题代数化，然后进行数据分析，解决几何问题，这一点在高中阶段还会继续深入学习，比如向量问题；二是，借助面积公式、距离公式等几何量来解决几何问题，比如勾股定理与逆定理的应用，三角函数等相关问题。教师带领学生将这两类问题进行综合整理与分析，然后再通过专题复习的形式，将知识点进行应用与分析，达到学以致用并灵活应用的专题学习效果。紧接着，教师可以引导学生结合上述的思路，针对“以形助数”的问题进行相应的分析，比如利用结合图形记忆数学公式，同样借助数轴坐标系等问题，将代数运算简单化等等。如此结合上述学习的思路，学生不仅能够从不同的角度对数学思想进行综合应用，同时也能够将数形结合进行深入的理解和运用，达到提高学生综合学习质量的效果。

除了师生互动总结之外，还可以设计习题总结课程，将历年来数学中考中比较典型的数形结合问题相关的例题进行总结与分析，在总结过程中，学生可以以小组为单位，对某一个问题进行合作探究，探究过程中，同学们可以充分发挥自己的“聪明才智”，看看一道问题能够通过多少种不同的思路呈现出不同的解决问题的办法，然后在不同的思路中，又应用了那些数学方法。

比如：如图所示，正方形ABCD中，E是BC的平分点，EF⊥AE并且与∠DCE的外角的平分点与F，求证AE=AF。

针对上述题目，虽然问题比较简单，但是其中可以有多种不同的解法，从正方形ABCD入手，通过分析AE、AF的位置关系，看看能够从什么角度分析两者之间的关系。比如通过图形关系发现可以通过建构直角三角形的方法，从F点直接做垂线，然后形成新三角形EFH然后再通过三角形全等证明AE=AF。再者，还可以通过构建平面直角坐标系、钝角三角形等方法对其中的问题进行综合分析。通过不同的思路分析，学生不仅能够更深层次的了解此类问题的考察点，同时也能够在不同的思路探讨中清晰数学问题的解决方向。

如此，当学生有明确的方向与思路之后，在小组合作过程中各自根据自己的思路进行整个问题的求证与分析，最后在小组合作讨论最优解决方案，讨论的过程中不仅是对数学思想深入研讨的过程，同时也能够拓展数学思维，提高学生数学学习的综合质量。

4.结束语

总而言之，数形结合思想是初中数学思想中非常常用、非常高效的解题方式，将数形结合思想应用于数学课前、课中、课后等不同的环节中能够发挥出不同的教育功效；作为数学教师，要从不同角度入手，结合学生的具体学情，创设多元化的数学教学、学习活动场景，为学生搭建不同的数学思想应用平台，在应用过程中锻炼学生学习思路、拓展学生数学思维，从而达到提高学生数学综合素养的目标。