基于扩展加权分数阶傅里叶变换的移动通信系统研究

赵子涛，宋志群，倪嘉昊，房宵杰，沙学军

（1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，石家庄050000；2.哈尔滨工业大学电子与信息工程学院 哈尔滨150001）

加权分数阶傅里叶变换（Weighted-type FRactional Fourier Transform，WFRFT）作为一种新型的数学变换，由Shih 首次提出［1］.由于变换后的信号同时包含单载波和多载波信号，因而信号能量在时频域的分布兼具了单载波和多载波信号的特点.单载波信号中符号的能量集中于时隙，多载波信号中符号的能量集中于子载波，而变换后的信号中单个符号的能量可以同时分布在时隙以及频点上，因此提出之后便获得了广泛的关注.文献［2］中首次将其应用于无线通信过程并提出了基于WFRFT 的混合载波（Hybird Carrier，HC）系统，并对其实现上的可行性进行论证.在当前的LTE 系统上行链路中，采用的是单载波频分多址（Single Carrier Frequency Division Multiple Access，SC-FDMA）技术，而下行链路采用正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技术.而混合载波系统可以被看作是以上两者的拓展，能够与当下的LTE 系统相兼容［3］，并能显著提高传统处理算法的性能［4］.此外WFRFT 在通信系统的抗截获［5］、保密性［6］上都有广泛的应用.

作为经典WFRFT 的进一步发展，文献［7］提出了一种对加权系数约束性更低的加权变换理论：扩展加权分数阶傅里叶变换（Extended Weighted-type FRactional Fourier Transform，EWFRFT），文献［8-9］由此构成了扩展混合载波通信系统.EWFRFT 放宽了经典WFRFT 中加权系数的约束条件，在与经典变换相兼容的同时［10］，保证了分数阶傅里叶变换的一切性质，还创造了新的信号形式，实现不同分量功率的任意比例分配.在不改变载波体制的情况下，可以选择只保留两项频域分量或两项时域分量，统称为两分量信号［11］.传统的单载波和多载波信号中，单个符号的能量集中于一个时隙或频点，而文献［12］表明在衰落信道中，两分量信号通过将信号能量分配在两个相对独立的时隙或频点，从而获得分集效果，保障通信传输质量. 但对于其分集增益能力的强弱，EWFRFT 变换参数与接收端处理方式对两分量信号的影响仍然处于模糊的认识，缺少清晰的数学分析.

本文作者首先分析了两分量信号的基本原理、抗衰落机制和信号模型；然后提出了基于两分量的最大似然检测和连续干扰消除的处理算法，并与经典的线性处理算法进行了对比分析；最后通过数值仿真验证了本文所提算法的有效性.

1 两分量信号基本理论

1.1 EWFRFT 与两分量信号基本原理

EWFRFT 得以实现的基础是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）.对于一个序列X0=[x0x1…xN-1]，记X1，X2，X3分别为X0进行1 次，2 次，3 次 归 一 化DFT 后 的 结 果，即X1=FX0，X2=F2X0，F为归一化的DFT 矩阵.在扩展分数阶傅里叶变换中，输入序列X0的变换结果Y为［5］

式中：F+即表示EWFRFT.变换中的加权系数ω+0，ω+1，ω+2，ω+3由四个角度系数θ0，θ1，θ2，θ3决定，其表达式为

式 中：角 度 系 数θl的 取 值 范 围 是0 ≤θl＜2π，l=0，1，2，3.在保证角度系数相同时，EWFRFT 保证变换的可逆性：

其中

由 于F有 这 样 的 性 质：F0=I，F2=P，F3=F-1，I为单位阵，P为移位阵（对于一个长度为N的序列，P使得该序列首项不变，后N-1 项倒序排列）.因此式（1）中ω+0X0和ω+2X2被称为X0的两个时域分量，ω+1X1和ω+3X3被称为两个频域分量.

文献［7］指出，在一些条件下，会出现时域分量的加权系数ω+0，ω+2为零，或频域分量的加权系数ω+1，ω+3为零的情况.

此时，变换后的信号中将只由两个时域分量或只由两个频域分量构成，将其称为时域两分量或频域两分量信号，统称为两分量信号.两分量信号的构成可以仅由移位模块、两个复数乘法模块和至多一个DFT 模块构成，因此和现有的单载波和多载波系统相比，两分量信号通信系统在硬件实现上不会有太多额外的开销.

1.2 两分量信号抗衰落机制

两分量信号仅由时域或频域信号及其反转构成.由于反转信号的存在，原始信号实际上被复制并被重新排列，这意味着同一个符号的能量被分配到了多个位置.例如时域两分量信号就可以将信号能量分配到两个不同的时隙.如果此时的无线信道中存在时域衰落，某个时隙发生深度衰落时，对于单载波信号来说这个时隙上的符号能量则会完全损失，造成接收端接收信息的失真；而对于时域两分量信号而言，这个符号的能量很有可能在另一个时隙得到完整的保存，从而在接收端有更大可能性将符号正确地解调.

同理，与基于OFDM 的多载波系统相比，频域两分量信号将每个符号的能量分配到两个不同的子载波上，从而提高了这个符号传输的可靠性.衰落信道中的常规信号如图1 所示.

图1 衰落信道中的常规信号Fig.1 Regular signal in fading channel

如图1 所示，通常OFDM 系统中，发射端在频域发送了一个长度为8 的序列{a1，a2，…，a8}.如果在频域衰落信道中，第2 个子载波的频点发生了深度衰落，则符号a2受此衰落影响，其能量完全损失.

假设传输的原始信息和信道都不变，信号序列在两分量变换后，再经过衰落信道的过程如图2 所示.同样在第2 个子载波发生深衰落，这一位置上的a2和a8受到影响.但是a2和a8另有一部分能量分布于信道状况良好的第8 个子载波，这一部分的能量就可以得到保留.如果能将分散在两个时隙的a2和a8重新聚合起来，就可以将每个符号的能量损失控制在可容忍的范围，从而提高通信的可靠性.

图2 衰落信道中的两分量信号Fig.2 Double-component signal in fading channel

总的来看，两分量信号应用在衰落信道后，相当于把原本集中于一个时隙或子载波上的衰落或畸变，分散到了两个不同的位置.只有当两个位置都发生深衰时，信号能量才会完全丢失，这种类似于分集传输的效果使得两分量信号具备了抗衰落能力.

1.3 两分量信号模型

在以OFDM 技术为中心的通信系统中，信号的发射和接收过程分别经历了一次时频域的变换，构成了我们所熟悉的多载波通信信号.将其中的离散傅里叶逆变换替换为EWFRFT，就形成混合载波通信系统；EWFRFT 的角度系数满足式（5）的条件时，就形成两分量信号通信系统.

无线信道的衰落包括时域衰落和频域衰落.由于时域与频域的对偶性，因而时域衰落信道中时域两分量信号的处理过程与频域衰落信道中频域两分量信号的处理过程在数学上是等价的.假设原始频域信号中的两个符号s1，s2调制在不同的子载波上，则其进行两分量变换后构成的频域两分量信号中，这两个子载波上信号为x1，x2，简化表示为

式中：s为原始信号，s=[s1s2]T，上标T 表示转置，H 为共轭转置；x为两分量变换后的发射信号，x=[x1x2]T；W代表两分量变换矩阵.

则相应的两分量逆变换可以表示为

式中：WH代表两分量逆变换矩阵.由式（2）和式（4）可知

设发射信号x1，x2处的信道衰落系数分别为h1，h2，噪声分别为n1，n2.n1，n2相互独立，服从均值为0，方差为σ2n的复高斯分布.则对应的接收信号r1，r2可以表示为

式中：H为信道矩阵，H=diag{h1，h2}；r为接收信号，r=[r1r2]T；n为接收信号中的噪声，n=[n1n2]T，n1，n2服从彼此独立、方差为的复高斯分布.

2 两分量信号接收处理方法

2.1 线性处理方式

在多载波通信系统中，接收端对接收信号频域均衡，之后再进行FFT，将时域信号转换为频域.因此两分量通信系统的接收端同样可以以先均衡再逆变换的方式进行.两分量信号线性接收处理算法如图3 所示.

图3 两分量信号线性接收处理算法Fig.3 Linear receiving and processing algorithm for doublecomponent signal

假设接收端已知信道状态信息，则可以对接收信号进行均衡，则均衡后的信号为

2.2 最大似然检测

在检测算法中，最大似然检测算法（Maximum Likelihood，ML）是计算复杂度最高，通常也是性能最优的算法.它的原理是对所有可能出现的发送信号进行搜索，找到与接收信号似然比最大的发送信号.

设原始信号调制星座为S，即s=[s1s2]T中s1，s2∈S.在高斯噪声环境下，其检测后输出信号的表达式为

式中：r表示实际接收信号.ŝ即为最大似然检测得到的原始信号.理论上，这是两分量信号的最佳处理方式，但其具体实现过程相对复杂，因此不作为两分量信号通信系统中的主要处理方式.

2.3 连续干扰消除算法实现与性能分析

连续干扰消除算法（Successive Interference Cancellation，SIC）的基本思想是逐级地减去已知信号对剩余信号的干扰.SIC 算法对接收信号中的多个符号进行判决，每当检测出一个符号，就在接收信号中减去这个符号对未检测符号产生的影响，直到所有的符号都被检测出来为止.

在SIC 算法中，后判决符号的正确性很大程度上依赖先判决符号的正确性.如果之前的符号判决出现错误，那么干扰消除过程所减去的信号也就是错误的，这反而会对之后的信号解调带来更大的干扰，导致所谓的差错传播现象.因此，干扰消除中通常要优先对信噪比较大的符号进行判决.

两分量信号的连续干扰消除算法框图如图4所示.

图4 连续干扰消除算法处理两分量信号Fig.4 Double-component signals processed by successive interference cancellation algorithm

其中可以分为以下环节：

1）线性均衡、两分量逆变换.

这一部分与2.1 节中的处理方式一致，即对接收信号线性均衡后进行两分量逆变换.式（12）给出了逆变换得到的待解调信号表达式.

2）比较信噪比、判决.

这里假设γ(1)＞γ(2).则ŝ1的信干噪比更高，因此先对它进行硬判决，判决后的结果为

表1 信干噪比比较结果Tab.1 Signal-to-noise ratio comparison results

3）补零、两分量变换、信道衰落.

这一环节模拟了信号从形成、发射和接收的过程.补零操作实际上是将原始信号s中s2的位置替换为0，由此两分量变换、与信道衰落相乘得到的结果r′=[r1′ r2′]T就与s2无关，完全代表了s1对接收信号的影响（如图5 所示）.

图5 补零、两分量变换、信道衰落流程图Fig.5 Flowchart of zero amendment, double-component transformation and channel fading

4）干扰消除.

为了在解调s2时避免s1的干扰，干扰消除过程中需要从接收信号减去s1的影响，即

5）类均衡、逆变换.

实际上，式（17）所示的最大比合并可以分成类均衡、逆变换两个步骤进行.首先需要将剩余信号分 别 乘 以 与 信 道 有 关 的 系 数，由 于 这 一 过 程 与线性均衡相似，暂名之为类均衡.类均衡后的结果为θ=[θ1θ2]T，则有

之后对θ进行两分量逆变换，将变换结果中s1所在位置的符号∅舍去，s2所在位置的逆变换结果即为最大比合并的结果s͂2.

两个步骤的过程如图6 所示.

图6 两分量信号最大比合并等效过程Fig.6 Equivalence process of double-component signal maximum ratio merging

3 仿真及分析

3.1 总体性能仿真

为了衡量不同接收端处理方式的性能，以及不同两分量变换参数对系统性能的影响，本文将传统OFDM 信号以及不同接收处理方法的频域两分量信号在EPA 频选信道中的性能进行仿真对比，仿真条件为：NFFT 为2048，子载波带宽为15 kHz，调制方式为QPSK，信道类型为EPA.仿真结果 如图7（a）、图7（b）所示.其 中 图7（a）对 应 两 分量信号的变换参数的情况，而图7（b）采用的变换系数仿真结果表明衰落信道中两分量信号比常规信号有更好的误码性能.以及对于两分量信号，最大似然检测和连续干扰消除算法相比于线性处理算法的优势.

3.2 线性均衡与逆变换的两分量信号

3.2.1 信干噪比分析

将矩阵WHGHW的对角线元素保留，其余元素置零，得到一个对角矩阵Λ；将WHGHW的对角线元素置零，其余元素保留，得到一个对角线元素均为零的矩阵DI；记DN=WHG.显然WHGHW=DI+Λ，因此式（12）可改写为

图7 OFDM 与不同接收处理方式的频域两分量信号在频选信道的误码率曲线Fig.7 Bit error rate curves of OFDM and different receving and processing of double-component signal in freqency selective channel

可见，经过两分量变换、信道衰落、均衡和逆变换后，得到的待解调信号ŝ是由三部分构成的：其一是原始信号，对应Λs项；其二是这一过程产生的符号 间 干 扰，即s1对s2、s2对s1造 成的 影 响，对 应DIs项；其三是噪声，对应于DNn项.

用Λ(l，：)表示矩阵Λ第l行元素（l=1，2）构成的行向量，那么ŝ的第l个符号中，原始信号部分的功率S(l)为

当信道系数h1，h2的幅值|h1|，|h2|服 从 瑞 利 分布时，统计多个时刻符号的瞬时信干噪比，就能以仿真的方式得到γ(1)或γ(2)的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）.

3.2.2 数值仿真

令接收信噪比Eb/N0=7 dB，当采用不同的两分量变换系数，将信号进行MMSE 均衡和逆变换后解调信号的信干噪比分布如图8 所示.

图8 均衡后的两分量信号瞬时信干噪比分布Fig.8 Balanced distribution of instantaneous signal-to-noise ratio for double-component signal

1）概率分布函数更加集中；

2）出现极低SINR 和较高SINR 的概率下降；

从整体效果上看，两分量信号相当于是将高SINR 和低SINR 的出现情况进行了平均化.由于一般来说低SINR 对误码性能的影响更为显著，因此可以获得通信性能上的增益.

针对线性均衡后逆变换的接收机，两分量信号变换参数ω+1，ω+3的不同会改变分配到两个时隙的能量占比，从而对通信质量造成影响.Eb/N0=10 dB 时频选信道下不同变换系数的QPSK 调制信号误比特率如图9 所示.可以看到当变换系数|ω+1|与|ω+3|接近时具有较好的性能.

图9 线性处理两分量信号性能随参数的变化曲线Fig.9 Double-component signal performance after linear processing varies with parameters

3.3 最大似然检测算法

3.3.1 理论分析

记两个不同的原始信号：sp和sq，它们分别进行两分量变换后的发射信号xp=Wsp与xq=Wsq也总是不同的.可以从理论上推导接收端将发射信号xp=[xp1xp2]T混 淆 为xq=[xq1xq2]T的 差 错 概率.在信道衰落H为确定值的条件下，可以将其视为高斯矢量检测问题，其差错概率为

实际上的信道系数h1，h2不是一个恒定值，而是随着时隙和子载波的不同随机变化，因此理论差错概率应当是对不同信道H平均化的结果

根据式（29）可知，采用最大似然检测方法处理两分量信号时的差错概率与参量|e1|，|e2|有关，|e1|，|e2|越小，差错概率越大，ML 检测的误码率越高.|e1|，|e2|的物理意义可以用发射信号在星座图上的距离解释.

以QPSK 调制的原始信号为例，在它经过变换系数为ω+1，ω+3的两分量变换后，其星座图会发生变化.设原始信号星座图上的点构成的集合为S={1，j，-1，-j}，则变换后信号的星座图大致如图10 所示.

图10 两分量信号的星座分裂Fig.10 Constellation splitting of double-component signals

由e1，e2的 定 义e1=xp1-xq1，e2=xp2-xq2，|e1|，|e2|可以被认为是变换域星座图中两点间的距离.在某种变换系数下，原始信号分别为sp=[1 1]T与sq=[j-j]T时，变换后信号的距离e1，e2在分裂 的星座图 如图11 和 图12 所示.

图11 变换域信号在星座图上的距离示意Fig.11 Schematic diagram of distance between transformdomain signals in constellation plot

根据式（29），对于两个不同的原始信号，它们在接收端的概率混淆与星座图上的距离有关.在分辨sp，sq时，可以同时利用e1和e2作为判决的依据.

图12 发生重合时变换域信号在星座图的距离示意Fig.12 Schematic diagram of distance between transformdomain signal in constellation plot when coincident occurs

此时，仅仅从第一个接收信号无法分辨出原始信号究竟是sp还是sq，只能从第2 个符号进行判决，因此这种情况下的误码率比无重合的情况较高.

式中：|X|为X中星座点的数量进行分割.

3.3.2 数值仿真

通过计算，可以得到原始信号在QPSK 调制时，随着变换系数的改变，星座点平均距离avg(|e|)的变化，如图13所示.

图13 QPSK 星座分裂后平均距离Fig.13 Average distance after QPSK constellation splits

根据式（29），随着变换系数的改变，平均距离越大，两分量信号的最大检测算法性能越好.因此最大似然检测算法性能与平均距离avg(|e|)成负相关.

图14 最大似然检测算法性能随参数的变化Fig.14 Performance of likelihood maximum detection algorithm varies with parameters

3.4 干扰消除算法

3.4.1 信干噪比分析

3.4.2 数值仿真

为了衡量变换系数的影响，令信道衰落系数h1，h2为一个确定值，并对先判决符号和后判决符号的信干噪比进行比较.在|h1|=1.03，|h2|=0.39，的条件下，可以得到以及对应符号的误码率随变换系数的变化情况.

在变换系数|ω+1|∶|ω+3|从0∶10 调整到4∶6 的过程中，各个符号的信干噪比有这样的变化：

1）先判决符号的信干噪比γ先原本较高，随着变换系数的改变开始下降；

2）后判决符号的信干噪比γ͂后原本较低，但随着变换系数的改变开始上升.

信噪比原本就很大时，单位信噪比的变换对误码率的影响不明显，而信噪比原本就比较小时，单位信噪比的提升都会对误码率有明显的改善.因此在这一范围内，后判决符号的改善作用是主导的，干扰消除算法的整体性能是有明显提升的.

在变换系数达到4∶6 左右时，情况发生了改变：先判决符号与后判决符号的相对大小发生了改变.在|ω+1|∶|ω+3|从4∶6 调整到5∶5 的过程中，先判决符号的信干噪比下降是主导的，引起了干扰消除算法整体误码率的恶化.具体分析如图15 所示.

对于连续干扰消除算法，两分量信号变换参数ω+1，ω+3的变化对先判决符号和后判决符号的信干噪比造成了不同的影响，从而改变了整体的误码性能.Eb/N0=10 dB 时频域衰落信道下不同变换系数的QPSK 调制信号误比特率如图16 所示.仿真结果随着变换系数|ω+1|∶|ω+3|从0∶10 提升到5∶5，整体误码率呈现出先下降再上升的变化趋势.

图15 确定性信道下干扰消除前后各符号性能变化Fig.15 Change in configration of each symbol before and after the interference elimination under deterministic channel

图16 连续干扰消除算法性能随参数的变化Fig.16 Performance of continuous interference elimination algorithm varies with parameters

5 结论

1）在两分量信号通信系统的基础上，采用仿真与理论分析相结合的方法，对两分量信号的3 种不同接收端处理方法的机理分别进行了讨论.

2）对于先均衡再逆变换的线性处理方法，从瞬时信干噪比分布的角度证明了两分量变换的信号能量平均化效果.相比之下，本文同时提出的最大似然检测和连续干扰消除算法有较高的复杂度，但随着两分量变换参数的改变有机会取得更好的性能.

下一步的研究中，将探索EWFRFT 在提高通信系统可靠性的更广泛应用，以及复杂度更低、性能更好的两分量信号能量合并方法.