注重过程 突出实质 发展素养——“重复的奥妙”的教学实践与思考

浙江东阳市吴宁第五小学（322100） 葛敏辉

浙江东阳市外国语小学（322100） 马金亚

一、课前思考

“重复的奥妙”是北师大版教材二年级下册的综合实践活动课，主要是引导学生通过观察、表征、思考和交流，体会“重复”的规律（情境图如图1）。那么，这节综合实践活动课究竟要带给学生什么？教师又该怎么教呢？

图1

（一）学习主题——体会重复

主题情境图中蕴含了多个简单重复的现象，如小朋友们是一个女生一个男生交替重复排列的，灯笼是一个大一个小交替重复排列的，彩旗是两面红色一面蓝色交替重复排列的……丰富的规律有助于学生体会数学与现实生活的联系，感受规律存在的广泛性，为培养学生学会“用数学的眼光观察世界”提供了一份好素材。

（二）核心任务——表示规律

这是一堂综合实践活动课，重点是引导学生发现生活中的数学规律，从而锻炼他们的数学能力。因此，教学时应该放大“发现”和“表达”的过程，留足时间给学生对某一条规律进行思考和分析，并能在找出规律的基础上想办法表示规律，培养学生的抽象能力和符号意识。教材的编排也很明晰地呈现了这一要求（如图2）。

图2

（三）教学价值——发展素养

教材为什么要把课题取名为“重复的奥秘”，而不叫“找规律”呢？这两者有什么区别？对于学生来说，这一内容的教学价值究竟是什么？事实上，“规律”并不是数学独有的，生活中无处不有，因此“规律”对于学生来说并不陌生。“找规律”仅仅强调对一个“客观存在的不变”的发现，这对于二年级的学生来说并没有很大的意义，因为这并不能很好地促进他们数学素养的提升，也不能帮助他们感悟规律的价值和数学之美。而强调“重复的奥秘”更多的是关注“规律”的本质是一种数学模式的存在，同时这一模式里藏着“有序、有用、有美”的特征。“有序”体现在模式的不断重复上，“有用”体现在利用有限的序列可以推测未知的事物，“有美”体现在这样的模式重复能给人以美观、可测、安心的感受。由此可见，这一内容的教学价值在于发展学生的数学思维，培养学生的数学情感。要落实这一目标，应注重学生对规律的抽象和数学化表达，以及对规律本质的提炼和应用。

二、教学过程

（一）情境引入，认识重复

师（出示主题情境图，如图1）：六一儿童节快到了，大家都在积极准备节目，老师先带你们去联欢会上瞧一瞧！你看到了什么？

生1：我看到了有很多花，有很多小朋友，有灯笼……

生2：灯笼是一个大一个小、一个大一个小这样挂着的。小朋友是一位女同学一位男同学，又一位女同学一位男同学这样排起来的……（引导学生表述“有规律的排列”）

师：大家还发现了什么？

生3：有规律，都是会重复的。

师：像这样的重复规律还能找出来吗？

【思考：本环节是利用学生熟悉的生活情境，充分调动他们的学习积极性，并通过“你看到了什么”“还发现了什么”“还能找出来吗”三个关键问题为下一阶段的抽象和拓展奠定了基础。从情境到语言的转化，学生经历了发现和表达，捕捉初步的重复表象。】

（二）多元表征，体悟本质

1.表示规律，对比关联

师（出示灯笼图，如图3）：刚才大家说灯笼也有重复的规律。请用喜欢的方式把它表示出来。

图3

生1：我是画图表示的。这个表示大灯笼，这个表示小灯笼，一大一小为一组重复排列。

生2：我是用文字表示的。“大”表示大灯笼，“小”表示小灯笼，两个一组重复排列。

生3：我是用图形表示的。五角星表示大灯笼，圆圈表示小灯笼，两个一组重复排列。

生4：我是用字母表示的。A 表示大灯笼，B 表示小灯笼。

生5：我是用数字表示的。1 表示大灯笼，2 表示小灯笼。

呈现学生的作品：

图4

师：谁来评论一下这些表示方法？

生6：我觉得画图太麻烦了。

师：生1，你后来为什么不继续画灯笼，而是换成了圆圈？

生1：画灯笼有些麻烦，所以我就用圆圈来表示灯笼。大圆表示大灯笼，小圆表示小灯笼。

生2：我也觉得画灯笼太麻烦，所以我用文字来表示，这样方便一些。

生7：用字母和数字来表示也是比较简便的。

师：这些方法形式上都不一样，有没有相同的地方呢？

生8：它们的相同点就是都能表示大灯笼和小灯笼的规律。

生9：它们都是两个一组，不断重复。

师：学数学是要学会用简洁的方法来表示规律。大家很厉害，想到了用文字、图形、字母、数字这些好方法，为你们点赞。

【思考：让学生用自己的方式来表示看到的数学现象，重在促进学生找出规律。通过比较多种表征方式，学生发现规律的本质是两个不同特征事物的重复，并体验到数学化表征的优越性。从学生的作品中可以发现，其实学生的抽象水平是有差异的，如用字母和数字两种形式表征的学生，他们把表示小灯笼的符号写小一点，说明他们还没有摆脱形状属性的干扰。大小不是规律的本质属性，“AB”式才是本质。而用文字和图形表示的学生，显然已经脱离了形状因素，突显规律的模式及其不断重复的属性。】

2.尝试应用，体现模式

师（出示图5）：这里还有很多重复的现象，说说它们分别表示什么？

图5

生1：第一组表示的是花盆，因为花盆的摆放是2个2个变化的。

生2：第二组表示的是彩旗的规律，因为彩旗是两红一蓝为一组不断重复排列的。

生3：第二组也可以表示气球的规律。气球也是按这样的规律重复排列的。

师：怎么会有不同的看法？

生4：如果表示彩旗，正方形表示红色的彩旗，三角形表示蓝色的彩旗。如果表示气球，正方形表示黄色的气球，三角形表示红色的气球。它们的规律是一样的。

师：只要规律一样，就可以用同样的方法来记录。

生5：第三组表示的可能是灯笼，也可能是小朋友，因为它们都是两个一组，且不断重复。

师：这些重复的规律有什么共同点吗？

生6：它们的共同点是把一个规律不断重复下去。

【思考：这一环节意在帮助更多的学生巩固符号化的能力。学生在这过程中，重点是经历从抽象表达出的模式中找到现实的模型，由此提高模式的解读能力，提高关联“符号”与“情境”的能力，也进一步体验到同一个图示可以表示不同的现实模型。最后学生抽象出不同规律的表征背后有着一个共同的特点，那就是模式的重复。虽然学生说规律不断重复，其实他们说的规律是指模式，学生已经在这个过程中建立了模式的意识。】

3.拓展应用，感受价值

师：联欢会中有这么多重复的现象，生活中有没有呢？为什么生活中有这么多重复？重复有什么好处呢？

生1：重复可以让我们的生活更美。

师：你是指重复排列会给人一种美感，对吗？

生1：是的。

师：生1说重复很美。其他人觉得重复有什么好处？

生2：重复可以帮助我们推测下一个是什么。比如春季过后是夏季，周五过后是周六。

师：重复可以推测，所以生活中有很多重复。看来重复很有用，那么你能自己创造一个重复吗？

【思考：这个环节重在拓展和创造，使学生带着在情境中找重复规律的经验，进一步将重复的奥秘对应到日常生活中，这既能加强数学与生活的联系，又能拓宽学生的视野。重复的模式从发现到表达，再到关联、创造，在这个过程中，学生不仅得到了数学思维能力的提升，还经历了数学有用、数学很美的深度体验。这样的过程有助于学生丰富数学活动经验，提升数学核心素养。】

三、课后启示

第一，数学综合实践活动课要有“数学味”。类似“重复的奥妙”这样的综合实践活动课在每一册数学书里都有编排，由于它没有显性的知识点，因此教师教学时往往会“重形式轻实质”，以致课堂有了“活动味”却少了“数学味”。那么如何体现“数学味”呢？关键是要挖掘体验点、思考点，将其转化为具有挑战性的数学任务，从而驱动学生进行观察、操作、比较、抽象、归纳、推理等活动，在体验中感悟，在思考中提升。如“重复的奥妙”教学不应停留在“规律”的讨论，而应在“重复”的发现、表达、关联和创造的过程中促进学生思考，使学生在思考中感受到生活现象可以用数学眼光来观察、可以用数学方式来表达，体验到“规律现象”的本质是“模式的不断重复”，进而体验到数学与生活的联系、数学化的重要性以及数学的价值。

第二，多元表征要加强关联，更要突出本质。在“重复的奥妙”的教学中，学生自主表征重复的现象是必不可少的环节，这对于学生数学能力的培养很有意义，但这并不代表学生已经深度理解了数学本质。抽象化的经历虽然可以很好地促进学生数学观察和数学表达，但很多学生只是停留在“照样子表示”的层面，即只是在形式上表示现实的规律现象。这些形式虽然有了抽象化的体现，但会带上大小、数量、颜色等非本质属性。因此，要剥离这些非本质属性、突出本质才是这类课的重要目标。要深入地理解现象背后的本质属性，还需要加强关联，使学生在关联中认知“重复”的模型，在比较中揭示“重复”的本质属性。比如在表征灯笼时，有的在表示方法中没有体现灯笼的大小这个特点，这时可以引导学生对比和思辨，进一步体验到不体现大小的形象特点也能表示重复的规律。又如，灯笼图片里呈现了4 组一大一小，但有些学生表示的是3组、5 组，教师可追问：“数量不一致可以吗？”这样的讨论会加深学生对“重复”本质的理解，即“AB”式的存在及不断重复。无论形式如何，其本质始终如一。由此可见，在组织多元表征时，一定要加强对比和关联，以便帮助学生透过直观表象形成抽象理解，深度把握概念的本质。