2013年北大保送生考题(续)

单 墫

(南京师范大学数学科学学院，210023)

5.在一个2013×2013的数表中，每行都成等差数列，每列的平方也都成等差数列.求证：左上角的数×右下角的数=左下角的数×右上角的数.

这题有点意思，弄得不好，会做得繁复而得不出结果.

其实简单.

首先，每行可取首、末及中央这三项仍成A.P(等差数列).

其次，只取首行、末行及其中央一行.

这样得到的3行3列的数表，共9个数，每行成A.P，每列的平方也成A.P.

设中央一列的3个数为A，B，C，则

A2+C2=2B2.

①

9个数的表可写成

A-d1AA+d1

B-d2BB+d2

C-d3CC+d3

其中d1,d2,d3分别为三行的公差.

我们还有

(A-d1)2+(C-d3)2=2(B-d2)2，

即(结合①消去A2+C2与2B2)

②

同样，由第3列得

③

于是

④

2d2B=d1A+d3C.

⑤

(左上角的数×右下角的数)-(左下角的数×右上角的数)

=(A-d1)(C+d3)-(A+d1)(C-d3)

=2(d3A-d1C).

⑥

由④，⑤得

(d3A-d1C)2

=(d3A-d1C)2+(d1A+d3C)2

-(2d2B)2

=0.

所以

d3A-d1C=0,

2(d3A-d1C)=0.

这就是所要证的.