运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤

潘华

与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：

1.设出弦的两个端点的坐标：A（x1，y1、B（x2，y2）;

2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1+x2、y1+y2的式子;

对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代人曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2 =x的内部，建立关于m的不等式.

解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.

解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线Z上，求得直线Z的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.

雖然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解;（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.