“数级”重要？还是“数位”重要？

黄锦棠

在人教版小学数学教材中，四年级上册“大数的认识”是二年级下册“万以内数认识”的知识延伸，是自然数数域的最后一次扩充。在教学中，教师常常被大数的改写和估算的重灾区吸引目光，往往忽略学生在读写数上的认识障碍。诚然，学生在单元后期读写数的正确率有所保障。但在学习之初总有一部分学生被牵绊着脚步，问题出现在哪？笔者以为出在对“数级”观念的认识。

一、数的概念教学的变迁

教师教学用书中多次强调“数概念教学”。那什么是“数概念教学”呢？笔者以为主要包括数的认识、数感、数位、位值、数级等概念教学。从一年级认数开始到四年级亿以上数的认识，对自然数的概念教学可以分成三个阶段，如表1所示。

在自然数数域的认识过程中，主要经历了几个阶段：一是从一一对应认识具体的数代表的数值;二是引入数位概念，结构性认识数的组成，包括读数、写数和改写等。三是引入数级，通过迁移学习大数。可以理解为直观认识、客观分析、抽象推理三个层次。所以，四年级上册的“大数认识”的主要任务是利用已学的认识数的模型，进一步推广数域。

二、每个数级的读写方法

大数的认识是自然数域的最后一个阶段，学生对数的认识也逐渐从直观的数量向抽象的数位逐步转变。然而，大数的读写的关键其实在于二年级“万以内数的认识”，在于个级的读写。然而该章节的教学只提到了“读数的顺序”以及“有关0的读法”，却从没对读法有过具体的指导。不仅如此，甚至不管在哪册教材都没有提及。仿佛编者和老师都把万以内数的读法默认为一种本能，仅需要唤醒即可。本能是建立的知识经验的基础上的，事实上总存在部分学生在这方面经验不足。就算是会读写了，很多学生和老师也讲不清其中的原理，知其然而不知其所以然。这不是我们提倡的“用数学的眼光分析世界”该有的样子。那么具体的读写数的方法又是什么呢？

其实每个数级的读写方法说来也简单，就是按“数字-计数单位”的不断交替。例如，二年级“万以内数的认识”中的3745，读作：三千七百四十五。其中3、7、4、5都是数字，读完以后加上对应的“计数单位”。这种结构化思考，看到的是规律而不是呈现的表象。

三、四位一级的计数规律

（一）从“万”到“亿”的鸿沟

从二年级“万以内数的认识”到四年级“亿以内数的认识”，完全是从微观操作到宏观思考，从直观感受到抽象理解的转变，但很多老师甚至都没觉察到这一点，也就无法理解后进生的痛苦。这是由于计数单位的量级以及大数的位数过多导致的必然结果。

在学习“万以内数的认识”时，一般通过数型结合，在数量逐步堆积过程中感受各个数位所代表的位值。而亿以内数的认识却不吃这一套。因为一旦数量超过一万，学生是无法通过视听效果去区分对万以上计数单位。再组当一长串数字摆在学生面前，他们脑海里只有一个概念——“都很多”，然后就是无从下手。

（二）结构化分级读写数

那么，我们可能从“万以内数的认识”的学习中迁移什么呢？笔者以为是四位一级的计数规律。它是整个单元的教学核心，人教版教参的意图也是如此，教材的每一个小结也有所体现。

四年级上册“大数的认识”例2教学中有关24960000的读法，教材中给出了两个样例：“二千万四百万九十万六万”和“二千四百九十六万”。这两种读法应该说都是对的，但很多老师都没能弄明白第一种读法的由来。在教师用书配套的教学设计中提到，第一种读法中都有一个“万”字，所以可以提取出来。这是一种牵强的说法，与教材中数位表的呈现规律并不一致。笔者以为两种读法都是对“万以内数读法”的正向迁移，只不过迁移的方式有所不同。第一种读法，迁移了“从数字-计数单位”交替读的规律，所以每次都读出完整的计数单位，出现4次“万”。第一种读法，迁移了整个个级的读法，只不过万级的单位是“万”，所以最后加了一个“万”字。这就是微观与宏观的区别。

在学习大数的认识以后，教材不再鼓励逐个数字的读写，而是眼中只有数级。亿以上的数也不再是一长串数字，而是把数级打包，只是三个数的组合，每个级都按个级的方法读写，然后相应的加上“亿”和“万”。所以一线教学特别强调分级线的重要性。这种结构化思考，看到的零散而不是呈现的表象。

四、教材编写的取舍纠结

事实上，我们可以看到教材编写的左右为难。在教师用书中，多次强调要紧紧抓住数的分级，先看级再看位，从高位起，一级一级的读写。但是教材中的体现却不明显，一方面在小结时提到要按数级来读数，另一方面在例题中呈现的是数位而不是数级。一方面想培养学生结构化的读写，另一方面又怕后进生失去了数位表就不会独立“行走”，结果两边不讨好，互相干涉。而北师大版则十分干脆，给出两种不同的方法，讓学生各取所需（见图2）。我们可以提倡分级读写，培养学生结构化的思考的能力，同里也可以让学生对照数位表按“数字-计数单位”交替读写，两者进行比较既能体现算法的多样性，为不同层次的学生提供不同的需要。而且通过对比，算法优化更有助于学生深度理解分级读写的好处，何乐而不为。