迁移“高中数学知识”解决新高考中晶胞计算问题

孔德坤 张子南

“晶胞的计算”一直是高考的热点和难点问题，近几年新高考试题中晶胞的计算由立方晶系逐渐过渡到四方晶系、六方晶系和正交晶系，如何高效快速解决晶胞问题呢？本文尝试通过迁移“高中数学知识”来解决晶胞计算的难点问题，以供学生参考学习使用，

一、均摊法在计算微粒数目时的应用

1.立方晶系、四方晶系、正交晶系晶胞中不同位置粒子的计算（见图1）

注：对于独立原子构成的分子，其分子式不能用均摊法，直接根据晶胞得出，

二、迁移数学知识解决新高考中晶胞计算问题

1.利用“平行线定理和勾股定理”计算两原子之间的距离

例l （2021年山东高考题节选）XeF2晶体属四方晶系，晶胞参数如图4所示，晶胞棱边夹角均为90°，以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称为原子的分数坐标，如A点原子的分数坐标为（1/2，1/2，1/2）.已知Xe-F鍵长为rpm，则晶胞中A、B间距离d= ___pm.

例2 （2020年山东高考节选）以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子的分数坐标.四方晶系CdSnAs，的晶胞结构如图6所示，晶胞棱边夹角均为90°，晶胞中部分原子的分数坐标如表1所示.

找出距离Cd（0，0，0）最近的Sn ____（用分数坐标表示）.

解析原子的分数坐标是指晶胞中的原子坐标只能取分数或零.晶体中原子的坐标参数是以晶胞的i个轴作为坐标轴，以三个轴的轴长（a，b，c）作为坐标轴的单位，如图7所示.与数学上空间向量坐标的计算方法一致，区别在于数学上用实际长度表示，在晶体中坐标全部用分数表示，逢1为0，即为原子位置在各晶轴方向的长度（即数学实际值）除以晶轴的长度所得的值，若所得值为1则写为0.

由均摊法可知黑球数目为1+1/2×4+8×1/8=4，白色大球在内部为8个，白色小球数目为1/4 x4+6×1/2=4，又其中一个的分数坐标为（0，0，0），说明黑球代表Cd，白色大球代表As，白色小球代表Sn，此外，也可以根据各原子分数坐标判断，距离Cd（0，0，0）最近的Sn如图8中的A、B.A点在数学上的坐标为（0. 5a，0，0.25a），B点在数学上的坐标为（0. 5a，0.5a，0）.在晶体中，用对应数学坐标除于晶轴对应长度，即可得到对应分数坐标为A（O.5，0，0.25）、B（O.5，0.5，0），故距离Cd（0.0，0）最近的Sn为（0.5，0.0. 25）、（0.5，0.5，0）.

3，利用“球的体积公式”计算空间占有率

例3 （2021年全国乙卷节选）AICr2具有体心四方结构，如图9所示，处于顶角位置的是 原子.设Cr和A1原子半径分别为ro和rAl，则金属原子空间占有率为___%（列计算表达式）.

②根据投影定理，点在平面上的投影为过点做平面的垂线，垂足即为投影点.晶胞在x轴方向上的投影即为晶胞中各原子在正面（即平面ABCD）上的投影，根据投影定理可以画出其投影如图11所示.