基于Tracker分析磁阻尼下的单摆运动

方明月，郭瑞雪，谢翠婷

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

由电磁感应原理可知，当闭合的导体切割磁感线时，导体内部会在感生电动势下形成电流及涡流，从而产生阻碍导体相对运动的力，这个力就是电磁阻尼。磁阻尼系统由于其无源、耐久性好等特点，在高层建筑的抗风抗震、汽车制动、航空航天等方面拥有广泛的应用[1-4]。单摆是一种简单方便的物理实验装置，在物理教学中充当着重要的物理模型[5,6]。阻尼现象在生活中随处可见，但在传统的教学中，单摆的阻尼现象演示大都使用在细线上粘贴纸片的方法[7,8]。实际上，磁阻尼系统能够有效地抑制单摆的运动，使单摆产生明显的欠阻尼振荡[9]。

如果在教学实验中设计探究单摆磁阻尼现象的实验，演示单摆的磁阻尼现象[10]，将更好地调动学生对电磁学的兴趣，为学生后面进一步学习电磁知识做铺垫[12，13]。

1 理论模型

在不考虑空气阻力和小摆角的情况下，常规的单摆运动可以看作简谐运动。如图1所示。此时单摆的运动周期为：

(1)

式中，ω为单摆的角频率，l为摆长，g为重力加速度。若考虑空气阻尼，则小角度下单摆的运动振幅与周期的关系式为：

y(t)=y0e-btcos(ωt+φ)

(2)

小角度下单摆的振幅与摆角的关系可表示为：

y(t)=lsinθ(t)≈lθ(t)

(3)

因此，单摆的运动摆角与时间的关系为：

θ(t)=θ0e-btcos(ωt+φ)

(4)

实际上，空气阻尼一般比较小，在一定时间范围内单摆的运动可以近似为简谐运动，但磁阻尼系统可以有效地抑制摆的运动。在磁阻尼的作用下，单摆会呈现出较为明显的欠阻尼振荡，公式(4)仍然适用。

2 实验装置

图2即为单摆的磁阻尼的实验装置，仪器简单小巧。摆球是永磁体(铁氧体)，导体选用铝盘。永磁体摆球在非磁体铝盘附近运动时，相当于铝盘在不断地切割永磁体所产生的磁感线。相应地将出现感应电动势，导体内部形成电涡流，从而产生抑制单摆运动的磁阻尼力。若摆球的运动角度较小(θ<5°)，则摆的运动可近似平行于铝盘。

通过该装置探讨小角度下单摆的运动情况和摆球大小、摆长以及摆球与铝盘之间距离的关系。

3 实验探究

3.1 磁摆运动情况与摆球到铝盘距离的关系

固定摆长为30 cm，选取摆球直径为16 mm，分别设置摆球中心至铝盘表面的距离为d=1.0，1.5，2.0 cm。控制摆球以小角度开始摆动，用手机录制单摆运动情况并将视频导入Tracker软件进行处理。

从图3中可以清晰看到，当摆球中心与铝盘间距d<2.0 cm时，磁阻尼的作用十分明显，单摆表现出明显的欠阻尼振荡。当d=2.0 cm时，单摆的阻尼振荡变得不明显。此时，单摆和铝盘之间的磁阻尼作用力变小，摆球已经基本不受磁阻尼的制约。

(b) d=1.5 cm时,单摆的摆动角度与时间的关系图

(c) d=2 cm时,单摆的摆动角度与时间的关系图图3 摆球中心至铝盘表面不同距离时，单摆摆动角度与时间的关系图

实验过程中，如果铝盘十分靠近小球，将看到小球很快停止摆动，现象十分有趣。

3.2 磁摆运动情况与单摆摆长的关系

固定摆球直径为16 mm和摆球最底端至铝盘表面的间距d=0.7 cm，分别设置摆长l=25，30，35 cm。控制摆球以小角度开始摆动，用手机录制单摆运动情况并导入Tracker软件进行视频处理。

如图4所示，在不同的摆长下，小球都表现出明显的欠阻尼振荡。其中，当摆长l=25，30，35 cm时，小球由1°的摆角运动至停止所用的时间分别为35，29，24 s。可以说明，摆长越长，小球由相同摆角运动至停止的时间越短。

此结论与理论分析相符合。由单摆的周期公式可知，摆长越长，单摆的运动周期越长。因此小球在一个周期的运动过程中受到磁阻尼作用的时间越长，在磁阻尼的作用下经历较少的周期摆动就会停止下来。

(a)l=25 cm时.单摆的摆动角度与时间的关系图

(b)l=30 cm时.单摆的摆动角度与时间的关系图

(c)l=35 cm时.单摆的摆动角度与时间的关系图图4 不同摆长时，单摆的摆动角度与时间的关系图

3.3 磁摆运动情况与摆球直径的关系

固定摆长l=30 cm，摆球最底端至铝盘表面的间距为0.7 cm，分别设置摆球直径D=10，16，25 mm。控制摆球以小角度开始摆动，用手机录制单摆运动情况并导入Tracker软件进行视频处理。

由图5可以看到，其中，当摆球直径D=10，16，25 mm时，小球由1.5°的摆角运动至停止所用的时间分别为37，33，24 s。可以说明，摆球直径越大，小球由相同摆角运动到静止的时间越短。

在忽略空气阻力的作用时，越大的小球磁力也越大，其所受的磁阻尼力相应的越大，因此小球越容易停止。此外，由于磁阻尼的增大，大直径的小球的运动周期也越少。

(a)D=10 mm时,单摆的摆动角度与时间的关系图

(b)D=16 mm时,单摆的摆动角度与时间的关系图

(c)D=25 mm时,单摆的摆动角度与时间的关系图图5 不同摆球直径时，单摆的摆动角度与时间的关系图

4 结 语

搭建简易的平台，探究磁阻尼作用下单摆的运动情况，实验效果明显。此外，该装置的拓展应用较多。利用简单的装置探究单摆在不同情况下受磁阻尼的影响，有助于拓展物理教学，打破学生对传统单摆阻尼的认知局限，拓宽学生的视野。另外，当铝盘下面有铁块时，磁球在摆动过程中会发生有趣的自旋现象，这可用于激发学生对物理现象的思考。该装置还可用于简单判别不同厂家磁球的磁力大小。