流体黏度对砂岩弹性模量频散与衰减影响规律的实验及理论验证

李智， 欧阳芳， 肖增佳， 刘欣泽， 贺艳晓， 赵建国*

1 中国石油大学(北京)油气资源与探测国家重点实验室， 北京 102249 2 中国石油天然气股份有限公司玉门油田环庆分公司， 甘肃庆阳 745700

0 引言

地震波在地下介质中传播会引起孔隙流体与岩石骨架的相对流动，即所谓的波致流(wave induced fluid flow, WIFF).已有研究表明，WIFF是引起地震波速度频散和能量衰减的重要原因(Biot，1956a，b； Brennan and Stacey，1977；Winkler，1985；Han，1986；Han et al.，1986；Batzle et al.，2006； Gurevich et al.，2009，2010；He et al.，2010；Carcione and Gurevich，2011；Tang，2011；Chen et al.，2012；Tang et al.，2012，2013；Pimienta et al.，2016；Szewczyk et al.，2017；Ma et al.，2019；Yang et al.，2020).

为了揭示诱发WIFF的物理机制，长期以来国内外学者在岩石物理实验和理论方面进行了深入的研究.在理论研究方面，Biot(1956a，b)建立了经典的孔弹性理论，并从理论上发现了慢纵波的存在；之后，Dvorkin和Nur(1993)以及Dvorkin等(1994)将宏观Biot机制与微观喷射机制结合，建立了BISQ模型.另一方面，现有研究表明，岩石的速度频散、衰减与软孔的孔隙纵横比密切相关.为此，Mavko和Jizba(1991)假设岩石由干燥硬孔和含流体的软孔(如颗粒接触和微裂隙等)构成，提出了湿骨架模型，并推导了高频极限条件下岩石湿骨架弹性模量的计算公式；Dvorkin等(1995)进一步将Mavko-Jizba理论拓展到全频段，并建立了全频喷射流模型.然而，Dvorkin全频喷射流模型的低频极限并不满足公认的Gassmann方程.鉴于此，Gurevich等(2010)引入压力弛豫法与不连续张量公式重新定义了喷射流模型，其模型与Gassmann方程和Mavko-Jizba方程自洽，且模型中用来描述软孔的参数(孔隙度和纵横比)比BISQ模型的特征长度R具有更明确的物理意义.然而，该模型仅考虑了某一特定纵横比的软孔隙所引起的喷射流效应，从而难以描述实际岩石复杂的孔隙结构的影响.为此，Deng等(2015)基于岩石微观孔隙结构特征将不同纵横比的软孔隙逐步迭代加入喷射流模型中，分析了弹性波的速度频散和衰减规律.之后，欧阳芳等(2021b)在此基础上对经典Gurevich喷射流模型进行了进一步扩展，不仅考虑了微裂隙与硬孔隙间的局部流动、硬孔隙与硬孔隙间的Biot宏观流，还引入了微裂隙与微裂隙间的喷射流作用.

尽管岩石物理频散理论已有相当发展，但由于低频实验技术仍处于起步阶段，这些理论模型的可靠性仍有待岩石物理实验的检验.目前，已有部分国内外研究机构基于低频岩石物理实验技术对地震频段速度频散和衰减的影响因素进行了研究，尤其是孔隙流体黏度的影响.Batzle等(2006)通过改变温度(22 ℃和63 ℃)调节甘油的流体黏度，研究了地震频段饱和甘油砂岩样品的速度频散和规律，发现随着甘油黏度的增加，实验测量的速度频散曲线向较低频方向移动，与喷射流模型的预测结果一致.Subramaniyan等(2014)在水-甘油饱和条件下研究了地震频段内混合流体黏度对枫丹白露砂岩速度频散和衰减的影响，该研究通过调整含水饱和度改变混合流体的黏度，并发现随着饱和流体黏度的降低，实验测得的衰减曲线逐渐向高频移动，该实验再次证明了喷射流是引起衰减的重要机制.与此同时，Mikhaltsevitch等(2011)也对甘油饱和条件的Berea砂岩进行了低频实验测量，其研究发现甘油饱和样品的衰减峰值出现在约0.6 Hz(23 ℃)和约1.5 Hz(31 ℃)左右.Yin等(2017)在2～200 Hz频带内对完全饱和致密砂岩进行了低频实验测量，研究了流体类型、有效压力等实验条件对实验结果的影响，发现当流体黏度或有效压力增加时，速度频散曲线会向低频移动.

尽管上述研究针对流体黏度对速度频散和衰减的影响给出了一些重要实验结论，但这些实验研究所选用的岩石样品通常为矿物成分相对单一的Berea砂岩或枫丹白露砂岩.而在绝大多数情况中，岩石样品的矿物组分通常会比较复杂.其次，这些研究所选用的流体为黏度较大的甘油，其物理性质与实际储层流体差异较大，故实验结果难以应用于储层流体识别研究.此外，这些研究仅从实验的角度研究了速度频散规律，而并未从理论上对实验结果进行有效解释.

鉴于此，本文利用低频应力-应变技术和超声传输技术在不同围压下，在1 Hz～3 kHz和1 MHz的频率范围内对3块中孔隙度砂岩和2块低孔隙度砂岩样品进行了饱和不同黏度流体的弹性模量(杨氏模量、泊松比和衰减)测量，利用本课题组欧阳芳等(2021b)提出的扩展喷射流模型对实验数据进行解释，该模型考虑各类孔隙之间的喷射流效应，可以在微观尺度上描述砂岩的频散和衰减.

1 测试系统及实验标定

1.1 低频应力-应变测试系统

我们在Batzle等(2006)的基础上构建了低频应力-应变测试系统(图1a).基于应力应变法，该系统可以获得岩石样品在地震频段的弹性模量和相关衰减.

实验时计算机控制函数发生器、功率放大器以及激振器产生特定频率的轴向正弦应力，将这个力施加在由岩石样品和两端标准铝块组成的测试样品上，此时测试样品表面的应变片可以记录粘贴位置的应变响应.测试样品表面间隔90°共粘贴16片应变片(图1b)，其中标准铝块上有8片纵向应变片，岩石样品上有纵向、横向应变片各4片.假设应力在测试样品中分布均匀，岩石样品的杨氏模量E、泊松比υ和衰减Q-1可通过式(1—3)进行计算.

(1)

(2)

(3)

图1 低频应力-应变测试系统(a) 装置示意图; (b) 样品制备示意图.Fig.1 Low frequency stress-strain testing system(a) Device diagram; (b) Sample preparation diagram.

1.2 实验标定

为了测试系统的可靠性，本文选择铝和有机玻璃作为标准样品进行实验标定，这两种材料的物理性质在诸多文献中均有记载(Batzle et al.，2006； Madonna and Tisato，2013；Pimienta et al.，2015b，2016；Tisato and Madonna，2012).铝和有机玻璃均可以视为无孔、均匀且各向同性的材料，其中铝被认为是一种弹性性质不会随频率而变化的材料，而有机玻璃则是一种典型的黏弹性材料，其弹性性质与频率密切相关(Toksöz et al.，1979；Pimienta et al.，2015a，b；Huang et al.，2015；Gao et al.，2018).

图2展示了标准样品的测量结果并与Batzle等(2006)、Pimienta等(2015b)、Huang等(2015)、殷晗钧(2018)、赵立明(2019)的数据进行对比，可以看出：(1)1 Hz到3000 Hz范围内标准铝块杨氏模量的平均值为67.35 GPa，泊松比的平均值为0.333，与超声测试的结果67.61 GPa和0.331相差不大，衰减的值也很小，在0值附近，这一现象正好对应标准铝块完全弹性的本征物理特性.同时，整体趋势与殷晗钧(2018)和赵立明(2019)的测试结果一致.(2)在有效稳定观测范围内，有机玻璃的杨氏模量从4.19 GPa上升至5.24 GPa，增加25%，出现较为明显的频散现象，并且其最高值仍低于超声测量的6.04 GPa.通过黏弹性Cole-Cole模型将测试数据延展到超声频段，可以验证低频测量数据的正确性，并且可以看出有机玻璃的杨氏模量随频率并不是线性增加，其衰减整体呈现随频率降低的趋势. 有效观测范围内，有机玻璃的泊松比大体呈现减小的趋势，平均值为0.323，其衰减从0.07逐渐减小接近0，除与Batzle等(2006)、Huang等(2015)测量的衰减变化趋势不同外，文献中的测量数据与本文的测量数据变化相一致，尤其与Pimienta等(2015b)、赵立明(2019)在数值也近似.其中泊松比和杨氏模量具体数值差异可能是由于有机玻璃的制备工艺及批次不同造成(Batzle et al.，2006).标定实验验证了低频应力-应变测试系统的可靠性和准确性.

图2 不同标准样测量结果(a) 标准铝块; (b) 有机玻璃.Fig.2 Measurement results of different standard samples(a) Aluminum; (b) Lucite.

图3 砂岩样品的孔隙结构描述与分析Fig.3 Pore structure description of sandstone samples

2 样品描述及实验过程

2.1 样品描述

本文以5块中国南海某油田的砂岩为例，在1～3 kHz和1 MHz进行弹性模量测试，测试时饱和不同黏度的流体以验证流体黏度对于频散和衰减的影响.

5块砂岩样品主要物理性质如表1所示，按照其孔渗情况可以分成两个对照实验组：(1)两块孔隙度在10%左右，渗透率小于1×10-3μm2的低孔隙度砂岩(30#和31#)；(2)三块孔渗条件良好的中孔隙度砂岩(52#、64#和65#).从整体上看，样品直径约25.4 mm，长度为40～50 mm；矿物成分均以石英为主中孔隙度砂岩孔隙发育且分布均匀(图3a—c)，孔隙类型以原生粒间孔为主，孔隙发育，分布均匀；低孔隙度砂岩孔隙类型以粒间溶孔为主(图3d—e)，由于压实作用强烈，颗粒接触较紧密，孔隙不发育.

表1 样品基本信息Table 1 Sample description

2.2 实验过程

为了研究不同孔隙类型流体以及流体黏度的影响，本文分别选用水、3#白油、7#白油、15#白油和甘油(表2)作为饱和流体，其中白油为物理性质接近煤油的矿物油，密度介于0.831～0.883 g·cm-3之间，运动黏度为(50 ℃)5.7～26 mm-2·s-1，并且耐酸、光和热.相较于煤油，白油更适用于实验室条件.本文所选用的3#、7#和15#白油，其密度约为0.83 g·cm-3，黏度分别为水的2倍、5倍和10倍；甘油是一种黏度和密度均较大的流体，密度约为1.26 g·cm-3，黏度为水的1500倍.本文选用甘油作为饱和流体的主要目的是研究流体黏度较大情况下，孔隙流体对速度频散和衰减的影响.由于测试样品的制备过程复杂(龙腾等，2020)，且在拆装过程中可能会出现样品损坏，样品质量减少，孔隙被堵塞等情况，我们尽量减少对同一样品反复拆装，具体的低频实验饱和流体情况如表3所示.

表2 孔隙流体物理属性Table 2 Physical properties of the pore fluids

表3 样品低频实验饱和流体情况Table 3 Low frequency saturated fluid status of samples

实验整体可分为三个阶段：预处理-超声实验-低频实验.预处理时需要对岩石样品进行切割、打磨、洗油等，使样品的尺寸和平整度满足实验要求，同时排除地层残余流体的影响.进行流体饱和之前通常需将岩石样品置于60～80 ℃的烘箱48 h以上，再取出置于空气中24 h，达到与环境湿度一致的程度(约含2%～3%的水分).通过加压饱和或真空饱和的方式对岩石样品进行流体饱和后，利用AutoLab 1000实验系统进行1 MHz超声纵横波速度测试.实验中，围压的压力范围5 MPa到40 MPa，每隔5 MPa记录一次，压力点之间间隔30 min至5 h.持续时间的长短取决于样品的渗透性和饱和流体的黏度.流体黏度越高，达到孔隙压力平衡所需的时间就越长.完成超声纵横波速度测试后对样品重新进行洗油、烘干、饱和流体再进行低频应力-应变实验，低频实验中有效压力范围5 MPa到20 MPa，在每个有效压力下，进行两到三次1 Hz～3 kHz的应力-应变测量，并用式(1—3)计算样品的杨氏模量、泊松比和衰减.

3 实验结果

3.1 高频实验结果

三块中孔隙度砂岩和两块低孔隙度砂岩在干燥条件下分别表现出相似的压力依赖性(图4)：中孔隙度砂岩纵横波速度随围压的增加而增加，而当压力达到某一临界值后，该增加趋势趋于平缓；而低孔隙度砂岩纵横波速度随围压的增加而增加，未见转平的趋势.这些速度-压力曲线表明了不同有效压力下岩石微观孔隙结构的变化，并且可以根据压力相关的速度数据，估计出岩石软孔隙纵横比的分布(Walsh, 1965; Deng et al.，2015; Subramaniyan et al.，2014; Pimienta et al., 2015a; Yin et al.，2017；欧阳芳等，2021a).在饱和水后，岩石的纵波速度显著增加，而横波速度变化不明显，其原因在于孔隙中液体的存在增大了岩石的孔隙压力及岩石整体的弹性模量，从而导致岩石的纵波速度增大；而尽管流体不传播横波，但孔隙流体会引起岩石密度增加，因此横波速度略有下降.此外，对于低孔隙度砂岩样品，其横波速度在饱水前后变化较小.

图4 岩石样品超声速度随压力变化曲线(a) 64#中孔隙度砂岩样品; (b) 30#低孔隙度砂岩样品.Fig.4 Variation curve of ultrasonic velocity with pressure for rock samples(a) 64# conventional sandstone sample; (b) 30# tight sandstone sample.

(图5续)

3.2 低频实验结果

中孔隙度砂岩在饱和水、3#白油、7#白油条件下1～3 kHz范围内杨氏模量、泊松比、衰减以及杨氏模量的增量如图5(a—c)所示，从图中可以看出：杨氏模量一般随频率的增加而增加，且随着压力的增大，杨氏模量增加，衰减量和频散程度逐渐减弱.在低有效压力下衰减有明显的峰值，增加有效压力抑制了频散和衰减，有效压力增加到20 MPa时，杨氏模量的频散变得不明显且衰减变得可以忽略.饱水样品的频散很小，饱和7#白油样品的频散程度最大，饱和3#白油样品的频散大小介于两者之间.从杨氏模量的增量曲线可以看出，频散梯度的大小与流体黏度呈正相关，即流体黏度越大，频散梯度越大.从衰减曲线中可以看出，特征频率饱水时(约400 Hz)>饱和3#白油(约200 Hz)>饱和7#白油(约100 Hz)，即特征频率随流体黏度的增加而减小(Batzle et al.，2006).

图5 杨氏模量和衰减在地震频段的测量结果(a) 52#样品饱和水; (b) 64#样品饱和3#白油; (c) 65#样品饱和7#白油; (d) 31#样品饱和水; (e)30#样品饱和15#白油; (f) 30#样品饱和甘油.Fig.5 Measurement results of Young′s modulus and attenuation in seismic frequency band(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

低孔隙度砂岩在饱和水、15#白油、甘油条件下1～3 kHz范围内杨氏模量、泊松比、衰减以及杨氏模量的增量如图5(d—f)所示，除饱和甘油情况外，另两种情况下样品整体表现出与中孔隙度砂岩一致的规律.饱和甘油条件下，曲线呈线性增长趋势，杨氏模量的频散程度和衰减值很大，特征频率移动至10 Hz以内.此外需要注意的是在模量频散曲线和衰减曲线中会有一些异常的数据点，这些数据点是由于低频测量系统的共振效应产生(Sun et al.，2018)，Batzle等(2006)也观测到了类似的异常数据点.

为了更好地观察饱和不同黏度流体时频散梯度的大小，我们以测量起始频率1 Hz时的杨氏模量为标准，计算了5 MPa下各个样品的归一化参数E(f)/E(1 Hz)，由图6ab可见，在中孔隙度砂岩和低孔隙度砂岩中流体黏度与频散梯度均呈正相关关系，即黏度越大，频散梯度越大.并且两组实验中饱和水时的归一化参数在趋势上相近，于是我们将六组数据绘制在同一张图(图6c)中，可以进一步验证流体黏度与频散梯度的正相关关系.这意味着，我们可以将归一化参数E(f)/E(1 Hz)作为储层流体识别的有效指示因子之一，通过流体黏度来进行储层流体识别.但在有效压力增加的过程中，除饱和甘油曲线外，其余各曲线斜率均有不同程度减小，意味着流体黏度的影响在减弱.有效压力较高时(图6d)，流体黏度便不再是速度频散的主要影响因素，此时利用归一化参数E(f)/E(1 Hz)的差异进行流体识别将会存在一定的难度.

图6 归一化参数图(a) 中孔隙度砂岩5 MPa； (b) 低孔隙度砂岩5 MPa； (c) 5 MPa汇总； (d) 20 MPa汇总.Fig.6 Normalized parameter diagram(a) Medium porosity sandstone 5MPa; (b) Low porosity sandstone 5 MPa; (c) 5 MPa summary; (d) 20 MPa summary.

4 实验解释与模型拓展

4.1 利用现有理论模型解释实验结果

Gassmann方程在岩石物理理论、实验研究及生产实际中应用广泛，可以由岩石干骨架的体积(剪切)模量，岩石基质颗粒的体积模量，孔隙中充填流体的体积模量得到饱和流体岩石的体积(剪切)模量，表达式如下：

(4)

其中，Ksat、Km、Kdry分别为饱和岩石、基质颗粒、岩石干骨架的体积模量，μsat、μdry分别为饱和岩石、岩石骨架的剪切模量，φ为孔隙度，Kfl为孔隙中充填流体的体积模量.Gassmann方程难以解释岩石弹性性质的频散及衰减，Biot进一步考虑岩石骨架与孔隙流体之间的黏性和惯性作用，推导出与频率有关的饱和流体岩石弹性性质，低频极限下的弹性性质与Gassmann方程的预测相同，具体表达式见附录A，其特征频率为：

(5)

其中，κ、ρfl、η分别为样品的渗透率、流体的密度和黏度.Dvorkin和Nur(1993)将宏观Biot机制与微观喷射机制结合，建立了BISQ模型，具体表达式见附录B.Gurevich等(2010)假设岩石孔隙空间中含有两种孔隙，即软孔和硬孔，在考虑了软孔与硬孔之间喷射流效应的条件下，形成了模拟孔隙尺度局部流体流动的喷射流模型，具体表达式见附录C，其特征频率为：

(6)

其中，γ为岩石中主要的微裂隙纵横比.本文应用现有的经典岩石物理模型：Biot模型、喷射流模型、BISQ模型和Gassmann方程分别对岩样中地震波频散进行了模拟，模型所需的参数如表4，再与64#样品饱和3#白油的实测数据进行对比，如图7所示.其中，Biot模型的特征频率出现在高频段，超出实验有效观测范围，在观测范围内与Gassmann方程表现一致，并没有明显的频散；BISQ模型频散的程度相对较小，趋势上也不能与实测数据对应；喷射流模型能够得到在地震频段中随频率近似线性递增的频散趋势，这与多数低频测量数据呈现的趋势较为吻合，但经典的喷射流模型距离表征低频实验数据还有一定的差距.

表4 模型所需物理参数Table 4 Physical parameters required for the model

图7 几种理论模型与实测数据对比图(a) 纵波速度; (b) 横波速度.Fig.7 Comparison diagram of several theoretical models and measured data(a) P-wave velocity; (b) S-wave velocity.

由公式(5)(6)可以看出，流体黏度对于Biot理论和喷射流机制特征频率的作用是相反的，Biot理论认为流体黏度增大，特征频率向高频方向移动；喷射流机制认为流体黏度增大，特征频率向低频移动.由实验结果来看，随着流体黏度的增大，特征频率有向低频移动的趋势，与喷射流机制的解释一致(Yang等,2020).这是因为喷射流发生的关键因素是波在传播过程中，在半个周期内孔隙压力难以在软孔和硬孔之间平衡，流体黏度增大时，就会表现出显著的喷射流效应.在本文中，实验的结果与国内外学者的实验研究一致(Batzle et al.，2006；Mikhaltsevitch et al.，2011；Subramaniyan et al.，2014；Yin et al.，2017)，可以证实喷射流机制适用于在微观尺度下描述流体流动对岩石弹性模量的影响.基于此，本文以本课题组欧阳芳等(2021b)提出的扩展Gurevich喷射流模型为理论基础，对实验数据进行解释与匹配.

4.2 扩展的喷射流模型

经典Gurevich喷射流模型中只考虑了一种纵横比的软孔隙与硬孔隙之间的喷射流效应(图8a)，但实际上岩石中的软孔隙纵横比是多种多样的(图8b)，而且不同纵横比的软孔隙与硬孔隙之间的喷射流效应对岩石弹性性质产生的贡献不同，岩石受到的是全部软孔隙喷射流效应的综合影响.Deng等(2015)在Gurevich理论中单一软孔隙纵横比的基础上，考虑岩石中所有的软孔隙的纵横比呈一定范围内连续分布的状态，对喷射流模型进行了改进(图8c).该模型以α=0.01作为软硬孔隙的分界，采用单一硬孔隙纵横比，迭代加入具有不同孔隙纵横比的软孔隙.然而实际岩石的孔隙类型复杂，仅用单一纵横比来表征硬孔隙也不能全面的反映实际情况，De Paula等(2012)提出将硬孔隙分为纵横比接近1的圆孔和孔隙纵横比大于0.01但远小于1的中尺度孔隙.当中尺度孔隙、软孔隙和硬孔隙并存时，会出现软孔隙与中尺度孔隙之间、软孔隙与硬孔隙之间和中尺度孔隙与硬孔隙之间的喷射流.在此基础上，我们认为当第i种软孔隙产生喷射流时，会将流体挤入比该种软孔隙纵横比大的所有孔隙中(包含软孔隙与硬孔隙)，见图8d；随后该种软孔隙闭合，纵横比更大的软孔隙开始发生喷射流作用，见图8e.欧阳芳等(2021b)基于此得到的扩展模型不仅描述了微裂隙与硬孔之间的局部流体流动，还依据孔隙纵横比的大小加入了N种微裂隙之间的喷射流效应(图8f).

图8 岩石“湿骨架”建模示意图(a) 经典Gurevich模型-单一软孔隙纵横比喷射流； (b) 岩石中多种纵横比孔隙分布； (c) 含 一定分布的软孔隙及单一纵横比的硬孔隙喷射流； (d) 第i种纵横比软孔隙发生喷射流； (e) 第i种纵横比软孔隙闭合后，纵横比更大的软孔隙发生喷射流； (f) 扩展的喷射流模型，考虑软孔隙之间喷射流效应.Fig.8 Schematic diagram of building “wet-frame” of rock(a) Classical Gurevich model of squirt flow from a single soft pore aspect ratio; (b) Pore distribution in rock with multiple aspect ratios; (c) Squirt flow from soft pores with a certain distribution and stiff pores with a single aspect ratio; (d) Squirt flow from the ith aspect ratio soft pore; (e) Squirt flow from a larger aspect ratio soft pore after the closure of the ith aspect ratio soft pore (f) Extended squirt flow model that takes into account squirt flow effects between soft pore spaces.

扩展喷射流模型中迭代求取湿骨架模量时，假设岩石中仅含有一种孔隙纵横比为αc的微裂隙，其孔隙度为φc，则在有效压力P下，此种微裂隙的体积压缩系数Cp(P)满足(Zimmerman, 1991)

φc(P)Cp(P)=1/Kd(P)-1/Kh，

(7)

Kd(p)和φc(p)分别为有效压力p下的干燥岩石体积模量和软孔隙孔隙度；而Kh为在极高有效压力作用下所有软孔隙闭合而使岩石骨架仅含有硬孔隙时等效基质的体积模量.将式(7)代入Gurevich湿骨架的体积模量Kmf(P,ω)(附录B1)中，可得：

(8)

(9)

(10)

其中，αc为微裂隙的特征孔隙纵横比，ω为角频率，η和Kf分别为孔隙流体的黏度和体积模量；J0和J1分别表示0阶和1阶贝塞尔函数.对于存在N种微裂隙的情形，我们可以得到相应的推广公式，即

(11)

式中，φn(P)，αn(P)和Cpn(P)表示有效压力P下第n种微裂隙的孔隙度、纵横比和体积压缩系数，其中φn和αn可以从干燥岩石的超声速度-压力数据中反演得到，具体反演方法参见附录D.对于孔隙压缩系数Cp n，我们可以利用如下关系计算得到(Zimmerman, 1991; David and Zimmerman, 2012)

(12)

(13)

最后将式(13)代入式(11)中得到扩展后Gurevich湿骨架模型

(14)

将计算的Kmf代入Biot理论就可以得到速度频散和衰减曲线.

4.3 利用扩展的喷射流模型解释实验结果

基于岩石样品干燥高频数据可以反演得到软孔孔隙纵横比和孔隙度分布(图9)从图中可以看出，中孔隙度砂岩样品(图9a)的软孔孔隙纵横比分布范围为0～0.002，其中孔隙纵横比介于0～0.001之间的软孔体积含量最高；随着有效压力的增加，岩石中的软孔隙逐渐闭合，软孔隙度随之减小，开口较小(孔隙纵横比较大)的孔隙逐渐减小甚至消失.低孔隙度砂岩相较于中孔隙度样品，其软孔孔隙度更小、随有效压力的变化更小，其中孔隙纵横比介于0～0.001之间的软孔体积含量最高.

图9 样品软孔隙孔隙度分布(a) 64#中孔隙度砂岩样品; (b) 30#低孔隙度砂岩样品.Fig.9 Distribution of soft porosity porosity of samples(a) 64# medium porosity sandstone samples; (b) 30# low porosity sandstone samples.

将上述反演得到的孔隙结构参数代入扩展的喷射流模型中，可以预测出不同流体饱和条件下岩石样品的杨氏模量频散和衰减曲线.在对比模型预测结果与实验数据时，我们进行了三个方面的对比：

(1)数值的直接对比，图10为样品的实验数据与模型预测结果的对比.模型预测的杨氏模量和衰减表现出与实验数据一致的压力依赖性，即随压力的增加表现出频散程度与衰减量均减小的现象.从衰减曲线可以看出，特征频率随流体黏度的增加而减小.中孔隙度砂岩(图10a—c)的模型预测结果与实验数据在部分数据点处存在数值上的差异但总体吻合较好，且特征频率基本一致；低孔隙度砂岩的吻合情况并不理想，模型预测结果略高于实验数据.由此可见，扩展的喷射流模型考虑了多种孔隙间的流体流动，相比经典Gurevich喷射流模型与实验数据更吻合，可能是由于甘油的填充放大了空间不均匀性的影响，造成饱和甘油的数据与模型预测的结果差距很大.(2)为了观察实验数据与模型预测结果趋势上的规律，我们以测试最高频率3 kHz时的杨氏模量为标准，分别计算了归一化杨氏模量E(f)/E(3 kHz)(图11).可以发现除饱和甘油条件的曲线外，归一化后的实验数据与模型预测结果吻合情况更好，尤其是低孔隙度砂岩实测值与预测值的吻合情况得到明显改善(图11(d—e))，这也能说明扩展的理论模型与实际测量在趋势上保持一致，可以用来描述不同流体饱和条件下的频散规律.

图10 杨氏模量和衰减测量与模型预测结果对比(a) 52#样品饱和水; (b) 64#样品饱和3#白油; (c) 65#样品饱和7#白油; (d) 31#样品饱和水; (e) 30#样品饱和15#白油; (f) 30#样品饱和甘油.Fig.10 Comparison of Young′s modulus and attenuation measurements with rock physics model(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

图11 归一化的样品实验测量与岩石物理模型计算杨氏模量结果对比(a) 52#样品饱和水; (b) 64#样品饱和3#白油; (c) 65#样品饱和7#白油; (d) 31#样品饱和水; (e) 30#样品饱和15#白油; (f) 30#样品饱和甘油.Fig.11 Comparison of normalized Young′s modulus of experimental measurement and normalized result from rock physics model of sample(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

(3)为了验证流体黏度对于频散的影响，我们以测量起始频率1 Hz时的杨氏模量为标准分别计算了模型预测结果的归一化参数E(f)/E(1 Hz)，由图12可以看出，模型预测结果与实测结果的规律保持一致，即除饱和甘油的曲线外，流体黏度越大，频散梯度越大.

图12 归一化参数模型预测与实验数据对比(a) 中孔隙度砂岩； (b) 低孔隙度砂岩.Fig.12 Comparison of normalized parameter model predictions and experimental data(a) Medium porosity sandstone; (b) Low porosity sandstone.

5 结论与认识

本文应用低频应力-应变测试系统在1 Hz～3 kHz的频率范围内测量了2块低孔隙度砂岩、3块中孔隙度砂岩饱和不同黏度流体(水、白油、甘油)时的杨氏模量、泊松比和衰减.从实验结果中我们发现：(1)两种砂岩样品都表现出压力依赖性，即随着压力增加，杨氏模量增加，衰减量和频散程度逐渐减弱；(2)频散梯度的大小与流体黏度呈正相关，即流体黏度越大，频散梯度越大；(3)从衰减曲线上可以看出，特征频率随流体黏度增大而减小.

利用现有理论模型(Biot模型、喷射流模型、BISQ模型以及Gassmann方程)并不能很好地解释实验数据，同时对比Biot模型和喷射流模型关于特征频率的计算公式发现，实验数据的趋势(流体黏度增大，特征频率向较低频率移动)与喷射流机制的解释一致.于是利用扩展Gurevich喷射流模型对实验数据进行解释，发现：(1)模型基于岩石孔隙均匀分布假设，所以相较于低孔隙度砂岩，中孔隙度砂岩模型预测结果与实验数据数值上吻合更好；(2)通过归一化模量E(f)/E(3 kHz)可以看出低孔隙度砂岩模型预测结果的趋势与实验数据是一致的，这也能说明扩展的理论模型可以用来描述不同流体饱和条件下的频散规律；(3)进一步计算归一化参数E(f)/E(1 Hz)验证了实验数据中观测到的流体黏度与频散梯度正相关关系.

这些实验观测和模型预测的结果对于定量地震解释和储层预测有重要的意义，其中归一化参数E(f)/E(1 Hz)可以在较低有效压力的条件下定性识别储层流体黏度，在时移地震分析、流体预测和储层监测中具有潜在的应用和重要的意义.

附录A Biot理论表达式

Biot理论考虑岩石骨架与孔隙流体之间的黏性和惯性作用，低频极限下的弹性性质与Gassmann方程的预测相同.Stoll(1977)、Berryman(1980)给出Biot方程的纵、横波速度解为

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

其中，Kdry、μdry分别为岩石干骨架的体积模量、剪切模量；Km为岩石基质颗粒的体积模量；ω为平面波的角频率；Jn()是n阶Bessel函数；α是曲折度；a是孔径参数.

附录B BISQ模型表达式

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)

(B5)

(B6)

其中，R为特征射流长度，κ、ρs、ρfl、η分别为样品的渗透率、密度和流体的密度、黏度，Kdry、Km和Kfl分别为岩石干骨架、岩石基质和流体的体积模量，ω为平面波的角频率，Jn()是n阶Bessel函数；a是孔径参数.所有的输入参数中，特征射流长度除外，都可实验测量.

附录C 喷射流模型表达式

Gurevich等(2010)假设岩石孔隙空间中含有两种孔隙：软孔隙φc和硬孔隙φs且φ=φs+φc≈φs，在考虑了软孔隙与硬孔隙之间喷射流效应的条件下，岩石“湿骨架”的弹性模量Kmf(p,ω)和μmf(p,ω)随频率与压力变化的理论公式，如下所示：

(C1)

(C3)

μsat(p,ω)=μmf(p,ω)，

(C4)

附录D 基于等效介质理论的孔隙结构参数求取

为了得到微裂隙的孔隙结构参数，即孔隙纵横比、孔隙度和累积裂隙密度，这里我们采用欧阳芳等(2021a)提出的反演方法进行计算，裂隙密度的计算可以通过KT(Kuster Toksöz模型)、MT(Mori Tanaka模型)、DEM(Differential effective medium模型)、SC(Self-consistent模型)四种等效介质理论实现，即：

(D1)

(D2)

(D3)

(D4)

(D5)

(D6)

(D7)

式中，K、G和υ表示体积模量、剪切模量和泊松比，其上标*表示等效介质，下标b表示背景介质.按照压力由高至低的顺序，将干燥岩石的弹性模量KD(Pk),GD(Pk)和KD(Pk-1),GD(Pk-1)分别作为背景介质和等效岩石的弹性模量依次代入式D1—D7中，反演裂隙密度Γ(Pk)；然后，在此基础上求取累积裂隙密度，即

(D8)

于是，将上式代入如下公式中，便能获得微裂隙的孔隙纵横比分布：

(D9)

以及裂隙密度分布函数γ、孔隙度分布函数c以及微裂隙孔隙度φn：

(D10)

(D11)

φn(α)=c(α)dα.

(D12)