理解系数k值 剖析错题本源

杨红萍

反比例函数是我们的老朋友，也是新伙伴。说它是老朋友，是对于函数而言的，我们小学六年级就知道反比例的定义，八年级上学期学习了一次函数和正比例函数，可以进行类比学习;说它是新伙伴，是对于理解性而言的，我们需要系统地从“反比例函数表达式”“反比例函数的图像与性质”“用反比例函数解决问题”等版块去深入学习。下面，老师列举几类有关反比例函数系数k的常见错误，和大家一起寻找错题的本源，提升解题能力。

一、忽视定义中系数k的取值范围

例1 若函数y=（m-2）x[m2-5]是反比例函数，则m=     。

【错解】±2。

【分析】本题主要考查了反比例函数的定义。解决这类问题时，我们不能只观察未知数的指数情况，而忽视了系数k≠0的条件。所以在解题过程中，我们需要关注每一个条件，不可以茫然地主观解题。

解：由题意得m2-5=-1，解得m=±2。

又∵m-2≠0，∴m≠2。故m=-2。

二、忽视图像增减性中系数k的象限范围

例2 函数y=[-a2-1x]（a为常数）的图像上有三点（-4，y1）、（-1，y2）、（2，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）。

A.y3

C.y1

【错解】C。

【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征。当k>0时，图像分别位于第一、三象限，横纵坐标同号;当k<0时，图像分别位于第二、四象限，横纵坐标异号。先根据-a2-1<0，判断出反比例函数y=[-a2-1x]的图像在第二、四象限，然后根据函数图像在每一象限内的增减性及坐标特征进行分类梳理。因此，我们在解反比例函数图像的有关问题时，要重视“在每一个象限内”这个必要条件。

解：∵a2≥0，

∴-a2≤0，-a2-1<0，

∴反比例函数y=[-a2-1x]的图像在第二、四象限。

∵点（2，y3）的横坐标为2，2>0，

∴点（2，y3）在第四象限，y3<0。

∵（-4，y1）、（-1，y2）的横坐标都小于0，

∴（-4，y1）、（-1，y2）在第二象限，y1>0，y2>0。

∵在第二象限内y随x的增大而增大，-4<-1，

∴y2>y1，

∴y2>y1>y3。故选A。

三、忽视函数应用中系数k的几何意义

例3 如图1，点A（m，1）、B（2，n）在双曲线y=[kx]（k≠0）上，连接OA、OB。若S△ABO=8，则k的值是（ ）。

A.-12 B.-8 C.-6 D.-4

【错解】B。

【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义。反比例函数图像上任一点到x轴的距离与到y轴的距离之积保持不变，都等于[k]。利用这个知识，我们可以求出坐标轴上的点与反比例函数图像上的点围成的几何图形面积。如果所求面积是规则图形，则按照图形面积公式进行求解;如果所求面积是不规则图形，我们应将其转化为规则的三角形面积或矩形面积来求解。借助点坐标特征和系数k的几何意义来解决面积型问题，是数形结合思想方法的一种具体体现，能快速、直接地解决问题。

解：如图2，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，交于点C，连接OC。

設A（k，1），B（2，[12]k），

则AC=2-k，BC=1-[12]k。

∵S△ABO=8，

∴S△ABC-S△ACO-S△BOC=8，

∴[12]（2-k）（1-[12]k）-[12]（2-k）×1-[12]（1-[12]k）×2=8，解得k=±6。

∵k<0，

∴k=-6。故选C。

以上三个版块是反比例函数解题中一些常见易错题的总结，可见系数k在反比例函数的学习中有着举足轻重的作用，希望能对前行中的你有一些启发和帮助。我们更要在错题中学会总结，学会融合，学会知其然并知其所以然。

（作者单位：江苏省无锡市新城中学）