隐性轨迹问题

庄保海

【摘要】 动点在运动过程中产生的轨迹问题，是近年来中考数学中的一个常考题型，这类问题的难度一般都比较大，通常得分率比较低.究其原因主要是以下几个方面，其一是学生基础知识掌握不好，因为这类问题综合性通常都比较强，它会综合矩形、菱形、正方形、平行四边形等特殊四边形、圆形、三角形等知识，再结合三角函数，以及点的运动，所以难度可想而知;其二是学生对从动点的运动轨迹不会判断，也就是不知道轨迹是什么样子的，更不用想求它的问题了.

【关键词】 隐性轨迹;隐形圆;模型

解题中，我们常常遇到隐性轨迹的问题，隐性轨迹指的是不太明显的轨迹，需要我们去发现，去探寻，有时，发掘隐性轨迹是解题的必经之路.下面举例说明中考中常考的隐性轨迹问题.

1 轨迹为线段或射线

例1 图1

如图1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，点P在线段BC上运动（含B，C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（  ）

（A）52.    （B）52.

（C）533.（D） 3.

分析 如图2，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H.利用全等三角形的性质证明∠AFQ=90°，推出∠AEF=60°，推出点Q的运动轨迹是射线FE，求出DH，可得结论.

解 如图2，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H.

因为四边形ABCD是矩形，

所以∠ABP=∠BAE=90°，

因为△ABF，△APQ都是等边三角形，

所以∠BAF=∠PAQ=60°，

BA=FA，PA=QA，

所以∠BAP=∠FAQ，

在△BAP和△FAQ中，

BA=FA，∠BAP=∠FAQ，PA=QA，

所以△BAP≌△FAQ（SAS），

所以∠ABP=∠AFQ=90°，

因为∠FAE=90°-60°=30°，

所以∠AEF=90°-30°=60°，

因为AB=AF=5，

AE2=AF2+EF2=AF2+12AE2，

解得AE=1033，

所以点Q的运动轨迹是线段FM（M是射线FE与直线CD的支点），

当点P与C重合时，点Q与点M重合.

因为AD=BC=53，

所以DE=AD-AE=533，

因为DH⊥EF，

∠DEH=∠AEF=60°，

所以∠HDE=30°，

所以DH2=DE2-EH2=DE2+12DE2，

解得DH=52，

根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52，故选（A）.

注 本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质以及勾股定理等内容，难度中等，是中考热考的内容.

例2 如图3，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是.

分析 如图4，分别找到当F与A点重合时和F与C重合时，点E的位置，记为M和N，可知E的运动路径是MN的长;由已知条件可以推导出△DMN是直角三角形，利用勾股定理可求MN.

解 如圖4，点E的运动路径是的MN长，

因为AB=4，∠DCA=30°，

所以BC=433，

当F与A点重合时，点E的对应点为M，在Rt△ADM中，

AD=433，∠DAM=30°，∠ADM=60°，

所以DM=233，∠CDM=30°.

当F与C点重合时，点E的对应点为N，

在Rt△DCN中，∠NDC=60°，

DN=2，

所以∠NDM=90°，

在Rt△DNM中，MN=DM2+DN2=433，

故点E的运动路径长为433.

注 本题考查点的轨迹;能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，是解题的关键.

2 轨迹是圆或圆弧

例3

如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q为BP的中点，在点P运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是.

分析 取AB的中点M，连接QM，CM，分析可知，点C，M是定点，点Q是动点，且点Q在以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM的延长线上时，m取得最大值，可得结论.

解 如图6，取AB的中点M，连接CM，QM.

因为AP=3，

所以P在以A为圆心，为半径圆上运动，

在Rt△ABC中，

AB=AC2+BC2

=82+62

=10，

因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，

所以CM=12AB=5.

因为Q是BP的中点，M是AB的中点，

所以MQ=12AP=32.

所以5-32≤CQ≤32+5，

即72≤m≤132.图7

注 本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

例4 如图7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3.P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是（  ）

（A） 3.    （B） 33.

（C）334.（D）332.

分析 由题意知∠APC=90°，又AC长度一定，则点P的运动轨迹是以AC中点O为圆心，12AC长为半径的圆弧，所以当B，P，O三点共线时，BP最短;在Rt△BCO中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到△PCO是等边三角形，利用特殊Rt△APC三边关系即可求解.

解 因为PA2+PC2=AC2，

所以∠APC=90°，

取AC中點O，并以O为圆心，12AC长为半径画圆（图8），

由题意知：当B，P，O三点共线时，BP最短，

所以AO=PO=CO，

因为CO=12AC=12×23=3，

BC=3，

所以BO=BC2+CO2=23，

所以BP=BO-PO=3，

所以点P是BO的中点，

所以在Rt△BCO中，

CP=12BO=3=PO，

所以△PCO是等边三角形，

所以∠ACP=60°，

在Rt△APC中，

AP=CP×tan60°=3，

所以S△APC=12AP×CP=3×32=332.

注 本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度.解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆.

例5 如图9，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.

（1）求证：BC∥AD;

（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.

分析 （1）只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可;

（2）由题意，BA=BD=4，

BC=BE=1，

∠ABD=∠CBE=60°，

利用弧长公式计算即可.

解 （1）由题意 △ABC≌△DBE，

且∠ABD=∠CBE=60°，

所以AB=DB，

所以△ABD是等边三角形，

所以∠DAB=60°，

所以∠CBE=∠DAB，

所以BC∥AD.

（2）由题意 BA=BD=4，

BC=BE=1，

∠ABD=∠CBE=60°，

所以A，C两点旋转所经过的路径长之和等于

60·π·4180+60·π·1180=5π3.

注 本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

当然隐性轨迹还有可能是其他模型，需要同学们在学习中注意总结利用.总之，隐性轨迹问题具有较强的探究性，可能出现在几何问题或代数问题里，需要发掘和利用才能顺利解决问题.