轨迹问题处理策略的探究

林燕青

【摘要】轨迹问题是初中数学常见的问题类型，动点轨迹分析实则就是探究运动规律的过程，即在运动中寻找不变量，推导其中的数量或位置关系.

【关键词】 轨迹问题;动点轨迹;运动规律

1 平行定距

1.1 方法解读

平行定距法常用于解析直线型轨迹问题，利用的是平行线之间的距离相等原理.如图1所示，对于给定的定直线l，动点到其距离为定长d，则其轨迹平行于直线l，如图中的直线m或n，两直线的距离就为定长d.

使用平行定距法解析问题时建议采用数形结合，确定动点的直线轨迹，然后结合条件计算.解析时建议分三步进行：第一步，确定动点的初始和终止位置;第二步，关注图中的从动点，提取从动点的关键位置;第三步，确定动点运动的路径，计算长度.

1.2 实例讲解

例1 如图2所示，在△ABC中，已知∠B=90°，∠BAC=60°，AB=1.点E是BC上的一个动点，现以AE为边在其右侧作等边△AEF，再连接CF，G为线段CF的中点.如果点E从点B出发，沿着BC方向运动至点C.试求在该运动过程中点G运动的路径长.

解析 分析可知点E为主动点，点G为从动点，点E的运动轨迹为直线，需要确定点G的轨迹，再计算路径.

取AC的中点为H，连接FH，如图3，Rt△ABC，已知∠BAC=60°，AB=1，可推知AB=12AC，AH=AB.分析可知∠1+∠EAC=60°，∠2+∠EAC=60°，所以∠1=∠2.在△ABE和△AHF中，有AB=AH∠1=∠2AE=AF，所以△ABE≌△AHF，可推得∠B=∠AHF=90°，则FH为AC的垂直平分线，可推知AF=FC.

过点G作AC的垂线，设垂足为点I，则GI=12FH，且GI∥FH，分析可知点G的运动轨迹为射线IG，当点E运动到点C时，停止运动，如图4所示.在图4中有AF=AE=AC=2AB=2，可推得FH=3，GI=32，所以点G的运动路径长为32.

评析 上述在确定动点G的轨迹时采用了平行定距法，充分把握动点之间的距离关系，确定动点的运动轨迹.其中解析的关键是提取全等图形，推导线段之间的长度和位置关系.

2 夹角定位

2.1 方法解读

夹角定位法也是直线型轨迹分析的常用方法，即在平面内，过定点且与定直线的夹角为定值的点，其点的运动轨迹为直线.如图2所示，已知直线l与定点A，如果直线BA与直线l的夹角为确定的角α，则可以确定点B始终在定直线AB上.

使用夹角定位法进行动点轨迹推导，需要关注主、从动点的关联，包括两点之间的距离，以及相关夹角.具体解析时常结合构造法，构造全等关系来聚集条件.

2.2 实例讲解

例2 如圖3所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），点B是y轴正半轴上的一个动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP.当点B在y轴上运动时，则OP的最小值为 .

解析 本题目中点A为定点，点B为主动点，点P为从动点，△ABP为等边三角形，则AB与AP之间的夹角为定角60°，点B的运动的轨迹为直线.

可以AO为边长在图中的第三象限作等边△AP1O，如图4，再过点P1作P1 P2⊥AP1交x轴于点P2，可证△AOB≌△AP1 P2，由全等性质可得∠A P1 P2=∠AOB=90°.

求OP的最小值需先确定点P的轨迹.已知△ABP为等边三角形，且点B在y轴的正半轴上运动，利用夹角定位法可知点P的轨迹线为P1 P2所在直线.过点O作P1 P2的垂线，设垂足为点P，图中OP的长就为其最小值.推导可得OP2=OA=3，所以OP=32.

评析 上述采用夹角定位来确定点P的运动轨迹，在点B向下移动的过程中，可将△ABP视为是平移缩放的过程，而平移的方向就为点P的运动方向.

3 “定边对直角”建模

3.1 方法解读

建模是基于圆周角定理所构建，即在圆中，直径所对的圆周角为直径.

依托圆周角定理可推知，在图5所示的三角形中，若点A和B为定点，动点P在平面内满足∠APB=90°，则点P的轨迹为以AB为直径的圆上，几何上将其称之为“定边对直角”模型.

3.2 实例讲解

例3 如图6所示，在Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，BC=4，点P是△ABC内部的一个动点，且始终满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值为 .

解析 分析可知∠ABP+∠PBC=90°，又知∠PAB=∠PBC，则∠BAP+∠ABP=90°，所以∠APB=90°，即定边AB所对的角为直角，可确定点P在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点，记为圆心O.

显然当点O、P、C共线时，CP取得最小值，连接OP，与⊙O的交点就为点P.在Rt△BCO中，由勾股定理可得OC=5，则PC=OC-OP=2，即PC的最小值为2.

评析 上述求CP的最小值，关键是确定点P的轨迹，通过等角代换依然可推知定角—∠APB=90°，显然满足“定边对直角”模型的要求.

总之，初中阶段动点轨迹常见的为直线和圆弧两种，对于轨迹问题可分三步进行，即猜测形状——证明轨迹——代入应用，具体应用时需针对性分析，灵活变通.