递推数列求解竞赛中的概率问题

苏丽娟

【摘要】在数学竞赛中，经常出现一些以递推关系为背景的求概率的问题.对于这类问题若运用直接法求概率，困难较大，而根据问题特点建立关于概率的递推模型，利用递推的方法，再结合数列知识转化为计算数列通项公式，可使问题得到顺利解决.

【关键词】递推数列;竞赛;概率

下面举例说明递推数列在求解竞赛中概率问题中的应用.

1由一阶递推数列求概率

形如an+1=Aan+B（n∈N*，A≠1）的递推公式的数列称为“一阶递推数列”，求解这类问题首先配凑常数λ，即an+1+λ=A（an+λ），展开、整理后与递推公式比较系数得（A-1）λ=B，则λ=BA-1，进而转化为等比数列求解.

例1某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A种密码，第七周也使用A种密码的概率是（用最简分数形式）.（2012年全国高中联赛）

解设第k周使用A种密码的概率为Pk，则第k周未使用A种密码的概率为1-Pk，

则Pk+1=13（1-Pk）（n∈N*），

即Pk+1=-13Pk+13.

设Pk+1+λ=-13（Pk+λ），

则Pk+1=-13Pk-43λ.

令-43λ=13，得λ=-14，

所以Pk+1-14=-13Pk-14.

因为第一周使用A种密码，

所以P1=1，P1-14=34，

于是Pk-14是以 34为首项，-13为公比的等比数列，

所以Pk-14=34·-13k-1，

即Pk=34·-13k-1+14，

故P7=34·-137-1+14=61243.

例2甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷到1点，则甲继续掷，否则由乙掷;若乙掷到3点，则乙继续掷，否则由甲掷.两人始终按此规则进行.则第n次是甲掷的概率为Pn=.（2014年全国高中联赛山东预赛）

解甲掷到1点和乙掷到3点的概率均为16，甲未掷到1点和乙未掷到3点的概率均为56.

设第k次由甲掷的概率为Pk，

则由乙掷的概率为1-Pk.

因为甲先掷，所以P1=1.

第一次由甲掷，则第二次继续由甲掷的概率为P2=16，乙掷的概率为1-16=56，

于是第k+1次由甲掷的概率为

Pk+1=16Pk+56（1-Pk），

即Pk+1=-23Pk+56.

设Pn+1+λ=-23（Pn+λ），

则Pn+1=-23Pn-53λ.

令-53λ=56，得λ=-12.

所以Pn+1-12=-23Pn-12.

即数列Pn-12是以P1-12=12为首项，-23为公比的等比数列.

所以Pn-12=12·-23n-1，

即Pn=12+12·-23n-1.

2由二阶递推数列求概率

形如an+2=Aan+1+Ban（n∈N*）的递推公式的数列称为“二阶递推数列”，求解这类问题首先在递推关系式的两边加上λan+1进行配凑：an+2+λan+1=（A+λ）an+1+Ban，即an+2+λan+1=（A+λ）an+1+BA+λan.令λ=BA+λ，求出λ的值，进而转化为等比数列求解.

例3为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一次投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分;两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮互不影响.

（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望;

（2）若经过n轮投篮，用pi表示第i轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.

①求p1，p2，p3;

②规定p0=0，经过计算机模拟计算可得pi=api+1+bpi-1（i≥1，i∈N），请根据①中p1，p2，p3值求出a，b的值，并由此求出数列{pn}的通项公式.（2021年全国高中联赛甘肃预赛）

解（1）X的可能取值为-1，0，1，

则P（X=-1）=13×12=16，

P（X=0）=23×12+1-23×1-12=12，

P（X=1）=23×12=13，

所以X的分布列为

X-101P161213

期望E（X）=-1×16+0×12+1×13=16，

即经过1轮投篮，甲得分的期望为16分.

（2）①由（1）得p1=16.

经过两轮投篮，甲的累计得分低于乙的累计得分的有两种情况：一是甲两轮都得分为-1分;二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得-1分.

p2=162+C12×12×16=736.

經过三轮投篮，甲的累计得分低于乙有四种情况：

-1-1-1;-1-1+0;-1+0+0;-1-1+1.

p3=163+C23162×12+C13×16×122+

C23162×13

=43216.

②将p0，p1，p2，p3的值分别代入pi=api+1+bpi-1，得

16=736a，736=43216a+16b，

解得a=67，b=17.

所以pi=67pi+1+17pi-1，

pi+1=76pi-16pi-1.

设pi+1+λpi

=76+λpi-1676+λpi-1，

即pi+1+λpi=76+λ·pi-17+6λpi-1.