合理放缩，探析零点存在的充分条件

白志峰

【摘要】通过合理放缩，进行转化与划归，减少参数的干扰或降低超越函数的复杂程度，化繁为简，逐步分析探究零点存在的充分条件，找出特值或证出存在，是一种比较有效的思维策略.

【关键词】放缩;端点赋值;思维策略

函数的零点问题涉及的知识面广、综合性强，解决问题时常常需要把问题转化为探求某个单调区间上存在异号的函数值，进而说明该区间上零点的唯一性.但面对灵活多变的函数关系，如何合理赋值，是一个难点.对于含参数的问题，往往更加复杂，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.本文通过举例说明解决这一类问题的一种思维策略——合理放缩，探析零点存在的充分条件.

题目已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有两个零点，求a的取值范围.

解求导可得

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1

=（aex-1）（2ex+1）.

当a≤0时，

f′（x）=（aex-1）（2ex+1）<0恒成立，

故函数f（x）单调递减，

即f（x）最多有一个零点;

当a>0时，

令f′（x）=（aex-1）（2ex+1）=0，

得x=ln1a，

进而可得函数f（x）在-∞，ln1a上单调递减，在ln1a，+∞上单调递增，

此时函数有极小值

fln1a=lna-1a+1.

易知，当a>1时，

极小值fln1a>0，原函数无零点;

当a=1时，

极小值fln1a=0，此时恰有1个零点;

当0

因为lna<0，1-1a<0，

所以fln1a<0.

下面证明-∞，ln1a和ln1a，+∞上分别有且只有一个零点，从而说明a的取值范围是（0，1）.

（1）先证：f（x）在-∞，ln1a上有且只有一个零点，即只需证明存在x0∈-∞，ln1a，

使得f（x0）>0.

解析1注意到ln1a>0和f（x）在-∞，ln1a上单调递减，可以加强条件，

考虑x<0，此时0

因为ae2x>0，

所以f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

>（a-2）ex-x.

又因為0

所以f（x）>（a-2）ex>a-2-x.

令a-2-x≥0，得

x≤a-2，

所以对于任意a∈（0，1），一定存在x0≤a-2<0，

使得f（x0）>0，

故f（x）在-∞，ln1a上有唯一零点.

到此，证明了x0的存在性，无需再取特值验证.事实上，鉴于以上的思路，取x0=a-2，a-3，a-4，…，均可，例如

f（a-3）>a-2-（a-3）=1>0.

解析2f（x）=ae2x+aex-2ex-x

>-2ex-x，

只需存在x0<0，使f（x0）>0，

取x0=-2，有

f（-2）>-2e-2+2>0，

所以f（x）在-∞，ln1a上有唯一零点.

（2）再证：f（x）在ln1a，+∞上有且只有一个零点，即只需证明存在x0∈ln1a，+∞，使得

f（x0）>0.

解析1因为ex>x，

所以f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

>ae2x+（a-2）ex-ex

=aexex+1-3a，

只需ex+1-3a≥0，

所以令ex+1-3a=0，1，2，3，…，均可，

例如，令ex+1-3a=1，得

x=ln3a，

此时fln3a>a·3a·1=3>0，

所以f（x）在ln1a，+∞上有唯一零点.

解析2f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

=ex[aex+（a-2）]-x，

注意到ex>x，

只需aex+（a-2）≥1，

所以，令aex+（a-2）=1，2，3，…，均可，

所以满足条件的特值x0可取ln3a-1，ln4a-1，ln5a-1，…，等等.

例如令aex+（a-2）=2，得

x=ln4a-1，

此时fln4a-1=24a-1-ln4a-1，

利用x>lnx，可得

4a-1>ln4a-1，

所以fln4a-1>ln4a-1>0，

所以f（x）在x0∈ln1a，+∞上有且只有一个零点.

小结本例中我们的目标是寻求函数值存在一个正值，在函数具备单调性的条件下，通过加强条件，合理缩小以后，证明了x0的存在性，同时也找到了特值的选取方法.同理，如果需要证明一个函数值存在负值，我们可以适当放大，放大以后存在负值即可.

解题的思维策略是通过合理放缩进行转化与化归，减少参数的干扰或降低超越函数的复杂程度，“拨云见雾”，化生为熟，化繁为简，逐步分析探究零点存在的充分条件.在此一个简单的不等式链lnx≤x-1

练习

1.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a>0）有两个零点，求实数a的取值范围.

2.已知函数f（x）=xe2x-a，x>0，讨论该函数零点的个数.

3.已知函数f（x）=（x-1）ex-ax2+b，若0