无线光副载波调制系统相位噪声估计补偿算法

王晨昊

摘要：無线光副载波调制与数字调制相比，是一种有效抑制大气湍流影响的调制技术。对于相移键控调制格式，接收机电解调器引入的相位噪声会引起符号相干检测错误判决，导致通信系统误码性能劣化。文章在Malaga大气湍流信道下，分别分析了受大气湍流和相位噪声影响的星座图特征。基于卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波对无线光副载波QPSK系统相位噪声进行了估计，并对受相位噪声影响的QPSK星座相位点进行了补偿。仿真结果表明，经过两种算法对相位噪声估计补偿后的系统误码率性能均有所改善，扩展卡尔曼滤波算法相对于卡尔曼滤波对相位噪声状态估计偏差小，补偿后误码率低，算法收敛速度快，可以有效改善系统性能。

关键词：副载波调制;相位噪声;Malaga大气湍流;相位噪声估计;误码率

中图分类号：TN929.1        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）21-0032-04

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

1 引言

无线光通信具有速率高、带宽大、可自由传输等优点，连续波调制与数字调制相比，具有抑制大气湍流光强起伏影响良好的性能[1-2]。对于无线光副载波多进制相移键控（M-ary Phase Shift Keying，MPSK）调制系统，接收端解调模块内本地振荡器所产生的相位噪声会导致载波恢复时所需要的相位不准确，星座图内的相位调制点偏离其所处的判决区域，引起解调时符号误判，系统性能劣化，因此快速准确预测或估计相位噪声显得尤为重要[3]。为了保证相位信息的正确，在解调前需要先对载波中相位噪声的大小进行估计，然后对相位噪声影响下偏移的相位点进行补偿，使其回到原本所处的判决区域内。

2 国内外研究进展

对于星座图内采样点相位均匀分布的相移键控等相位调制格式，维特比（Viterbi）算法可以直接估计相移键控的载波相位[4]，但算法实现硬件复杂度高。Tao Z等人提出了一种基于预判决的载波相位估计算法，硬件复杂度低，易于实现，且性能与维特比算法相当[5]，但对于高阶M-QAM（[M≥16]）调制，该算法不能直接使用。2014年，Bilal S M等人[6]基于前向反馈载波估计算法，对激光器相位噪声引起的64-QAM星座图相位点旋转后的相位信息进行了恢复。曹国亮等人[7]在偏振复用16-QAM光通信系统中，采用扩展卡尔曼滤波对偏振态和载波相位进行了估计，并对激光器相位噪声引起的星座图中采样点混叠进行了补偿。2014年Pakala L等人[8]运用扩展卡尔曼滤波算法分别实现了对相位噪声和幅度噪声的估计与补偿。2016年Jain A等人[9]提出一种基于直接判决的载波相位估计算法，实现了相干光16-QAM通信系统中由光纤克尔效应产生的非线性相位噪声的估计和补偿。2016年，Xie X M[10]提出了一种改进的多基线相位展开算法，该算法将无迹卡尔曼滤波与增强的联合相位梯度估计器相结合，能够同时进行相位展开和相位噪声抑制。2017年，文献[11]采用无迹卡尔曼滤波，在时域中对高阶M-QAM和大线宽相干光OFDM系统的激光器相位噪声进行估计，补偿了相位噪声引起的星座图采样点偏移。2017年，Shu T等人[12]扩展卡尔曼滤波器与Viterbi-Viterbi相位估计器相结合用于自适应非线性相位噪声抑制的性能。2018年，代亮亮等人[13]以并行卡尔曼滤波对偏振复用16-QAM传输系统中包含的相位噪声进行了估计与补偿。对于光通信系统内相位噪声的研究，文献[13]基于高阶正交幅度调制，以服从Wiener分布的激光器相位噪声为主要研究目标，通过卡尔曼滤波等滤波算法估计激光器相位噪声，并对由相位噪声造成的星座图相位点旋转进行补偿。

目前在无线光通信系统中相位噪声的研究大多是针对光通信系统内的光器件相位噪声进行的。本文基于无线光副载波MPSK调制系统，对接收机电域解调模块锁相环路所产生的相位噪声展开研究。在Malaga大气湍流信道下分析了相位噪声对无线光副载波QPSK星座图的影响，最后采用卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波对QPSK系统中的相位噪声进行了估计和补偿技术研究。

3 Malaga大气湍流信道

Malaga大气湍流模型是一种通用的信道模型，可以描述目前常见的大气湍流信道。基于电磁波在湍流大气中传播的物理模型，Malaga分布的湍流信道光强I的概率密度函数可表示为[14-15]：

[fI（I）=Ak=1βakIα+k2-1Kα-k2αβIγβ+Ω']          （1）

其中：

[A=2αα2γ1+α2Γ（α）γβγβ+Ω′β+α2]

[ak=β-1k-11（k-1）！2Ω'γk-1αβk2γβ+Ω'1-k2]

[Ω′=Ω+2ρb0+22b0Ωρcos（φA-φB）]

上式中，[α]为正实参数，与散射过程中大尺度涡旋的有效数目有关;[β]为自然数，表示衰落参数的数量;[Kv·]表示第二类[n]阶修正贝塞尔函数;参数[Ω′]为相干平均光功率;[Ω]表示视距衰落分量的平均功率;[φA]和分[φB]别为视距传播分量[UL]与耦合到视距分量[UCS]的相位。[Γ·]表示Gamma函数。

4 相位噪声估计及补偿

4.1 相位噪声模型

无线光副载波通信系统接收端进行载波恢复时，电解调模块相位噪声主要由锁相环（Phase locked loop，PLL）内的本地振荡器输出的随机相位抖动与接收端接收信号相位间的相位差产生，该相位噪声[φ]服从Tikhonov分布，其概率密度函数为[16]：

[p（φ）=exp（αcos（φ））2πI0（α），  φ≤π]                         （2）

式中，[α]为环路信噪比[17]，且[α=A2/N0BL];[A2]表示接收信号功率;[BL]表示一阶锁相环的环路带宽，反映了环路对噪声的抑制作用;[N0]为加性高斯白噪声的单边功率谱密度。通常，[σφ2=N0BL/A2=1/α]，因此，式（2）可以写为：

[p（φ）=exp（cos（φ）/σ2φ）2πI0（1/σ2φ），  φ≤π]                        （3）

式中，[σ2φ]表示相位噪声方差，[I0（·）]表示零阶的第一类修正贝塞尔函数。

4.2相位噪声的卡尔曼滤波估计与补偿

假设经过光电探测器后，进入解调模块前的副载波MPSK电信号可通过式（4）表示：

[yk=akexp（jφk）+nk]                             （4）

式中[k]表示采样到的第[k]个MPSK符号，[ak]表示第[k]个传输符号调制信号，[φk]表示相位噪声，[nk]表示零均值加性高斯白噪声。[φk]服从Tikhonov分布。

卡尔曼滤波的状态方程和观测方程表示为：

[φk=Φφk-1+Γωk]                               （5）

[rk=Hφk+mk]                                        （6）

其中，[Φ]為状态转移矩阵，[Γ]为噪声驱动矩阵，[H]为观测矩阵，[ωk]和[mk]分别表示卡尔曼滤波中的过程噪声和观测噪声，均为零均值加性高斯白噪声。[Q]和[R]分别为[ωk]和[mk]的协方差矩阵。图1所示为卡尔曼滤波估计算法实现框图。

为求[φk]的估计值，卡尔曼滤波算法分为四个步骤：

1） 初始化

[φ00=0]，[P0=Varφ]                          （7）

其中[P0]为误差协方差阵，[Var[φ]]表示相位噪声[φ]的方差。

2）对第k个采样点的状态估计值和协方差进行预测

[φkk-1=Φφk-1k-1]，

[Pkk-1=ΓPk-1k-1Γ'+Q]                   （8）

其中[Q]为过程噪声的协方差阵。

3）求卡尔曼滤波增益

[Kk=Pkk-1H'HPkk-1H'+R-1]                       （9）

其中[R]为观测噪声的协方差矩阵。

4）对第k个采样点的状态估计值和协方差进行更新

[φkk=φkk-1+Kkrk-Hφkk-1]，

[Pkk=1-HKkPkk-1]                                    （10）

通过卡尔曼滤波求得对应状态的最佳估计值的一个计算周期，然后重复该步骤，就可以在误差最小的情况下递归地获取状态值的估计值。补偿后的MPSK信号表示为[14]：

[yk=yke-jφk]                                 （11）

式中，[φk]表示对应状态值的最佳估计值，[yk]表示进入解调模块前未经过相位噪声补偿算法补偿的副载波MPSK信号。

4.3 相位噪声的扩展卡尔曼滤波估计与补偿

扩展卡尔曼滤波的状态方程和观测方程表示为：

[φk=φk-1+ωk]                               （12）

[rk=akexpjφk+mk]                            （13）

其中，[ωk]和[mk]分别表示过程噪声和观测噪声，均为零均值加性高斯白噪声，协方差阵分别为[Q]、[R]。为求得相位噪声[φk]的估计值，所用扩展卡尔曼滤波算法可分为以下六个步骤：

1）扩展卡尔曼滤波的初始化

[φ00=0]，[r0=a0+v0]，[P0=Varφ]                     （14）

其中[P0]为误差协方差阵，[Var[φ]]表示相位噪声[φ]的方差。

2）对第k个采样点的状态估计值和观测值进行预测

[φkk-1=φk-1k-1]，[rkk-1=akejφkk-1]                      （15）

3）对状态方程和观测分别求解关于[φ]的一阶导数得到[Φk]和[Hk]

[Φk=?f?φ=1]，[Hk=?h?φφ=φkk-1=jakejφkk-1]        （16）

4）求协方差预测[Pkk-1]

[Pkk-1=ΦkPk-1k-1Φ?k+Q]                        （17）

上式中[Q]即为过程噪声的协方差矩阵。

5）求扩展卡尔曼滤波增益

[Kk=Pkk-1H*kHkPkk-1H*k+R-1]                     （18）

上式中[R]即为观测噪声的协方差矩阵。

6）进行状态估计值和协方差更新

[φkk=φkk-1+Kkrk-rkk-1]，

[Pkk=1-KkHkPkk-1]                                 （19）

通过扩展卡尔曼滤波求得对应状态的最佳估计值的一个计算周期，重复该步骤，扩展卡尔曼滤波就可以在误差最小的情况下递归地获取状态值的估计值，补偿后的MPSK信号为：

[yk=yke-jφkk]                              （20）

式中，[φkk]表示对应状态的相估计值，[yk]表示进入解调模块前未经过相位噪声补偿算法补偿的副载波MPSK信号。

5 仿真结果与性能分析

5.1 相位噪声估计偏差

采用卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波算法对无线光副载波QPSK系统相位噪声进行估计。由于算法中的过程噪声为系统输入的零均值高斯白噪声，它的大小与系统平均电信噪比有关，因此，仿真中设无线光副载波QPSK系统平均电信噪比为[SNR=40dB]，此时过程噪声方差为[Q=10-4]，表明系统内的随机扰动小，观测噪声方差[R=1]。设卡尔曼滤波初始状态值[φ1=0]，状态转移矩阵[Φ=1]，噪驱动矩阵[Γ=1]，观测矩阵[H=1]，扩展卡尔曼滤波初始状态值[φ1=0]。

图2为不同相位噪声取值对卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波相位噪声估计效果的影响。由图2可见，当相位噪声标准差增大到[σφ=20?]时，卡尔曼滤波的估计值在前150个采样点前后与[σφ=10?]时有明显差异，如图2中（a）（b）中虚线框所示。对于扩展卡尔曼滤波，当相位噪声标准差增大到[σφ=20?]时，扩展卡尔曼滤波的估计值仅在前30个采样点前后与[σφ=10?]时有明显差异。这说明改变状态值大小对估计值造成的影响会逐渐减弱，由于在不同相位噪声取值下，两种滤波算法都僅有部分采样点的估计值发生变化，因此这里我们对不同相位噪声取值下的状态估计偏差进行了对比。

图3比较了卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波算法估计相位噪声时估计值与状态值间的偏差。由图3（a）可见，[σφ=20?]时的卡尔曼滤波的状态估计偏差曲线在第150个采样点后与[σφ=10?]时的卡尔曼滤波状态估计偏差曲线逐渐逼近在一起。而[σφ=20?]时扩展卡尔曼滤波估计值与状态值间的偏差曲线在第30个采样点后与[σφ=10?]时的扩展卡尔曼滤波状态估计偏差曲线逼近良好。造成这个现象的原因是卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波都是递归滤波器，它们会以k时刻获取的[φkk]和[Pkk-1]作为第k+1时刻中预测和更新过程中的参量，在递归过程中，卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波的估计值也会逐渐收敛，趋于稳定，同时说明扩展卡尔曼滤波的收敛速度远大于卡尔曼滤波。

5.2 不同过程噪声对相位噪声估计补偿算法的影响

系统不同过程噪声下两种滤波算法估计相位噪声的状态估计偏差见图4所示。仿真中IQ调制两路采样点的个数都为[N=512]，观测噪声方差[R=1]。从图4可以看出，随着系统平均电信噪比的增[SNR=40dB]大，过程噪声方差逐渐减小，系统内随机扰动减弱，两种滤波算法的状态估计偏差也随之减小。当时，扩展卡尔曼滤波算法的状态估计偏差集中在[-0.08，0.07]内波动，卡尔曼滤波算法的状态估计偏差主要集中在[-0.07，0.13]范围内。[SNR=30dB]时，扩展卡尔曼滤波算法的状态估计偏差增大至[-0.20，0.19]范围内，而卡尔曼滤波的状态估计偏差则增大至[-0.27，0.31]范围内，说明扩展卡尔曼滤波受过程噪声带来的系统内随机扰动的影响小于卡尔曼滤波。

5.3 相位噪声补偿后无线光副载波QPSK系统星座图

图5为[SNR=40dB]时不同情况下的无线光副载波QPSK调制信号星座图，信道模型是采用Malaga湍流概率密度函数所表示的大气湍流信道，对系统内相位噪声的补偿采用式（11）和式（20）。图5（a）为理想情况下QPSK调制信号星座图;图5（b）为受相位噪声影响下的QPSK调制信号星座图，相位噪声标准差取[σφ=20?];图5（c）为大气湍流信道下QPSK调制信号星座图，光强起伏方差[σ2I=0.1];图5（d）受大气湍流和相位噪声共同影响下的QPSK调制星座图;图5（e）和图5（f）分别为通过卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波通过相位噪声估计并补偿后的QPSK调制信号星座图。由图5可看出，QPSK调制信号星座图相位点在大气湍流影响下发生径向拉伸。在相位噪声影响下，QPSK调制星座点相位明显旋转，使得采样点偏离其原本所在的判决区域，从而影响接收机相干检测。而在大气湍流和相位噪声共同影响下，QPSK四个相位在径向拉伸的同时发生旋转。在采用卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波相位噪声补偿算法后，虽然大气湍流引起的径向拉伸依然存在，但图（e）与（f）中的相位点回归到了它们原本所在的判决区域，同时从图（e）与图（f）中可以看出在[[0?，45?]]和[[90?，135?]]范围内扩展卡尔曼滤波相位噪声补偿后的相位点比卡尔曼滤波补偿后的相位点更靠近星座图中对角线的位置。

5.4 相位噪声补偿后无线光副载波QPSK系统误码性能

不考虑湍流对无线光副载波QPSK系统误码性能的影响，卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波后的QPSK系统误码率如图6所示。仿真中为了反映误码性能，无线光副载波QPSK系统总码元个数为[N=12288]，IQ调制两路采样点的个数都为[N=6144]，观测噪声方差[R=0.2]，系统平均电信噪比[SNR=40dB]，过程噪声方差[Q=10-4]，卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波状态初始值都为[φ0=0]。由图6可见，相位噪声标准差[σφ=15?]，随着系统信噪比的增大，未使用补偿算法的系统误码率下降趋势逐渐趋向于10-4，而使用卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波估计补偿算法后，无线光QPSK系统误码率性能随着系统信噪比的增大逐渐提升，且使用扩展卡尔曼滤波相位噪声估计补偿算法的系统误码率性能明显优于使用卡尔曼滤波相位噪声估计补偿算法。

6 总结

本文针对无线光副载波调制通信系统解调模块内的相位噪声，研究了采用卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波算法对相位噪声进行估计，并对受相位噪声影响的QPSK调制星座图相位点进行了补偿。通过仿真对比了卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波两种算法估计性能，包括相位噪声估计偏差、QPSK星座图相位补偿效果以及系统补偿后误码率性能分别进行了比较分析，研究结果表明改变状态值的大小对估计值造成的影响会随着滤波过程的进行而逐渐减弱，且扩展卡尔曼滤波的收敛速度远大于卡尔曼滤波;在采用卡尔曼算法和扩展卡尔曼算法进行相位噪声补偿后，虽然大气湍流引起的径向拉伸依然存在，但QPSK星座图的相位点均回归到了它们原本所在的判决区域，扩展卡尔曼滤波补偿后的QPSK系统误码率小于卡尔曼滤波补偿后的系统误码率，相位噪声越大，效果越明显。

参考文献：

[1] 陳牧，柯熙政.大气湍流对激光通信系统性能的影响研究[J].红外与激光工程，2016，45（8）：115-121.

[2] Hranilovic S.Wireless Optical Communication Systems[M]. Spain：Springer，2005.

[3] Some Y K.Bit-error probability of QPSK with noisy phase reference[J].IEE Proceedings - Communications，1995，142（5）：292.

[4] Savory S J.Digital coherent optical receivers：algorithms and subsystems[J].IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics，2010，16（5）：1164-1179.

[5] Tao Z N，Dou L，Yan W Z，et al.Multiplier-free intrachannel nonlinearity compensating algorithm operating at symbol rate[J].Journal of Lightwave Technology，2011，29（17）：2570-2576.

[6] Bilal S M，Bosco G，Lau A P T，et al.Linewidth-tolerant feed-forward dual-stage CPE algorithm based on 64-QAM constellation partitioning[C]//2014 The European Conference on Optical Communication （ECOC）. Cannes，France.IEEE，2014：1-3.

[7] 曹国亮，杨彦甫，王非，等.基于扩展卡尔曼的PDM-16QAM偏振态和载波相位快速跟踪[J].光学学报，2014，34（12）：53-58.

[8] Pakala L，Schmauss B.Improved decision directed carrier phase estimation for nonlinearity mitigation in 16-QAM systems[C]//2014 16th International Conference on Transparent Optical Networks （ICTON），Graz，Austria.IEEE，2014：1-4.

[9] Jain A，Krishnamurthy P K.Phase noise tracking and compensation in coherent optical systems using Kalman filter[J].IEEE Communications Letters，2016，20（6）：1072-1075.

[10] Xie X M.Enhanced multi-baseline unscented Kalman filtering phase unwrapping algorithm[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2016，27（2）：343-351.

[11] 董月军，唐英杰，任宏亮，等.基于无迹卡尔曼滤波的CO-OFDM系统相位噪声补偿算法[J].中国激光，2017，44（11）：229-240.

[12] Shu T，Li Y，Yu M，et al.Performance investigation of Extended Kalman Filter combined with carrier phase recovery for adaptive nonlinear phase noise mitigation[C]//2017 Conference on Lasers and Electro-Optics Pacific Rim （CLEO-PR）. Singapore.IEEE，2017：1-4.

[13] 代亮亮，闫连山，易安林，等.基于线型卡尔曼滤波器的双偏振并行载波相位恢复算法[J].光学学报，2018，38（9）：93-100.

[14] Garrido-Balsells JM， Paris JF， Puerta-Notario A. A unifying statistical model for atmospheric optical scintillation[J]. Physics， 9 Feb， 2014：1-4.

[15] Jurado-Navas A，Garrido-Balsells J M，Paris J F，et al.Further insights on Málaga distribution for atmospheric optical communications[C]//2012 International Workshop on Optical Wireless Communications （IWOW）.October 22-22，2012，Pisa，Italy.IEEE，2012：1-3.

[16] Chandra A，Patra A，Bose C.Performance analysis of BPSK over different fading channels with imperfect carrier phase recovery[C]//2010 IEEE Symposium on Industrial Electronics and Applications，Penang，Malaysia.IEEE，2010：106-111.

[17] Wang Q，Kam P Y.Simple，unified，and accurate prediction of error probability for higher order MPSK/MDPSK with phase noise in optical communications[J].Journal of Lightwave Technology，2014，32（21）：3531-3540.

【通聯编辑：代影】