数形结合在初中数学解题中的运用探究

刘思宇

【摘  要】数学是一门关于空间形态与数量关系的学科，是描述自然和社会规律的一种科学，数学知识是一種非常有用的工具，但数学知识并不局限于学生学习数学知识，而是要提升学生的数学能力，这两者联系在一起，就是数形结合的思维方式。

【关键词】数形结合;初中数学

数学是一种非常合理的科学，它涉及大量的空间形态，它的终极目标是让学生在现实中运用数学，解决现实中的问题，而数学思维则是控制数学的关键，它是学生在现实中解决问题的关键。数形结合思想能够将繁杂的问题简单化。

一、数形结合的教学方式在初中数学教学中的意义

数与形是数学的基础，是对客观事物的抽象和反射，是数学的基础，目前初中数学课程的“数与代数”“数与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大部分，都离不开“数”和“形”。

初中教学过程中渗透数形结合的思想是实现数学教学面向全体学生的重要内容，数形结合是一种行之有效的数学教育方式，在数学发展史上有着卓越的成绩和巨大的贡献。中国著名数学家祖冲之，将割圆与运算相结合，将圆周率推算至小数点后7位数，这是在没有现代计算机技术之前，数学史上的一项了不起的成就。阿基米德用浴缸中的王冠，终于研究出了一种新的平衡，这是一种形式上的数字和形的结合，它不仅解决了许多著名的数学问题，还极大地推动了数学的发展。

初中教学过程中渗透数形结合的思想是素质教育的重要内容，数形与思维相融是数理思维方式中的一种，在不同的阶段都有反映，显示出了其重要性，初中是从小学到中学的过渡时期，中学的数学水平将会对学生中学乃至未来的学习产生很大的影响。所以，数形结合的思维方式是一种很好的教学手段。

初中教学过程中渗透数形结合的思想是提倡高效课堂的需要。教师在平时的教学过程中，必须对课堂的质量给予足够的关注，而要提高教学质量，必须要有一支优秀的教师队伍。在教学过程中，教师要紧紧跟随教材的培养目标，使其能够顺利地完成教学任务，并在此基础上，充分发挥其潜能，激发学生数理思维。

初中教学过程中渗透数形结合的思想可以培养学生的数学思维。对学生来说，数学教育的首要目的是培养他们的学习习惯，培养他们的学习兴趣，培养他们的数学思维，提高他们的数学能力。而数与形的结合，在激发学生的数理思维、培养学生的数学兴趣等方面起到了很大的作用。在教学过程中，把数形结合的思维与教学内容有机地结合起来，不仅可以减少教学的负担，而且使知识以更加直观的形式呈现，有利于学生的理解与学习。

要增强分析问题的能力和解决问题的灵活程度，也必须让学生充分认识数形结合的思想。对于一个学生来说，如何将自己所学到的数学知识运用到实际应用中，是一件很困难的事情，谁都知道，学生的思维还很简单，行动能力较差，思维也比较懒散，所以，要养成良好的学习习惯和逻辑思考能力，就更难了。运用数形结合的思维，可以使问题变得简洁、明了，使学生更好地掌握题的含义和考试内容，提高解题技巧，使学生更好地解决问题。综上所述，数形结合是数学发展中的一项重要理念，它在现代数学教育中具有举足轻重的地位。将数形结合的思想引入到学习中，可以有效地提高学生的学习效率，提高他们的解题能力，同时也可以促进他们的数理思考，从而促进他们的数学思维系统的形成。

二、数形结合的思想方法在解决问题中的运用

（一）数形结合思想方法在实数中的运用

数与形的结合，始终坚持从“数”与“形”两个层面来剖析问题的本质，例如，函数对应的图像、实数与数轴，要从现有图像的特性中分析对应的代数特性，就必须采用“数形结合”的形象思维;而把代数问题转换为对应的几何问题，就必须把形象思维与创造性思维有机地结合起来，从而达到“数形结合”的目的。

（二）数形结合的思想在整式中的运用

数形结合有助于学生理解知识的本质，学生在学习知识时，常常无法理解知识的本质，但是，通过数字和图形的结合，可以让学生认识到知识的本质。例如，学生在学习方程式的性质时，若将“等式”与“不等式”的性质告知给学生，则会使他们机械地记忆，而无法明白其中的缘由。在这种情况下，教师可以用“平衡”的实例引导学生将其理解为等式，并以此来描述其特性，从而帮助学生内化知识。

（三）数形结合的思想方法在平面直角坐标系中的运用

在中学数学中，由于采用了平面直角坐标系，建立了数与形的连接，从而使我们能够利用几何学的方法来研究代数问题，同时也能用代数的方法来研究。

（四）数形结合的思想在方程（组）中的运用

将数字与思维相结合，最重要的是建立相应的一次函数，然后通过一次函数的图像来解释。图像的解法通常不能很方便地解决问题，并且由于图像的错误，通常会使解的结果不精确。在日常生活中，类似这样的直接解题方式也很常见，是一种很重要的技能，所以我们要注意学习和运用数形结合思维来解决问题。

（五）数形结合的思想方法在不等式中的运用

数形组合是一种思维的方法，虽然有时效果不佳，但是却可以作为一种方法，找到一个问题的答案。对于一元二次方程的求解，这个问题在解决了代数问题后，又进行了一次新的研究。转换思维，找到了解决问题的新思路，把二次方程和二次函数联系在一起，把二次方程的根看成是二次函数和轴线的交叉点。

（六）数形结合的思想方法在函数中的运用

“数”与“形”相结合的思维方式，能极大地丰富学生的“数学表象”。数字与图形相结合的思维方式，通过对表象的积累，推动形象思维的发展。所有的定理都以图形的形式为依据，而在求解问题时，往往会先从定义开始;在实际操作中，许多问题都是通过图表的方式转化成了推理的线索和载体。在教学中，教师要从概念的建立、定理的证明、解的过程中，认真地发掘形象思维的知识，并以数字的形式结合，增强学生的表象能力。

（七）数形结合的思想方法在勾股定理中的运用

首先，教师将著名的毕达哥拉斯公式圖展示在大荧幕上，让学生看图中三个方块组合在一起的面积和三个方块之间的相互关系。不管图片是正方形，还是由三个正方形组成三角形，都需要学生自己观察发现，大部分学生的思想则是停留在“图”的阶段，教师需要简单地描述一下毕达哥斯拉在他朋友家里的地板上看到的三个直角三角形而后发现它们之间的关系。在这个故事的启发下，学生在心中建立起了“图”和“数”的联系，并产生了“数”的概念。之后，让学生再看一遍，并运用数量关系来证明三个方块之间的面积关系。于是，学生就用“数数法”“割补法”，对三个正方形的面积关系进行研究，得到了“两个小正方形的面积之和与大正方形的面积相等”的结论。在此基础上，老师在教学设计中，引导学生认识“形”中的“数”，并根据“数”的关系来判定“形”的种类，并借助课堂导入环节的平台，使数形融合的思维得以渗透和运用。

（八）数形结合的思想在解直角三角形中的运用

在三角函数的学习中要充分应用数、形的概念，将三角函数的图形和属性相结合，即通过对图形的直观分析，得到一个函数的函数属性，或者用一个三角形的函数，得到一个函数的属性。

（九）数形结合的思想方法在统计中的运用

数形组合是数学教学中应用最为广泛的一种教学手段，它是一种将抽象知识和复杂知识通俗化、简单化、生动化的有效途径。全概率公式是概率论和数理统计领域的一个重要内容，但对于学生来说，这是一个非常困难的问题。学生学习全概率公式的难点是：不了解其推导过程，不了解其适用的环境和情况。藉由数形结合的直觉思维，使学生能够更容易地了解公式的推导过程，进而掌握其运用。

三、在教学中渗透数形结合思想方法的教学策略

（一）学生初步感受数形结合的数学思想方法

在数形结合的思维方式中，“数”是一种由人的左脑思考而产生的抽象思维;“形”是形象思维的一种，它起源于人类的右脑思考，它是以几何、图形、数字相结合的思维方式，能够充分地利用彼此间的关系;右脑的思维能力是通过两种不同的方式进行交互作用，从而促进人类的数学思维能力的全面、协调和深入发展。

（二）通过对比、运用、合作交流，进一步深化理解数形结合的数学思想方法

利用数字与图形的结合，可以揭示出数学的本质，帮助学生认识和接受数学的概念，例如，在古代，人们已经学会了用圆心来衡量一个物体的重量，用一个圆心来代表一个物体的重量，用一个圆心代表一个物体的温度，用一个圆圈代表一个水平线。“度量起点”“度量单位”“确定的增减方向”三种不同的元素，它们的概念可以用一条直线上的点来表达，并在一条线上指定一个原点（测量起点）、长度（测量单位）和方向（确定增加或减少），最终得出一个数字的坐标。

（三）通过学生独立思考和合作交流进一步理解和掌握数形结合思想

数与形的结合，可以加深和发展学生原有的认识层次，让他们对数学的知识有更深入、更透彻的了解;在表达方法上，学生会将所有的概念都储存在自己的脑海中，在学习过程中，他们会根据自己所学到的知识来储存知识。问题的症结在于对概念的认识太浅薄和表达方法的单一，所以，在实际教学中，教师要把握好时机，利用数形结合的思维，做到引导学生对概念进行深入全面的挖掘、体验、反思和评价，从而提高学生对概念理解的深度。

（四）主动运用数形结合的数学思想方法来解决实际问题

采用数形组合的数学思维方式，逐步进行定量验证;通过合作探究、推理归纳等方法，发现问题，并利用课件说明原因，使学生能够应用数学思维解决问题。

随着素质教育的深入，初中数学教学改革的深入，教育不仅仅是传授知识，更是指导学生的思考方式，在中学数学中不但要把数形结合的思想融入到课堂中，还要运用数形结合的多种教学方式，充分发挥数形结合的魅力，进一步强化抽象思维和形象思维。让学生放弃死记硬背的学习方式，让枯燥的学习变得生动，改变学生的学习态度，使学生从被动学习向积极学习转变。由此提升学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。

【参考文献】

[1]田琦宇，高阳.数形结合思想在初中数学解题中的应用研究[J].理科考试研究，2022，29（2）：21-23.

[2]管卫伟.数形结合思想在初中数学解题中的若干应用[J].新课程，2022（2）：108.

[3]徐建国.数形结合法在初中数学解题中的应用[J].文理导航（中旬），2021（12）：8-9.

[4]唐丽.数形结合思想在初中数学解题中的应用探究[J].中学数学，2022（6）：31-32.

[5]孔钱发.浅谈数形结合在初中数学解题中的应用[J].现代中学生（初中版），2021（20）：33-34.

[6]胡新宇.数形结合在初中数学解题中的运用[J].中学数学，2021（2）：44-45.