由一道模拟题引发的探索与反思

陆琴花

[摘 要]解题教学是初中数学课堂教学的重点，教师若能结合班情、学情，筛选出具有典型意义的试题进行解题教学，将有利于培养学生的类比思维，并提高学生的解题能力。

[关键词]模拟题;反思;图形翻折

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）14-0007-03

基于数学学科核心素养的培养要求，近年的中考数学出现了不少创新试题。笔者结合教学实践，以具有较高研究价值的几何图形试题为载体，引导学生探索，从而使其发现题目的内在联系，掌握解题思路，提升解题能力。

一、题目呈现

如图1所示，在△[ABC]中，已知[∠ABC=90]°，且[AB=6]，[BC=8]，点[M]，[N]分别在边[AB]，[BC]上，沿着直线[MN]把△[ABC]折叠，点[B]落在点[P]处，如果[AP]∥[BC]，且[AP=4]，那么[BN=]                  。

先来看看常见的解题步骤。如图2，连接[BP]交[MN]于[H]，可知[BP]被[MN]垂直平分，得[BP=213]，[BH=PH=13]。又[∠BNH=∠ABP]， [sin∠BNH=sin∠ABP=APBP=4213=21313]，在[Rt△BHN]中[BN=BHsin∠BNH=132]。

二、解法探索

这道题对大多数学生来说有一定的难度，这种难度不敢说可以难倒一大片，但会让相当一部分学生丢分。这道题旨在考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力，且在解题过程中对数学思维有一定的要求。下面我们分析解题思路的形成过程。如果把△[ABC]沿直线[MN]折叠，点[B]落在点[P]处，那么很显然[MN]垂直平分[BP]，欲在[Rt]△[BHN]中求[BN]的长，只需知道[sin∠BNH]即可。又因为[∠BNH=∠ABP]，所以[sin∠BNH=sin∠ABP]，得[BN=132]。当然也可以用△[BNH]∽△[PBA]对应边成比例[BNPB=BHAP]得到[BN]的长。

解法1：如图3，由[AP]平行且等于[12][BC]，再利用三角形中位线的性质及直角三角形斜边中线的性质，延长[CP]，[BA]交于点[K]，连接[BP]交[MN]于[H]，易得[CK=413]。又因为[∠PBN=∠BCP]，所以[cos∠PBN=cos∠BCP]，得[BN=132]。

解法2：如圖4，把△[ABC]沿直线[MN]折叠，得出[BN=PN]和[∠PBN=∠BPN]，由[AP]∥[BC]得[∠PBN=∠APB]，所以[∠BPN=∠APB]，再利用角平分线性质定理，过[B]点作[BE⊥PN]，垂足为[E]，易得[EP=AP=4]，[BE=AB=6]。根据勾股定理及方程思想设[BN=x]，就能列出方程[62+x-42=x2]，解得[x=132]，即[BN=132]。

解法3：如图5，把[△ABC]沿直线[MN]折叠得出[BN=PN]，将求[BN]的长转化为求[PN]的长，这样就可以利用直角三角形的勾股定理求解。过[N]作[NF⊥AP]，垂足为[F]，易得[AF=BN]，[NF=AB=6]，设[BN=x]，则[PN=x]，[PF=x-4]，由此可列出方程[62+x-42=x2]，解得[x=132]，即[BN=132]。

解法4：把△[ABC]沿直线[MN]折叠，得出[∠MPN=∠B=90°]，构造三角形，同解法3添加辅助线，过点[N]作[NF⊥AP]，垂足为[F]，得出[△MAP∽△PFN]，于是[PNPM=NFAP]，易得[PM=133]，[NF=6]，得[BN=132]。

在图形运动类问题中，图形翻折及其性质属于高频考点。从上述4种解法可以看出，根据已知条件，通过联想和类比能找到不同的解题思路。不管解题思路如何多元化，但是万变不离其宗，都离不开图形翻折的性质，即所得对应线段和对应角，其对应点连线被对称轴平分。由此看来，这一类题的实质是几何计算中求线段长度问题。

三、例题设计

以翻折为背景的中考题并不少见，“图形变换置于三角形或四边形”为常见命题形式，目的是考查翻折性质、全等三角形性质、勾股定理、相似三角形性质等，主要考查学生的观察能力和分析能力。教师在教学中应突出活动探究环节，既要让学生搞清楚图形翻折的本质，又要让学生理解数形之间的转化，这才是增强学生解题能力的关键点。

（一）例题设计，看清图形翻折本质

图形翻折的本质有三点：①相互重合的点以折痕为对称轴，连接两重合点的线段被折痕垂直平分;②相互重合的线段是以折痕为对称轴的对称线段;③相互重合的部分是全等的，也是以折痕为对称轴的。针对这三点，九年级数学复习可以进行有针对性的拓展训练。

[例1]菱形[ABCD]的边长是1，且[∠B=45°]，[AE]为[BC]边上的高，现在把[△ABE]沿[AE]翻折，请根据以上所给条件画图。

这种逆向思维的出题方式，别具一格。这虽说是传统意义上的一题多解，但它又不同于以往。教师应围绕图形翻折的本质进行教学，以此为核心和目标，使学生充分体会数学解题万变不离其宗。通过这种训练，不仅能开阔学生的视野，提高学生的创新能力，还能激发学生的学习兴趣，改变学生的学习方式。

（二）数形结合，理解数形之间的转化

在复习教学中，要抓住翻折题型的数形转化，并且要指导学生以此为学习突破口，这其中的重点在于“数”和“形”。比如说轴对称、全等、相似形等都是“翻折”中“形”的变化;而线段之间、角与角之间的数量关系则是“翻折”中“数”的变化，这其中的种种联系，就是“翻折”中的“数形转化”。针对这一点，笔者结合班情、学情设计例题。

[例2]矩形[ABCD]的边[AB=1]，[AD=2]，把矩形[ABCD]折叠，让折痕过点[B]，且与边[AD]交于点[M]，点[A]翻折到点[E]，直线[ME]与边[BC]交于点[P]。（1）当点[M]和点[D]重合，请求出[PC]的长;（2）在求[PC]长度时，发现[MP=BP]，随着折痕移动，这两线段之间的关系有什么变化？（3）假设[AM=x]，[PC=y]，请写出[x]与[y]的函数关系式，并给出定义域。

数形转化是翻折题型的“不变核心”，通过前面例子的一题多解，我们不难找到“数”与“形”之间的变化和联系。值得注意的是，探索一题多解是一个具有趣味性的过程，教法不应死板，教师应该结合基本学情而设定，要以“趣”为引，“激情” 导入，使学生在愉快的氛围中养成“勤思考，多动脑”和“勤锻炼，多动手”的良好学习习惯。

学生通过翻折题型的归纳总结，进一步了解了折痕对称轴，明确了线段相等重合，知道了什么是角相等重合、什么是三角形全等重合。通过线段的数量关系，利用勾股定理和锐角三角形比例方程及相似比等，完成数形转化，进行问题求解。

四、教学反思

不可否认，“一题多解”是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何教学的过程当中。在一般情况下，通过一题多解，学生获得的不仅仅是“多元化”数学思维，更多的是学习兴趣及个人“满足感”的获得。从现实角度来看，当“知识”和“兴趣”只能选择某一方时，我们以情感需求为出发点，通常会不自觉地倾向于“兴趣”。由此得出教学反思：相较于知识与能力的获得，学生更倾向于情感态度与价值观的获取。

[例3]把[A4]纸张[ABCD]，按照图6所示，依照顺序折叠，使点[A]、点[C]恰好落在对角线[BD]上，得到菱形[BEDF]，若[BC=6]，那么[AB]的长是多少？

在此例教学中，教师若想尝试用“一题多解”的教法，就得多层面、多角度、多维度地提出设想。但是，“一题多解”应建立在“因材施教”的基础之上，这是要符合学生的基本学情的。一题多解的方法虽好，但并不代表一道题必须变着花样地给出多种解答方法才算好。如果片面地追求“唯多是好”，则很容易弄巧成拙，违背教学规律和基本学情，使学生丧失学习的兴趣。

解题时，可设[DC=x]，通过题意得知[BD=2DC=2x]，在直角三角形[BDC]中，[2x2-x2=62]，解得[x=23]。

由此得出结论，“一题多解”的核心不应该脱离本质，就像例3，不能脱离“图形的折叠及性质”这个本质，教师必须让学生知道它的考点在哪里、难点在哪里，然后根据考点和难点，系统复习勾股定理和二次根式的化简等知识，继而把代数与几何融合学精学透。若有条件，且基本学情允许，教师可以引导学生尝试一题多解。

总之，要使学生通过“多解”的过程，获得思维创造上的快乐、个人满足感以及强烈的数学自信心，以此调动学生学习数学的积极性，使学生在愉悦的学习环境中有效学习。

把一道题研究“精”、研究“透”，这可不是一件容易的事，而教学生把一道题研究“精”、研究“透”，更不是一件容易的事。教师在教学中应注重“授人以渔”而不是只在表面下功夫，对于一个数学问题，要教会学生根据“已知条件”不断“探索研究未知”，即通过发散思维善于联系、善于多角度地深入思考，以此获得多种不同的解决途径，同时也要提倡自主学习，要让学生进行“我的发言”。要在唤醒学生学习兴趣的同时，有效揭示知识“迁移”和“产生”的过程，继而引人入胜，使学生大胆尝试，这样才能使学生暴露自己的思维过程，让教师明白学生的见解，进而使教师更加了解学情，进一步给出具有针对性、有效性的建议和指导。

[   参   考   文   獻   ]

[1]  吴宏波. 聚焦新旧知识 有效备战中考：以初三阶段的数学复习教学为例[J]. 学大世界（下旬），2021（6）：92-93.

[2]  康雯，马佳.聚焦模型思想 发展核心素养：对中考压轴题“胡不归”模型的思考[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（12）：41-43.

[3]  吴晓红. 核心素养视域下高中数学新教材习题与课程标准的一致性研究[D].桂林：广西师范大学，2021.

[4]  罗雪芳.精讲精练，运用一题多解的数学思想：初三数学总复习教学方法[J].教育观察（下半月），2016（1）：104-105.

（责任编辑 黄桂坚）