立体几何中常见解题误区透视

李昭平

立体几何是高考考查的重要内容之一，它涉及面广、对空间想象力要求高、综合性较强，能有效考查考生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养. 正因为如此，解題中往往会出现这样或那样的错误，有的错误还不易察觉. 现透视常见的十种解题误区，请注意防范.

误区1：忽视两点间的位置关系

例1. 已知异面直线l1，l2都垂直于线段AB，A、B分别为垂足，点C在l1上，点D在l2上，若AB=4，AC=8，BD=6，l1，l2所成的角为60°，求C、D两点间的距离.

错解：如图1，过点B作l∥l1，过点C作CE⊥l于E，连接DE.

在？驻BDE中，BE=AC=8，BD=6，∠EBD=60°，

可以求出  DE=2.

在直角三角形CDE中，CE=AB=4，DE=2，所以CD==2.

即C、D两点间的距离是2.

评析：本题没有明确C，D两点的位置，应分C，D在AB同侧和AB两侧考虑. 求点点距离的常见方法是将相关的线进行适当的平移转化到同一个三角形中处理，此三角形应含有边CD，到底如何平移空间的线是关键.

正解：当C，D在AB同侧时，如图2，CD==      2. 当C，D在AB两侧时，在？驻BDE中，BE=AC=8，BD=6，∠EBD=120°，

可以求出DE =2.

在直角三角形CDE中，CE=AB=4，DE=2，

所以CD==2. 故C、D两点间的距离是2或2.

误区2：忽视线线角的意义

例2. 在空间四边形ABCD中，AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长度等于            .

错解：如图3，取BC中点E，连接ME、NE. 由已知，得ME∥AC，NE∥BD .

因为AC与BD所成的角为60°，所以∠MEN=60°.

因为AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？驻MEN为等边三角形，故MN=a . 故线段MN的长度等于a .

评析：错在将三角形的内角视为空间两条直线所成的角.其实，线线角的范围是[0°，90°]，图中∠MEN不一定是直线AC与BD所成的角，也可以是它的补角，这是一个易错点.

正解：因为AC与BD所成的角为60°，所以∠MEN=60°或∠MEN=120°.

（1）若∠MEN=60°， 因AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？驻MEN为等边三角形，故MN=a .

（2）若∠MEN=120°，因AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？驻MEN是顶角为120°的等腰三角形，易得：

MN==a .

综上可知，线段MN的长度等于a 或a.

误区3：忽视直观图的特征

例3. 如图4是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm）求得该几何体的表面积是（ ）

A.（94-？仔）cm2

B.（94-？仔）cm2

C.（94+？仔）cm2

D.（94-？仔）cm2

错解：该几何体是一个长方体挖去以一个顶点为球心的八分之一的球体，因此其表面积是2（12+15+20）+×4？仔×32=94+. 故选C.

评析：错在求表面积时漏掉减去3个四分之一圆的面积，忽视直观图的特征致误. 注意球与特殊多面体的简单组合体，要弄清直观图的特征，防止求错体积或表面积，防止漏加或漏减.

正解：由三视图可以看出，该几何体是一个长方体挖去以一个顶点为球心的八分之一的球体，因此其表面积是2（12+15+20）+×4？仔×32-3×？仔×32=94-？仔. 故选A.

误区4：忽视线面角的意义

例4. 如图5，在正三棱柱中ABC-A1B1C1，AB=AA1，点D是A1B1的中点，则直线AD和平面ABC1所成角的余弦值是       .

错解：如图5所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系.

不妨设AA1=，则AB=2，相关各点的坐标.

分别是A（0，-1，0），B（，0，0），C1（0，1，），D（，-，）.

易知 =（，1，0）， =（0，2，）， =（，，）.

设平面ABC1的一个法向量为=（x，y，z），则有

· =x+y=0，· =2y+z=0.

解得x=-y，z=-y. 故可取=（1，-，）.

设直线AD与平面ABC1所成的角为？兹，则cos？兹===.

评析：错在cos？兹=，忽视了线面角的意义. 其实，线面角是斜线与其在平面内的射影所成的角（范围是[0°，90°]），而不是斜线与平面的法向量所成的角. 一般地，设是平面？琢的一条法向量，是线l上的一条向量，则直线l与平面？琢所成的角？兹满足：sin？兹=. 要特别注意不是cos？兹=这是一个易错点.

正解：前面同上.

设直线AD与平面ABC1所成的角为？兹，则sin？兹===.

因此，cos？兹==，故直线AD和平面ABC1所成角的余弦值是.

误区5：忽视点与二面角的位置关系

例5. 空间一点P到二面角？琢-l-？茁的两个面的距离分别是1和，到棱的距离是2，则此二面角的大小是              .

错解：如图6，设PA⊥？琢于A，PB⊥？茁于B，则PA=1，PB=，PA⊥l，PB⊥l ，所以l⊥平面PAB. 设平面PAB与l交于点C，则∠ACB为二面角？琢-l-？茁的平面角，且PC⊥l，PC=2. 因此，在Rt？驻PBC中，∠PCB=45°.

在Rt？驻PAC中，∠PCA=30°. 于是∠ACB=45°+30°=75°.

故二面角？琢-l-？茁的大小是75°.

评析：本题中没有考虑点P在二面角内部或外部两种情况，误当作在二面角？琢-l-？茁内部处理.

正解：当P在∠ACB内部时，如图7，∠ACB=45°+30°=75°. 当P在∠ACB外部时，∠ACB=45°-30°=15°.

故二面角？琢-l-？茁的大小为75°或15°.

误区6：忽视二面角的大小

例6. 如图8，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. 则二面角A1-BD-C1的余弦值是         .

错解：如图8，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2），∴  =（1，0，2）， =（1，1，0）.

设=（x，y，z）为平面A1BD的一个法向量.

由⊥ ，⊥ ，得x+2z=0，x+y=0.取z=1，则=（-2，2，1）.

又=（0，2，2），=（1，1，0），设=（x1，y1，z1）为平面C1BD的一个法向量，由由⊥，⊥，得2y1+2z1=0，x1+y1=0.取z1=1，则=（1，-1，1）.

于是cos<，>==-，故二面角A1-BD-C1的余弦值为-.

评析：错在取余弦值为-，忽视二面角A1-BD-C1为锐角. 一般地，设，分别是平面？琢，？茁的法向量，则平面？琢与平面？茁所成的二面角？兹满足：cos？兹=（当二面角为锐角、直角时）或cos？兹=（当二面角为钝角时），其中锐角、钝角应根据图形确定.

正解：前面同上. cos<，>==-.

由图形可知，二面角A1-BD-C1为锐角，故二面角A1-BD-C1的余弦值为.

误区7. 忽视与平面几何知识的区别

例7. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，？驻ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（ ）

A. 12 B. 18 C. 18 D. 54

错解：当三棱锥D-ABC为正四面体时，体积最大.

由S？驻ABC =9得AB=6. 设？驻ABC外接圆的半径是r，则=2r，

即=2r，r=2. 于是三棱锥D-ABC的高是=2.

因此，三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×2=18. 故选B.

评析：由平面几何知识知道，在半径给定的圆内接三角形中，正三角形的面积最大. 错在类比此结论到空间得到：三棱锥D-ABC为正四面体时体积最大. 其实本题中四面体D-ABC的底面等边？驻ABC是固定面积的，是静态的，其体积最大值由三棱锥的高长来决定，当DG⊥底面ABC时，高DG最大.

正解：如图9，？驻ABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为？驻ABC的中心. 由S？驻ABC =9 得AB=6. 取BC的中点H，

∴ AH=AB·sin60°=3 ，

∴ AG=AH=2.

∴球心O到面ABC的距离为：

d==2.

∴三棱锥D-ABC体积的最大值为VD-ABC =×9×（2+4）=18. 故选C.

误区8：忽视图形位置的多种可能

例8. 如图10，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=VC=2. 若线段AB上有一点E， 使得直线VD与平面VCE所成的角的正弦为，试确定点E的位置.

错解：因为AC=BC=2，D是AB的中点，

AC⊥BC，所以CD⊥AB，且CD=AB==2.

在直角三角形VCD中，VD==2.

过点D在平面ABC内作DF⊥CE于F， 连接VF .

因为VC⊥平面ABC，所以平面VCE⊥平面ABC.

于是，DF⊥平面VCE，∠DVF就是直线VD与平面VCE所成的角，

即sin∠DVF=，=，=，DF=.

在直角三角形CDE中，×DF×CE=×CD×DE，

即DF×=CD×DE，×=2×DE，解得DE=1.

故点E是线段BD的中点.

评析：错在认为点E在BD上，其实等腰直角三角形ACD关于CD对称，点E也可以在线段AD上，因忽视点的多种可能位置致误. 在立体几何中，点、线、面的位置常常有多种可能，必须考虑周全，否则极易漏解.

正解：前面同上. 由于等腰直角三角形ACD關于CD对称，所以线段AD的中点也满足条件. 故点E是线段BD的中点或线段AD的中点.

误区9：忽视截面的位置和形状

例9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2，P为棱BC的中点，点Q在棱CC1上，且CQ=CC1. 过点A，P，Q的平面截该正方体得到的多边形？琢，？琢交棱C1D1于点M，则D1M=（ ）

A.     B.     C. 1    D.

错解：如图11，因为Q是CC1的四等分点，所以取A1D1的四等分点N，A1N=A1D1，则D1N=.

作NM∥A1C1，交C1D1于M，连接MQ，则五边形APQMN就是截面？琢. 于是D1M=. 故选D.

评析：作截面应根据平行关系、共线关系作出交线. 本题通过取A1D1的四等分点N，再作平行线的方法作交线是错误的.

正解：如图12，过点B作BT∥PQ，交B1C1于点T. 再作TN∥A1B1，交A1D1于点N，连接AN，则AN是平面？琢与面AD1的交线.

延长PQ，交B1C1的延长线于点E，点N和点E是平面？琢与面A1C1的公共点.

连接EN，交C1D1于M. 再连接MQ，则NM是平面？琢与面A1C1的交线，QM是平面？琢与面DC1的交线. 则五边形APQMN就是截面？琢.

易得C1T=，C1E=. 于是=，

即=，C1M=，D1M=2-=，故选B.

误区10：忽视图形形状的多种可能

例10. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值构成的集合是             .

错解：根据长为1和2的棱的条数可以划分为符合题意的以下两种情况（如图13，14）：

（1）长为2的棱5条，如图13所示，其体积等于.

（2）长为2的棱4条，如图14所示，其体积等于.

综上可知，体积的可能值构成的集合是{，}.

评析：根据长为1和2的棱的条数和“不是正四面体”的条件，应分为三类，漏掉一种情况.

正解：（1）（2）如上解.

（3）长为2的棱3条，如图15所示，其体积等于.

综上可知，体积的可能值构成的集合是{，，}.

责任编辑 徐国坚