正本清源是教学“比”的关键

陈剑春

[摘 要]“比”作为小学阶段的一个重要数学概念，内涵深刻。通过对比教材中“比”概念的各种解释，深入探究“比”的本源，挖掘“比”与除法的联系和区别，展示“比”的本来面目。

[关键词]比;概念;除法;本质;区别

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）20-0065-03

人教版实验教科书和2014年人教版教材中诠释比例时，采用的数据有所不同。一个是航天员手持的国旗长15厘米、宽10厘米，长、宽比为15比10，可记作15∶10，15∶10=15÷10=[32]，[32]就是比值;另一个是“神舟五号”平均90分钟绕地球飞行一圈，轨道长42252 km，并指出“轨道长和飞行时间的比是42252比90”。

参考相关资料后，不得不思考以下问题：

1.在小学数学教学中，怎样引入“比”和“比值”的概念比较合适？“比”到底是“两数之比”还是“两量之比”，还是可以通用、混用？

2.“神舟五号”宇宙飞船绕地球飞行一圈的轨道长与时间比为42252比90，那么按常理，比值应为42252÷90=[704215]（或469.464）。而依教师用书所言，“两个非同类量的比可以衍生出一个全新的数量”，那么所得比值该不该带单位“千米/分”？

3.在小学阶段，有无必要推介非同类量衍生的“比”和“比值”的概念？

一、对“比”的各种解释

人教版教材第十一册第43页中对“比”是这样定义的：“两个数进行除法运算的过程也叫作两数之比。”“被除数叫作比的前项，除数叫作比的后项，所得的商叫作比值。”“比值一般可以用分数表示，也可换作小数或整数。”在后续改版的教材中，对“比”的定义大同小异，都是按照除法来定义的。而教师用书中却这样描述：“两个同类量的比也可以表示它们的倍率关系，两个非同类量的比则可以引申出一个全新意义的数量。如‘路程比时间就会衍生出一个崭新的量——速度。”

对比新旧教材，不难发现“比的认识”一节的修订痕迹。老教材曾用球赛比分来介绍比，这显然不是“正宗”的数学比，或许只是编者借用一个专业术语来类比推出数学比。新版本的教材是用路程除以时间等于速度、总价除以数量等于单价等异类量的相除，衍生出全新量来介绍比，这原本是除法应用题型，却被拿来充作“比”的引入素材。那么既然有了除法，为何多此一举，平白无故地引入新概念“比”，这不是添乱吗？

《辞海》中如此定义“比”：“两个同类量相比，如果以b为标尺度量a，称为a比b，所得的k值称为比值。”这兴许就是比的“始祖”。教材废除这些“繁文缛节”，直截了当将“比”定义成除法，这样做等于对除法进行二次定义。这样的改编，是对是错？武断草率地把“比”看作除法的第二定义，知识的生成性过程该如何落实？

对比可知，《辞海》中“比”的定义重在揭示其本质，而教材则避重就轻，避实就虚，仅仅显露其外形。学生看到“比”这个字，首先想到的是“比较”，而六年级的学生对于如何比较两个数已是行家里手：第一是比较差值，直接作差即可;第二是倍率关系，用除法求商即可。可见，“比”这一概念来源于“比较”。用倍数反映大小就是一种“比”的关系，这就是求商比较法。

由于数学的系统性和复杂性，数学中存在很多高度重合的循环概念，如除法这个概念，既可以定义分数，又可以定义比，它可以作为纽带将分数和比连接起来。可见，这些概念本就是一个不可分裂的整体，同时又各自具有独特性和独立性，它们在外延上高度重叠，在内涵上却又互不包含。“比”偏向于表示两个量的权重对比，而不是追求两个量的运算结果，重在两个量（主要是同类量）的静态比较关系，而不在于分清谁是部分、谁是整体。“比”的前项和后项是两个完全对等的量，性质、含义完全相同，因此，“比”不可以与分数和除法完全画上等号。

二、对“比”追根溯源、正本清源

综上，可以给“比”下一个确切的定义：“两个同类量a、b，如果以b为基准去度量a，那么a和b就建立了比的关系，称之为a比b，记作a∶b。a÷b=k称为比值。”下面，通过一些示例来深化“比”的本意。

【例1】冲泡咖啡时，用1杯咖啡粉加3杯温水。咖啡粉和温水的体积比是1比3，记作1∶3。比值是1÷3=[13]。

【例2】用1杯奶茶粉加5杯水兑成茉莉奶茶。奶茶粉和温水的体积比是1比5，记作1∶5。比值是1÷5=[15]。

【例3】在某时刻，以楼房影子衡量楼房高度，形成2比1的关系，记作2∶1，比值是2÷1=2。

首先，“比”是一种数量关系。“比”不能等同于除法运算，只是在求比值时必须用到除法运算，实际上，“比”大多数时候只是反映一种对峙状态，一种静态比较，可以不必求出比值，没有比值，比例关系依然存在。如例1中，1杯咖啡粉要用3杯水冲调，冲调咖啡时直接按照“1比3”来调配即可，记作1∶3。此时，算出比值反而没有实际意义。换言之，只有需要求出比值时，除法才会派上用场，1∶3可以只是一种对比的状态，1÷3则是除法运算，目的直指商。

其次，“比”是比例的前概念，可以引申为一种正比例函数关系，例如，某旗杆和影长的比，就构成一种函数关系。事实上，在同一时刻，旗杆高度与影长的比率是恒定的，即不同高度的旗杆与其影长的倍数关系恒定。比的概念还要深化为比例，为未来学习正比例函数埋好伏笔。当然，有的“比”的关系存在偶发性，不一定构成比例关系。

再次，“比”是同类量的比较关系，也可以扩张到不同类量中。不过，同类量之比是“源头”，不同类量之比只是“支流”。日常生活中非同类量的比随处可见。例如，移动积分兑换业务，规定1000积分可以兑换100M流量。积分与流量就不是同类量，它们的兑换比为10分∶1M。

最后，不同类量的比，不应作为“比”概念的引入。“神舟五号”平均90分钟绕地球飞行一圈，轨迹长42252 km。“路程和時间的比是42252比90”这样描述似有不妥。路程除以时间等于速度，这样的比体现不出路程与速度的比较与对峙状态。用不同类量作为“比”概念的引入，本末倒置。因此，对于“比”的举例，应该从简单的数据比说起，如咖啡粉和水的体积之比为1比3等。

前面讲到，“比”的概念有着独特的内涵，但是，由于其与除法和分数有着千丝万缕的联系，所以经常被混为一谈。要想通过对比辨析展露抽象的概念本身的特性是十分困难的，最好的办法就是赋予其现实情境，而不同的概念适用的现实情境会有所差别。在除法和分数无法演绎的情境中，推出“比”这一概念就显得很有必要了。如前面出示的冲泡咖啡和奶茶、测量楼房高度等案例，都是只适合用“比”来表示两个变量的关系，而不适合用除法和分数来表示，突出了“比”的特殊性：表示两个变量的函数关系，并以此作为比例的前概念出现。

三、“比”与除法的区别

计算比值虽离不开除法，但是“比”与除法是有区别的。如前所述，“比”可以只作为一种对峙关系，一种临界状态，而除法拥有自己的领地，可以脱离“比”的管辖。例如，小明公务员笔试和面试的成绩分别是92和90，那么两科的平均分为91分。这里求平均分时的除以2就与“比”风马牛不相及。

教学中可以将同类量之比和不同类量之比做一番比较。

【例1】NBA某场比赛中火箭队对湖人队的比分为55比50，差距5分。（用加减法比较差距）

【例2】某收藏家收藏了6颗红宝石，3颗蓝宝石，红宝石比蓝宝石多。6是3的2倍，称为6比3，记作6∶3;蓝宝石少，只是红宝石的[12]，可写作3比6，记作3∶6。（这里的“比”是用除法来计算倍率差距，和例1有分别）

【例3】调配鸡尾酒时合理的配比是4杯柠檬汁加2杯汤力水。我们说柠檬汁和汤力水的用量比是4比2，记作4∶2。

【例4】某厂家生产的国旗尺寸有6种规格，长与宽分别为（单位：毫米）： 1号，2880，1920;2号，2400，1600;3号，1920，1280;4号，1440，960;5号，960，640;6号，660，440。长度是宽度的几倍？这些国旗规格不一，但长都是宽的1.5倍，因此形状都是一致的，符合法定标准。由此可顺势定义“两个同类量a、b，若以a是b的倍数k来描述其大小关系，称为a比b，记为a∶b。a÷b=k，数k就是比值。这个比较的结果就是a除以b的商”。（这里先比较“同类量”，突出“比较”的对峙状态，最后为了算出比值才用到除法，为后续推广“比例”埋下伏笔。）

“比”和除法的关系一直是困扰学生的问题，将二者放在不同的情境中固然能够直观比较出差异，但是这种差异之间又有某种联系，因为“比”有时是需要求出比值的，如6颗红宝石∶3颗蓝宝石=6÷3=2（倍）;除法运算有时又可以看作是静态的“比”，如6颗红宝石÷3颗蓝宝石=6∶3。因此，“比”和除法还是很容易混淆的。不妨先将“比”的类型一分为二，分成同类量之比和不同类量之比，再将这两类分别与除法对比，就可以发现“比”和除法的联系和区别：同类量之比放到除法里就是求倍率或者分率;而不同类量之比算不上真正的“比”，只能表示通过除法运算衍生出一个新的量。这样比较之下，就可以将“比”和除法的关系彻底厘清。由此可见，除法有多重意义，“比”也有多重意义，它们只是在某些层面上有交集。

小学教育是基础教育，小学数学教材所呈现的内容应当有助于揭示最基本的数量关系。“比”的概念，作为小学阶段的一个重要数学概念，内涵深刻，教材编排时应该抓住其本质——比较，再不断演变扩展，而不能操之过急，舍本逐末。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王进敬，余庆纯.巧探古今生活，浸润数学文化：以“锐角的三角比的意义”教学为例[J].中小学课堂教学研究，2021（02）：5-10.

[2] 王琳.借“数形结合”思想直击本质：“比的意义”教学尝试与思考[J].小学数学教师，2021（03）：28-31.

[3] 姚啟规.厘清《比的意义》教学的“源”与“流”[J].安徽教育科研，2021（07）：33-34.

[4] 李晓燕.不同版本教材“比的意义”的对比与分析[J].小学教学参考，2020（35）：16-17.

（责编 罗 艳）