注重训练技巧 培养运算能力

姚倬

[摘  要] 执教过程中，研究者发现有些学生存在解题思路正确，却在计算上丢分的现象. 为了改善这种情况，部分教师要求学生进行大量的计算训练，以期有所突破. 殊不知，这种方式只会增加学生的负担，收效甚微. 文章从“确定方向，明确运算目标”“掌握法则，发展运算思维”“形成程序，提升思维品质”三方面展开阐述，谈几点看法.

[关键词] 运算;法则;程序

运算是思维的载体，对思维能力的发展具有直接影响，而运算能力能直接反映出一个学生的综合素养. 所谓的运算是指在数学运算律的指导下，对具体的数或式子进行变形演绎的过程. 运算能力包括对运算对象的理解、运算方向的探究、方法的选择以及程序的设计等，准确性、合理性、灵活性与简洁性是它的主要特征.

确定方向，明确运算目标

运算本身并不能代表运算能力，培养运算能力，先要深刻理解运算对象，根据运算目标设计明确的运算路径. 这要求学生在运算前，先要读题、审题，确定运算对象，从对它的理解着手进行运算，同时还要深度挖掘问题中存在的隐含信息，树立良好的目标意识.

例1 已知抛物线C：y2=4x与点M（-1，1），一条直线与抛物线C相交于点A，B，该直线的斜率为k，且过抛物线的焦点. 如果∠AMB=90°，那么k的值是多少？

分析：想要解决本题，先要理解运算对象，确定本题的主导条件. 本题的运算对象为抛物线的焦点弦AB的端点坐标，主导条件为∠AMB=90°. 根据这两点来启动运算思维，将一些辅助性的条件添入本题的解题思路中.

以上是从向量的角度、以∠AMB=90°为依据进行解答的过程. 虽设了点A，B的坐标，却没有分别求出来，而是运用了数学整体代换思想，完成了“设而不求”的目的. 这种方法有效地减少了运算量，避免因过于繁杂的运算而导致失误的产生，这也充分展示了数学整体代换思想在解题中的灵活应用.

抛物线的概念与性质在高考试题中常考常新，我们应从根本上掌握其本质与内涵，尤其要注意以下结论的应用：

因为结论①展示了抛物线与圆的关系，所以可从“∠AMB=90°”的隐性角度来优化解答过程：

培养运算能力，先要明晰运算对象，包括对问题条件的把握与理解，只有看清、看准运算对象，才能目标明确地进行运算. 同时，运算也要讲究技巧，死算肯定解决不了问题，如以上假设A，B两点的坐標，就可以通过整体代换法减轻运算量，提高运算准确度.

掌握法则，发展运算思维

高中数学运算相对复杂，但都有一定的规律与法则作为支撑，如向量、函数、几何的运算等，都有相应的公式、定理等，这体现出了各个运算对象之间具有与众不同的思维方式与规律，这里面常蕴含着重要的数学思想方法.

如运动与变化是探究几何问题的基础，用代数法解决几何问题在解析几何中常见. 若想让学生从根本上掌握解析几何的运算法则，就需要学生特别注重解析几何中的一些公式和定理的形成与发展过程，同时还要理解其中包含的一些重要的数学思想方法，如此才能从真正意义上实现学生思维与运算能力的提高，为学生核心素养的形成与发展奠定基础.

（1）直线AB的斜率是多少？

（2）若点M为曲线C上的一点，且曲线C在点M处的切线恰巧与AB平行，同时AM⊥BM，则直线AB的方程是什么？

分析：第（1）问意在考查学生对圆锥曲线上两点连线斜率的掌握程度，可常用点差法解决此类问题，此问也为接下来的第（2）问做好铺垫. 第（2）问意在考查学生对直线与抛物线交点的理解，同时考查学生在函数图像上的定点处求切线方程的运算，常用导数法或判别式法解决此类问题.

此解答过程看似没毛病，却存在计算量大、易出错的弊端. 本题若从隐性条件“AM⊥BM”着手进行分析与思考，则能简化计算过程，让解答变得轻松，提高解答的正确率. 具体过程如下：

以上两种解答思路相比，明显第二种思路简单，不容易在计算上产生失分现象. 其实，不同的知识存在不同的运算法则与规律，而相同的问题也可能存在不一样的运算方法. 因此，我们应有一双善于洞察的慧眼，能透过问题的表象看到实质，择优选择运算方式，提高解题的正确率.

形成程序，提升思维品质

观察、分析、思考与解决问题均离不开思维的支持，高中数学不同的知识点常有不一样的运算程序，如解决解析几何问题，常用的“三部曲”就是探究、探索与选择解析化的过程;而用向量法解决平面几何问题所涉及的“三部曲”，则是探究、探索与选择向量化的过程.

这里提到的“三部曲”就是解决不同问题的运算程序，良好的数学思想方法、合理的运算思维，是运算程序形成的基础. 学生一旦形成了良好的运算程序，就能深刻地理解运算的内涵，为数学思维品质的提升奠定基础. 常实践、勤思考，是形成举一反三能力的基础，也是考试制胜的法宝，更是落实核心素养的必经之路.

例3 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线方程为y=x2-6x+1，它与坐标轴的交点均位于圆C上.

（1）圆C的方程是什么？

（2）如果直线x-y+a=0与圆C相交于点A，B，已知OA⊥OB，求a的值.

分析：第（1）问，根据不共线的三点可作一个三角形，根据三角形具有唯一的外接圆可获得圆C的方程. 从此解答过程可清晰地感知到数形结合思想在解题中的重要性，同时涉及一定的运算程序对解题的帮助，让解题少走弯路，做到既快又准. 第（2）问，根据直线与圆锥曲线的位置关系，从联立、化简、判别式与韦达定理这样的程序出发，结合平面几何相关内容，可有效地简化计算，提高解题效率.

此题结合了函数方程、数形结合、等价转化、待定系数法、消元法以及换元法等多种数学思想方法，同时还涉及根与系数的关系、坐标法以及判别式等，彰显了运算程序对解决数学综合问题的重要性，学生的思维品质随着各项能力的形成与发展得以提升.

总之，从不同的切入点去分析问题，会出现运算方式的差异. 解析几何不仅考查学生精准、快速的计算技能，更重要的是考查学生对运算背后算理的把握程度. 教师应加强学生非智力因素方面的训练，如对问题的探索精神、学习的自信心、情感倾向等方面的培养，尤其是运算能力的训练，对激发学生的探究欲、培养学生的数学思维品质以及落实学生的核心素养，都有深远的影响.