发展小学生推理意识的教学思考

丁媛媛　费岭峰

【编者按】学生数学核心素养的总体表现之一，便是会用数学的思维思考现实世界。为实现这一目标，让小学生形成推理意识便成为一线教师亟待解决的问题。如何优化教学环节帮助学生经历逻辑推理的过程？如何依据学生的认知水平设置适当的练习环节？本期话题围绕小学生推理意识的强化策略展开探讨。

“推理”作为数学基本思想之一，在数学课程中有着重要的地位。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）将《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“推理能力”分成了推理意识与推理能力两个维度。意识是指人们对外界和自身的觉察与关注程度，能力则是指完成一项目标或者任务所体现出来的综合素质。如果说能力指向“能不能做好”的行为表现的话，那么意识便指向“自觉不自觉地去做”的行为状态。就意义来说，《课程标准》中提到：发展小学生的推理意识，有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，也是其发展推理能力的经验基础。那么，在小学数学教学中又该如何发展学生的推理意识呢？结合数学学习材料、学习活动，唤醒学生的推理思维，引导学生体验推理表达，尝试运用推理方法，努力形成推理自觉，等等，不失为发展学生推理意识的有效的过程与方法。

一、探究中，唤醒推理思维

推理一般分为合情推理和演绎推理两种形式。合情推理的特点是基于事物的相同属性推断出一般性结论。演绎推理的特点是从已有事实或规则出发推断出具体结论。因此，培养学生的推理意识，首先需要引导学生养成一种能够根据某种现象去思考现象背后的本质，或者基于概念分析问题的思维意识或习惯。小学数学教学实践中，具体可以表现为两种思维意识的养成。

1. 发展从现象出发适时归纳的意识。

我们常说，数学来源于生活。数学学习时，一般是从关注现象开始的，数学学习的过程，也是一个透过现象发现本质，归纳得出数学知识（包括规律、模型等）的过程。这一过程有利于发展学生的合情推理意识。比如，我们在教学“长方形和正方形的面积”这一节内容时，引导学生通过多个长方形面积探究活动，发现并归纳出长方形面积计算方法，其间便有学生推理思维的唤醒与推理方法的应用等。我们不妨来看看教学过程。

教师提出学习任务：求一个长5厘米、宽3厘米的长方形的面积。学生自主探索——首先，通过动手操作（摆1平方厘米的小方块），发现长是5厘米每行可以摆5个，宽是3厘米可以摆3行，得出这个长方形的面积是5×3=15平方厘米。接着，产生新问题：长方形的面积是不是与长和宽有关呢？“长×宽”算出的就是这个长方形的面积吗？进一步探究：任取几个1平方厘米的小正方形，拼成不同的长方形，发现“长所代表的就是一行可以摆几个，宽所代表的就是可以摆几行，长方形的面积就是每一行的个数乘以摆的行数”，所以长方形的面积可以用“长×宽”来计算。

以上探索过程中，学生不但经历了操作、观察等活动，而且通过多个例证的分析、比较，找到事物的共性，由现象追溯到本质，最终得出结论。这样的过程，是典型的归纳推理的思维过程。若在教学实践中，经常性地引导学生经历类似的过程，对其推理意识的培养自然会有帮助。

2. 发展由概念出发分析问题的意识。

由概念出发分析解读数学问题的过程同样也是一种典型的数学推理，即基于概念内涵对相关现象作出分析与判断。虽然这样的思维要求较高，但在小学数学教学中，同样需要引导学生适度地经历此类分析问题的过程，有利于学生经历初步的演绎推理，发展推理意识。

我们可以来看这样一个例子。某教师在教学“三角形的高”这一节课时，先请学生自学课本上有关“三角形高”的概念定义文字，然后请学生尝试画出一个三角形的高。教师巡视间收集典型材料（如下图所示），请学生判断。

学生对以上三种情况进行判断时，需要借助“三角形高”的概念进行说明。这个过程，即是从概念出发，分析材料状况，材料一：虽然是从一个顶点出发的线段，但与对边相交时的角不是直角，所以不是BC边上的高；材料二，虽然画的线段与BC边垂直，但不是从顶点A出发的，所以也不是BC边上的高；材料三，即是从顶点A出发的，画的又是顶点A对边BC边的垂线，所以这条垂直线段是BC边上的高。上述以“三角形高”的概念来分析解读作业材料，显然是一个基于概念作出分析，引导学生初步经历演绎推理的过程。同样也是小学数学教学中需要培养学生掌握的一种思考、分析问题的方式。在日常的教学中，教师若能适时加以引导，以此唤醒学生的演绎思维，这对发展学生的推理意识同样会有帮助。

二、表达中，体验推理过程

在小学数学教学中的推理，不需要讓学生像初中生那样进行严密规范的逻辑证明，但是作为学生推理意识培养的初始阶段，还是需要学生深刻体会推理是一个有序的、严谨的过程，引导学生形成有条理地思考、有根据地表达的习惯，真正实现《课程标准》中提出的“会思考”“会表达”的素养目标。实践中，我们可以结合学习内容的特点进行适时引导。

1. 结合专项内容的学习强化表达。

从教材内容来分析，小学数学教材上有一些专门围绕“推理”的专项学习内容，教学此类内容时，一定要引导学生经历一次完整的“有条理”地表达推理过程的机会，从而帮助学生更好地体验推理过程，形成相应的数学活动经验。

如人教版二年级下册“数学广角——推理”例1，情境呈现学生有语文、数学、道德与法治三种书，三个小朋友各拿一本，并呈现信息：小红拿的是语文书，小丽拿的不是数学书。判断小刚和小丽分别拿的是什么书？学生对于解决问题策略的理解难度不大，本课更主要的目标，还是在引导学生用清晰的数学语言有条理、有依据地表达推理的过程。

当学生答出“小丽拿的是道德与法治书”后，请学生说出想法：因为三个人中，小红拿的是语文书，那么还剩下数学和道德与法治两本书；又因为小丽拿的不是数学书，那么她拿的一定是道德与法治书了。当有学生答出“小刚拿的是数学书”，同样需要引导学生说想法：因为三个人中，小红拿的是语文书，那么还剩下数学和道德与法治两本书；又因为小丽拿的不是数学书，那么数学书一定是小刚拿了。

因为这节“简单推理”课是推理的专项学习内容，所以教师更需要引导学生体会把推理过程表达完整的重要性。在表达的过程中，可以引导学生用连线或列表等方式进行展示，可以是先画再说，也可以是边画边说；可以是列出表格再说，当然也可以是边列表边说。最终目的在于将推理的过程说完整、说清楚，帮助学生在推理的过程中发展推理意识。

2. 结合生成内容的探讨相机引导。

对于小学生而言，发展推理意识更需要落实在平时的学习中，结合蕴含推理意味的生成性學习内容，引导学生表达推理过程，体验推理思维，形成对推理过程的切身感受。如在前文所述图形面积计算方法学习的内容，当经过了平行四边形、三角形的面积计算方法探究学习后，在“梯形面积”这一课的教学中，我们发现学生一般会将梯形转化成长方形或平行四边形来探究。这些方法也是教师在备课时首先考虑到的内容。但在实际的课堂上，还会有学生采用“直接将一个梯形割补成一个三角形”来探索推导。

当出现此类预设之外的生成材料时，教师若能让学生把分析、思考的过程有条理地表达出来，不仅可以更好地了解学生的思维过程，同时也是给学生阐述推理、体验推理过程的机会。因为学生要把转化的过程有条理地讲清楚、讲明白，需要对图形相关要素间的关系，以及变化的过程与注意点，有相当清晰的把握与理解。

这种机会在数学学习过程中还是比较多的。如在“问题解决”的内容中，需要有从信息出发的分析理解，也有从问题出发的解读梳理；有两三步计算问题的信息与信息、信息与问题的关系分析，解答过程的步骤厘清；等等。推理意识的培养，应该落实在平时的课堂教学中，才能更好地实现《课程标准》的要求。

三、运用中，形成推理自觉

推理作为一种基本的数学思维方式，教师需要在数学学习的整个过程中加以关注。当学生有了一定的推理能力后，能够在运用知识技能解决问题的过程中，自觉地运用推理，并能更好地解决问题，这才是发展推理意识的重要目标。教师在教学实践中，可以从以下两个方面引导学生努力形成推理自觉。

1. 经常性地与学过的知识作“类比”。

类比，其实是发展学生推理意识的常用方法。有类比，学生可以对事物间的联系与区别把握得更准确。经常性地与学过的知识作类比，不仅有利于发展学生的数学学习能力，还可以帮助学生形成良好的推理意识。

比如，学生在学习了“鸡兔同笼”的内容后尝试解答这样一个问题：足球比赛中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。A球队在一次比赛中，共计得了51分，比赛30场，其中负了7场。这支球队胜和平各有多少场？解答时，若学生能够将此问题转化为“鸡兔同笼”问题来解答，表明其已经有了比较强的推理意识了。我们不妨分析一下此题：球队共比赛30场，负了7场，那么胜场和平场一共有30-7=23场。此时，剩下的问题结构也就类似于“鸡兔同笼”问题的结构了，即23场比赛只有两种情况，要么胜、要么平。这23场类似于鸡兔的“总头数”，胜场得3分与平场得1分，又分别类似于两种动物“脚的只数”。这样一来，也就很清楚了，可以用假设法，也可以用方程，还可以用列表等方法来解决这个问题。这就是在把握了问题本质基础上，应用了类比推理，能够轻松解答问题。

2. 经常性地对学习的过程作“反思”。

对于学生来说，反思是一种重要的数学学习能力，同样也是发展学生推理意识的重要方式。因为在反思学习过程中出现的问题也好，反思形成的结论也好，需要学生去寻找问题产生的原因，或者结论对错的理由，一般来说，这个过程需要有因果关系的说明。于是，有条理、有依据地表明自己的观点，显得非常必要。

比如，“平行四边形面积”一课的教学中，当课堂上出现了“拉动转化”和“剪拼转化”两种推导方法，学生能够自然地想到对“图形是如何变的”“这样变了之后，什么变了？什么没变”等一连串问题作出说明时，便证明了学生的推理意识也在不知不觉中得到了强化。当然，引导学生对学习的过程作经常性反思，还表现在平时独立作业或阶段性检测的分析中。找原因、究本质、析问题、理思路，等等，都应该是学生对学习过程作反思的基本内容，同样也是学生推理意识发展的重要过程。

推理自觉是学生推理意识发展的最高要求，也应该是教师在教学实践中落实《课程标准》中对推理意识的重要定位。结合小学数学教学的一切内容，帮助学生发展推理自觉，需要教师抓住一切机会。比如转化、数形结合、等量代换，等等，在这些方式方法的运用中，几乎都有推理思维的存在，教师若能密切关注、切实引导，发展学生的推理意识便不至于成为一句空话，而能实实在在地落实。

（作者单位：杭州师范大学附属嘉兴经开实验小学 浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心）