例谈证明不等式的四种常用措施

沈利梅

不等式证明问题主要考查同学们的逻辑思维以及推理分析能力．证明不等式的方法很多，如：比较法、综合法、判别式法、函数单调性法等．在证明不等式时，若能选用恰当的方法，就能起到事半功倍的效果，下面重点谈一谈证明不等式的四种常用措施，

一、放缩法

运用放缩法证明不等式，往往要通过添加某一项、去掉某一项、扩大某一项的倍数、缩小分子、放大分母等方式，将不等式一侧或两侧的式子进行合理的放缩，以根据不等式的傳递性、可加性、可乘性证明结论．

在换元的过程中，要关注角度的取值范围，以确保定义域的等价性．

三、反证法

运用反证法证明不等式，需从问题的对立面寻找解题的思路．首先假设要证明的命题不成立，并将其看作已知条件；然后运用相关的公理、定义、定理、性质等进行推理、运算，得到与已知条件或已证明的定理、性质、明显成立的事实等相矛盾的结论，就可以说明假设不成立，从而证明原命题成立．

对于一些从正面人手解答比较困难的不等式证明题，可以考虑用反证法求证，这样转换解题的方向，有助于拓宽解题的思路，提升解题的效率．

相比较而言，放缩法、三角换元法比较常用，反证法的适用范围较窄．对于不等式证明题，同学们可首先利用放缩法、三角换元法求证，当问题比较棘手时，再考虑运用反证法．

（作者单位：江苏省苏州市吴江中学）