谈谈复数的几何意义及其应用方法

李吉香

复数具有代数与几何的双重属性．复数的代数形式为：z=a+bi（a、b∈R），其几何意义是复平面内的点Z（a，b），即平面向量OZ．复数的几何意义反映了复数和向量之间的对应关系，体现了复数在复平面内的几何特征．科学、合理地应用复数的几何意义，能有效提升解题的效率，那么借助复数的几何意义，可以解决哪些问题呢？下面我们来探究一下．

一、由点的坐标求复数

任何一个复数z=a +bi（a、b∈R）可以由一个实数对（a，b）唯一确定，而实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系上的点集之间存在一一对应的关系．根据这种一一对应的关系，我们可以由点的坐标求复数，也可以根据复数确定复平面上的点的坐标．

例1．在复平面内，已知复数2+i对应的点为A，B，C是复平面上的另两个点，若复数1+2i与向量BA对应，复数3-i与向量丽对应，求C点对应的复数．

二、求复数的最值

根据复数与复平面内的点之间的对应关系，以及复数的一些性質可以确定满足一定条件的复数在复平面内对应的图形（即轨迹），如lz+ 1l+lz - 11=4表示椭圆，lz-il=4表示圆．在解答复数的最值问题时，可根据复数的几何意义，确定复平面内点集所形成的图形，建立关于动点的轨迹方程，结合图形寻找临界的情形，即可结合图形的性质、位置关系来求得最值．

例2．已知复数lzl=2，求复数1+√3i+z的模的最值．

满足已知条件的复数是一个集合，这个集合中的每个元素所对应的点组成一个图形，这个图形就是复数Z在复平面内表示的图形．利用复数的几何意义求复数的最值，一要将复数转化为点的集合，并求得点的轨迹方程；二要借助图形的特点、性质、位置关系来求最值．

三、求参数的取值范围

含参数的复数问题一般较为复杂，参数的变化决定了复数的取值，为了避免对参数的分类讨论，可利用复数的几何意义来建立参数满足的关系式，进而求得参数的取值范围．

解答本题，需根据复平面内点的坐标与复数的实部、虚部之间的对应关系确定参数所满足的不等关系式，

总之，利用复数的几何意义解题，关键是把复数或关于复数的表达式转化为点的轨迹、几何图形、向量，我们可以从中找到解题的思路，利用图形、解析几何、向量知识来解题．

（作者单位：青海省海东市第一中学）