从差值0.5的来龙去脉说开去

杨苏丽

［摘 要］皮克公式是一個选学内容，也是苏教版教材的特设内容，旨在让学生通过计算钉子板上围成的多边形的面积来探究多边形的面积与钉子数之间的关系，并借此探究多边形的面积大小与图形所占平面大小的直观联系。在正式学习多边形面积公式之前学习这部分内容，可以加深学生对面积概念的理性认知。

［关键词］钉子板；皮克公式；多边形面积；误差

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）32-0021-03

在“板上钉钉围多边形”的一次观摩课上，学生人手一块钉子板，一位学生围出了这样的图形（如图1）。

图形边线穿过9枚钉子，图形内围着12枚钉子，运用皮克公式可算得这个图形的面积是9÷2+12-1=15.5。而用外包的矩形减去剩余的两个三角形的面积之和，所得面积是8×6-（8×6÷2+8×2÷2）=16。用组合法算出的面积与用皮克公式算出的面积相差0.5，授课教师一时间也不知道该怎么解释，只能含糊带过。

可是，学生很快又发现了不寻常的结果：如图2，套用皮克公式计算出的面积是5，而用数方格的方法算出的面积是4.5，两者也相差0.5。对此，授课教师以凹多边形不适用这个公式为由搪塞过去。不一会儿，又有学生提出异议：“老师，这个凹多边形（如图3）为什么不适用皮克公式？”授课教师再次以凹多边形超出学习范围为由，敷衍过去，并顺手将这个学生绘制的凹多边形改成了凸多边形（如图4）。

本节课结束前，授课教师出示一个多边形 （如图5），让学生用皮克公式尝试算出其面积，感受用皮克公式计算面积的便捷性。这时，一位学生小声嘀咕：“数方格法也很方便。”下课铃声响起后，听课教师询问学生还有什么问题，有位学生说道：“根据皮克公式，当a=1时，S=n÷2；当a=2时，S=n÷2+1 ；当a=3时，S=n÷2+2……为什么图形内的钉子每增加1枚，相应的多边形的面积就增加1个单位？”这个问题出乎听课教师的意料，授课教师也一时错愕，说不出个所以然。

课后，授课教师对计算图1的图形面积出现的0.5的面积差始终百思不得其解：“这个0.5到底是怎么造成的？”他与其他教师共同研究：有人说是可能哪里算漏了；有人提议改用数方格的方法来计算，却发现方格很难凑整，得出的结果也只是一个近似值；有人觉得是钉子板不规范……众说纷纭之时，笔者问了一句：“出示图5的目的是什么？”授课教师迅速回答：“一是让学生学会运用皮克公式，二是突显皮克公式的便捷性。”当笔者告诉他学生认为用数方格的方法很方便时，他沉吟片刻后说：“数方格很方便，那用皮克公式岂不是多此一举，自找麻烦？”笔者接着问：“图形内多1枚钉子，多边形的面积就会多1个单位，这两个‘1的意义相同吗？”他果断地表示否定，并表示前一个“1”表示1枚钉子，后一个‘1表示1个基本的面积单位。”“那前后都是多出一个1，这怎么解释？”笔者追问。授课教师被问得哑口无言。

一、寻找问题根源

“钉子板上的多边形”是苏教版教材新增的规律探索内容，这些规律本就是客观存在的，只是需要通过实验去探究提炼。与一些人为制造的排列规律不同，它更能激起学生的探究兴趣。因此，许多教师热衷于选择这一内容作为研究课。笔者在一个学期内听了这一内容的好几次课，几乎每次课都会出现一些生成性问题，这些问题不仅难倒了学生，还难倒了教师。教师被难倒，究其原因是教师对问题研究不透彻。因此，教书，教师必须钻研教材，只有自己有一桶水，才能倒给学生一碗水。

只有找到知识本源，才能为学生彻底答疑解惑。通过研究相关文献资料，不难知道“钉子板上的多边形”这一知识来源于“格点图上的多边形”。弄清这一渊源，将钉子板图转化成点阵图，用两种方法求图1中的三角形的面积存在0.5的差值的真相也就水落石出了：图形内的点跑出多边形之外，处于边线上的钉子数是9而非10。也就是说，之所以出现差0.5，是因为在钉子板上围图具有模糊性。

那么，教学中如何同时满足“学科”与“科学”的需要，既做到生动有趣又做到严谨务实？有一种办法就是对素材进行改造：一是新课伊始，在钉子板上围出多边形后，及时将钉子板图转换成点阵图；二是在课堂即将结束，教师介绍皮克公式时，及时把点阵图转换成格点图。 这样一来，图1带来的麻烦就会迎刃而解。而针对图2生成的问题“凹多边形不适用这个公式”，果真如此吗？说到底，这一问题依然属于“是什么”的问题。根据皮克公式的表述——“设Y为一个简单多边形，其顶点全部落在格点上。若q为多边形 Y内包含的格点数，p为多边形Y各边上的格点数，则Y的面积 =q+[p2]-1”。不难发现，皮克公式适用于简单多边形，不分凹凸。根据凹多边形的定义“把一个各边不自交的多边形，任意一边延长为直线，如果多边形不是在这条直线的同一侧，则这个多边形可以称之为凹多边形”中的“各边不自交”来判断，图2不属于凹多边形，一般认为它是组合图形。本课教学确实与凹多边形不沾边，所以素材应该以凸多边形为主体。但是，教师一旦放手让学生自主探究，学生天马行空的想象力迸发，就会冒出很多奇思妙想，画出凹多边形完全在情理之中，画出像图2这样的多边形自然不足为奇。

对于在钉子板上围出多边形，然后计算多边形的面积，学生一般会想到借用组合法或者割补法去计算，因为在学习三角形、平行四边形等图形的面积时，学生学会了用割补法将不规则图形转化为规则图形，而钉子数则具有计量边长与高度的功能，一排钉子的数量就是所在边的长度，当然，这个相邻钉子之间的间距必须相等。可是根据皮克公式计算出的面积与运用几何转化法计算出的面积存在出入，这种强烈的认知冲突让学生对皮克公式产生了怀疑。为了一探究竟，学生会产生强烈的探究动机，发现皮克公式中的点数和几何法中的边长其实是一回事，而问题出在钉子板图的粗糙性：少围了1枚钉子，这就会导致计算出现误差。因此，将钉子板图换成格点图，就能够将几何法和皮克公式完美统一。

二、追溯知识原理，搞清为什么

仍以上述案例为例，在学生质疑“为什么图形内的钉子每增加1枚，相应的多边形面积就增加1个单位”，寻找问题根源，也就是搞清楚“为什么”时，教师或是没有这个探索意识，或是压根就不知道，又或是知道但是没有把握讲清楚而作罢。然而，既然学生已经明确提出疑问，教师就要勇敢面对。实际上，任何知识都绕不开“是什么”“为什么”“有什么用”三大要旨。尽管这节课的教学任务只需要引导学生归纳出钉子板上的多边形的规律，充分经历找的过程，而这个探索规律的过程，主要是在视觉上发现数字变化一致——“图形内的钉子每增加1枚，相应的多边形面积就增加1个单位”，至于是因为什么，学生还无法一探究竟。那么，受限于学生的学习能力，在无法清晰揭示的情况下，学生质疑时，教师该如何应对？笔者以为，教师可以在适当的时候点拨学生：一方面，通过多媒体动图演示（如图6），进行适当的渗透，直观展示图形内钉子数多1之后，多边形多出的1个面积单位在哪里，从而弄清事情的原委，消除心头疑虑；另一方面，教师正好通过这一细节，潜移默化地引领学生由“a=1”向“a =2、a =3”等情况过渡。

通过对比研究，发现问题的症结在于为什么图形内点数（钉子数）加1，多边形就会多1个面积单位，两者都是多1，但是意义不一样。为什么会这样呢？想从理论上证明这个问题十分困难，画图直观展示才是解决之道。然而，学生没有经验可依，意欲图解，必须从最基础的图例入手，一步步发现规律，然后推广到一般情况，这是一个合情推理的过程。通过图示可以发现，从a=1到a=2（如图6），内部增加了一个点，从几何学上讲，向下扩增了一个三角形（阴影部分），这个新增的三角形的底和原来的一樣，高恰好为1格，于是新增面积为2×1÷2=1，即新增一个高度为1的三角形；从皮克公式角度出发，内部增加一个点，边缘“吐出”一个点，同时“吞并”一个点，两相抵消，边线上的点数并未改变，于是根据皮克公式：新图形的面积 =（q+1）+[p2]-1=q+ [p2] ，比原图形的面积q+[p2]-1多1。

三、找到知识之用，搞清有何用

上述案例中，授课教师让学生用皮克公式计算图形面积后总结，初衷是体现这一公式的优越性。在与学生交流后，笔者发现学生有了新的困惑：以前学过一些常用的面积公式，也掌握了割补法、数格法，那皮克公式还有何用？能比数方格法管用吗？确实，虽然本课的目标是探究规律本身，让学生了解到有这个规律存在，但是一旦找到规律，运用规律就会摆到眼前，即皮克公式有什么用。上述案例中，授课教师想到了，但是没有讲透，学生反驳说“数方格法也很方便”，就说明授课教师所选的例子带有误导性，不够典型。教师应该出示一个用公式和数方格都很难推算面积的格点多边形（如图7），让学生切身体会到皮克公式真的很管用。

其实，皮克公式与数方格法和几何公式法之间有着紧密联系：如果将格点间距缩小，直到相邻点的间距变得无穷小，也就是“微分”，皮克公式就变成了一般的面积公式。在众多展示课中，往往出现这样的现象：学生只关注边上的钉子数，不顾图形内的钉子数。其实，这种现象符合学生的思维逻辑，因为学生掌握运用的一般面积公式都是运用边长推算的。例如，长方形的面积=长×宽，平行四边形的面积=底×高。对此，教师应引导学生回归本源：把多边形涂色，直观地展示面积大小就是格子数的多少，而格子数的多少与图形内的钉子数有关。

为什么要学皮克公式？图7就很好解释了这个问题。在点阵图中，如果一些几何图形的摆放位置是歪斜的，那么其边长或者高的长度等就不容易推测出来。但是，此时其内部包含的点数和边经过的点数依然可以清晰地数出来，仍然可以运用皮克公式算出其面积。另外，教材中运用割补法验证多边形（如平行四边形面积公式推导时）面积转化是否正确时，都是采用数方格的方法，数方格会遇到半格、大半格、小半格、对角线长度等难题，所以多采用估算的办法，这其实是不严谨的，如果改用皮克公式，则可以堵住这个漏洞。

至此，学生彻底弄明白了皮克公式的来龙去脉，但还可能会产生新的困惑：皮克公式到底在什么地方能派上用场？对此，教师可以讲一个生动的故事：数年前，一场数学研讨会召开，由于会议地点是在一座山中，为了凸显地方特色，主办方展示了一个数学应用的例子，那就是利用航拍，根据树木的分布密度来确定森林面积大小。其具体方法是用点阵薄膜覆盖在地图上，再根据皮克公式求出面积，然后按照一定比例尺扩大还原，就是森林面积。讲完这个故事，教师可以让学生继续思考：这样的算法会存在误差吗？为什么？

总而言之，虽然“钉子板上的多边形”的教学目标只是寻找规律，但可能冷不丁就会碰到“钉子”。“碰到钉子时，要向钉子学习”，遇到难题，就要想办法攻克，查找真相，这样才能有效化解课堂中的突发状况。

（责编 吴美玲）