借助图形之变化，彰显“抽象”之本质——以直线和圆的位置关系教学为例

吴建惠 周敏刚 刘盼盼 李 硕*

（1.昌吉学院数学与数据科学学院 新疆 昌吉 831100；2.昌吉市教育局 新疆 昌吉 831100）

近年来，随着新一轮课程改革的不断推进，新的思潮和教育理念不断涌现，其中影响范围最广的就是核心素养。各学科都有不同的学科核心素养，各学科核心素养之间既互相区别又密切联系，共同为发展学生核心素养服务。《普通高中数学课程标准》（2017年版）（以下简称《课标》）凝练出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面的学科核心素养。

数学抽象作为六大学科核心素养之首，是数学发展所依赖的核心思想，是数学活动最基本的思维方式，它是从数量和数量关系、图形和图形的关系中抽象出数学概念和形成理性思维的重要基础。［1］数学在本质上研究的是抽象的东西，因此可以推断，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西。［2］对于基础教育的一线教师来说，教学中往往比较关注知识技能的掌握，对学生抽象思维的发展过程关注不够，这也导致了低效学习现象频发。那么，怎样的数学活动既能承载知识，又能凸显思维发展？这是新课改对教师提出的挑战，要求广大教师发挥教学智慧，创新教学活动，在活动中呈现问题与思考、促进思维与发展。下面就以人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系为例来探讨运用图形的变化凸显数学抽象本质的学习。

1 备课思考

1.1 教材分析

直线和圆的位置关系是点和圆的位置关系的后续课，从知识结构上来看，直线和圆的位置关系是今后学习圆的切线的重要基础，在本章中起着承上启下的作用。从教法学法上来看，学生在学习了点与圆的位置关系后，基本掌握通过几何量的大小关系判断几何图形的位置关系，为本节课的研究提供了直观的感知和铺垫。由于本章开始研究圆形，要从学生熟悉的直线型过度到曲线型，学生在解决问题的方法上还缺乏经验，怎样化曲为直，怎样抓住曲线图形的关键要素是本节课要重点突破的地方。

要解决上述问题，需要创设适当的数学情境、提炼关键要素、建构合理的数学活动平台，于是形成如图1所示的教学框架。

图1 教学框架

1.2 学情分析

学生经过了学习点与圆的位置关系，积累了初步的学习经验，也有了研究这一类问题的一些直观的感受，但对研究曲线图形还有一定的陌生感，学生很容易从直观图形上发现直线与圆的三种位置关系，但对这三种位置关系不能使用数学语言进行定量的刻画。教学是师生的双边活动，从教师备课的准备上来看，多数教师认为本节课比较简单，由看图很容易得出三种分类，进而讲解三种分类的两种判定方法，忽视了学生通过探究活动，抽象出几何要素及要素间关系的过程，只重视结果及结果的运用。

1.3 目标分析

基于以上学情制定如下教学目标。

目标1：通过画图，归纳出定性判断直线与圆的位置关系的方法。

目标2：通过动画探究，抽象出几何要素并能够定量表示三种位置关系，渗透分类讨论、数形结合的数学思想。

目标3：能利用d与r的大小关系判断具体情境中的直线与圆的位置关系，培养学生问题解决能力，发展数学抽象素养。

1.4 教学重难点

教学重点：通过具体情境探索直线与圆的位置关系并利用其解决问题。

教学难点：通过问题情境抽象出判断直线与圆的位置关系的关键要素，并会用符号表达。

2 教学片段

2.1 画图初探

“海上生明月，天涯共此时”，教师出示圆月从海平面冉冉升起的场景资料视频。

师：你能用简单的数学图形例如我们学过的直线、圆等勾画出这幅场景吗？

生：能，将海平面看作是一条直线，将圆月看作一个圆。

师：很好，这位同学将海平面抽象地看作一条直线，将圆月抽象地看作圆，那么就请同学们在准备好的学习纸上完成画图。（学习纸上已经画好了直线L）

师：“圆月从海平面冉冉升起”，大家发现这个动态过程中，什么在动？什么没有动？你画的图怎样体现这种变化？

生1：圆的大小有没有要求？

生2：圆的位置有没有要求？（受到生1的启发提出）

设计意图：让学生在画图的过程中体验、感知，并且通过学生提问的方式，促进学生在活动中进行思考，养成先思后做的习惯，这样引导学生去画出不断变化的过程图形，为后续总结分类做铺垫。同时培养学生发现问题、提出问题的能力，提出问题的过程实际就是思考的过程，也是对图形位置关系中重要要素的关注，这是对问题的第一次抽象。

2.2 动画抽象

教师收集展示部分学生所画的图形。

师：你们能试着将大家所画的图形进行分类吗？

生3：直线与圆的位置关系可以分为三类。

师追问：你能说出这种分类的标准是什么吗？

生3：看直线与圆的公共点的个数，第一种是直线与圆没有公共点，第二种是直线与圆有两个公共点，第三种是直线与圆只有一个公共点。

师：当直线与圆无公共点、有两个公共点时图形特征明显，但在第三种情形下你能确定此时只有一个公共点吗？

教学说明：这个问题激起学生强烈地认知冲突，看来用公共点的个数来刻画直线与圆的位置关系有一定的局限性，有没有其它更加准确的方法来判断直线与圆的位置关系呢？学生继续观察每个人所画图形的异同，得出的结论是所画圆的位置不同，所画圆的半径不同，逐渐将所研究的数学对象的要素呈现出来。于是圆心到直线的距离d，圆的半径r成为研究的关键要素，冰山一角逐渐浮出水面。

设计意图：通过对比活动，让学生感受直线与圆的位置可以从形的角度定性判断，也可以从数的角度定量判断，这是对问题的第二次抽象。

教师出示动态演示，利用几何画板度量d、r的值。

动画1：圆定直线动，圆的大小位置不变，将直线逐渐平移，观察直线与圆的位置关系。

动画2：圆动直线定，保持圆的半径不变，拖动圆心观察图形，接着保持圆心不动，改变半径观察图形。

教学说明：学生经历了观察、比较、动画演示的过程后，已经能够清晰的看出问题背后的数学要素，并能将其抽象的用数学语言表达为当d=r时，直线与圆只有一个公共点；当d＜r时，直线与圆有两个公共点；当d＞r时直线与圆无公共点。反之亦然，至此，水到渠成地介绍了相切、相交、相离的相关概念。

设计意图：通过图形的变化，让学生在变化的过程中发现变化的规律，在变化的过程中发现不变的本质，渗透研究问题的方法——控制变量法，同时渗透数形结合的思想，这是第三次抽象。

2.3 典例赏析

例1：如图2所示，已知∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5 cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？

图2

①R=2cm；②R=2.5cm；③R=4cm

变式：在 Rt△AOB 中，∠ABO=90°，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5cm，以P为圆心，以R为半径的圆何时与AB相切？何时与OA相切？何时与边OA有一个、两个交点？

随着图形的变化，问题变得复杂，但无论怎样变化，解决此类问题的关键是剥离出基本图形，找准半径r、垂线段d及直线L。（如图3）

图3

设计意图：从较为复杂的图形中剥离出基本图形是关键，当圆P的半径发生变化时，圆与直线OA、AB相切形成对比，帮助学生理解和抽象基本图形。圆与线段OA的交点随着圆半径的增大，交点的位置、交点的个数都发生了变化，为学生创设了运动变化的问题情境，帮助学生养成将动态问题静态来看的研究方法及关注运动临界值的意识。

3 教学反思

3.1 借运动变化展现思维过程

《课标》指出要让学生体验从具体情境中抽象出数学符号的过程。［3］大部分教师往往只关注结果及结果的运用，而忽视了学生学习过程中思维的发展，本节课巧妙借助动画演示，引导学生观察、分析、抽象、概括，帮助学生从纷繁的现实情境中剔除无关因素，将问题中隐含的数学本质凸显出来，形成了理性思维品质。

3.2 借运动变化渗透数学思想

《课标》指出教学活动中要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准。［4］这些目标的达成不是靠一两节课就能实现，它是一个长期渗透的过程。本节课通过学生画图、动画演示，使学生经历了研究问题的过程，感受对于一个较为复杂的问题，采用分类讨论办法是一种较好的研究问题的策略，它能使复杂问题简单化，分类的过程就是对事物共性的抽象过程，同时明确分类的标准可能不唯一，但每一种标准下的分类要不重复不遗漏。

3.3 借运动变化剥离几何要素

在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质是教师要重点思考的问题。本节课采用控制变量法来研究问题，运用动态图形演示，使得学生直观地发现一个量的变化对于图形间位置关系的改变所起的作用，从运动变化的角度辨证地看待问题，使得数学要素从问题背后浮现眼前，获得基本图形。在典例变式中，教师将问题在运动变化中进一步拓展，使学生将研究问题的方式进行迁移，学生的思维更加开阔，解决问题的能力逐渐增强。

3.4 借运动变化使数学抽象素养落地

发展学生数学素养是数学教学的使命担当。［5］课堂教学是落实数学学科素养的主渠道，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的育人价值，通过长期的教学实践，逐渐培养和落实。本节课经历三次抽象，逐渐剥离出研究要素间的关系，并用数学语言表达，帮助学生形成理性思维，使数学抽象素养在课堂教学中落地。一线教师不能就教知识而教学，应该站在数学学习的整体视角下思考教学，以具体知识为载体，为学生提供更加丰富的学习平台，促进学生学科素养的提升。

4 结语

学生数学抽象素养的发展不但是教学改革的要求所在，更是为了学生发展的需要。教师在教学过程中要思考创设恰当的情境，合理利用数学图形来抽象问题，引导学生挖掘问题背后的数学要素，借助运动的变化让培养核心素养落地于教学之中，帮助学生更好的学习并获得更好的发展。