基于序贯思想的高阶无迹变换多普勒雷达跟踪算法

张志斌

（昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明 650504）

0 引 言

在当今社会生产、生活过程中，人们在军事、工业生产及社会活动等领域都会使用雷达技术[1]。为了满足频率稳定度的要求，方便检测出回波信号微小的频率变化，即由目标相对于雷达的径向运动而引起的雷达回波信号的频率变化，研究者基于电磁波的多普勒效应研发了多普勒雷达[2-4]。多普勒雷达对雷达信号的快速有效处理分析是重点研究领域，同时对目标的跟踪也是这种信息技术应用的重要基础[5]。因此，研发出既可以高效探测目标，又能够提供精确有效的位置信息的多普勒雷达跟踪算法，是这些应用的首要条件。目前，多普勒雷达技术主要应用在战场观察、环境监测、灾害预警及抢险救灾等应用领域，未来前景非常广阔。

利用多普勒雷达实现目标跟踪[6]的过程，已经有很多学者展开研究。在实际场景中，雷达检测到的信号和运动目标之间并不是线性关系，通常都包含复杂的非线性形态。对此，常用的处理非线性形态的方法有扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filtering，EKF）[7]和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filtering，UKF）[8]。其中，扩展卡尔曼滤波在处理过程中主要利用泰勒级数展开，将跟踪系统转化为线性问题，将展开式中所有二阶及高阶项略去，这样就可将系统线性化，使得这个问题能够用卡尔曼滤波（Kalman Filtering，KF）方法来解决。无迹卡尔曼滤波不需要将非线性模型转化成线性模型，只借助无迹变换重新构造sigma点，使非线性系统适用于线性KF算法。尽管这两种滤波算法自从发明以来在很多工程领域都广泛应用，但是EKF算法需要求解复杂形式的雅克比行列式，由于算法本身较大的计算量，会把不精确的地方暴露出来，而UKF在处理高维数问题时会出现不正定的问题，导致精度降低。因此，文献[9]提出一种新的基于压缩感知处理的序贯扩展卡尔曼滤波方法，通过压缩采样匹配重构方法获得目标的多普勒量测值，比传统EKF能更有效地跟踪目标。文献[10]提出提高无迹卡尔曼滤波的精度，用序贯无迹卡尔曼滤波方法依次处理方位角、俯仰角和距离，来进行雷达目标跟踪。文献[11]指出，由于航空器在实际航行过程中的追踪精确度不足，将高阶UKF算法运用在真实的航空器飞行数据中，可以提高跟踪精确度。文献[12]针对标准无迹卡尔曼滤波算法由于自适应能力较弱而造成滤波器计算准确度降低的问题，给出了一种自适应序贯UKF滤波器处理计算方法。

基于多普勒雷达对目标跟踪过程中，所量测信号的强非线性变化对目标跟踪精确度所产生的影响，本文提出一种序贯高阶无迹变换的卡尔曼滤波算法。该算法引入了多普勒雷达对目标进行观测的各种信息，在观测方程中通过结合使用方位角、俯仰角、多普勒速度，以及利用对非线性的高阶无迹变化的采样，来降低对非线性量测方法中目标跟踪精确度的干扰。实测结果表明，所提方法对目标的位置和速度都具有较高的预测精度。

1 问题描述

1.1 目标动态模型

在笛卡尔坐标系下，目标运动状态可以考虑以下模型：

1.2 雷达观测模型

雷达测量方程[13]可以表示为：

式中：zk代表k时刻雷达测量方程，h(xk)为距离、方位角、俯仰角和多普勒速度测量值的集合，nk为零均值高斯白噪声。

多普勒雷达测量目标距离、方位角、俯仰角及多普勒速度，对等式（2）测量的信息进行具体化表达如下：

式中：rkm，bkm，ekm及分别是真实目标距离、方位角、俯仰角和多普勒速度的雷达测量值，hr(xk)为距离测量值，hb(xk)是方位角测量值，he(xk)是俯仰

2 序贯高阶无迹卡尔曼滤波方法

雷达观测中有各种状态分量，常规的办法是对这些状态分量一起进行处理。而在多普勒雷达中，可以利用序贯思想处理。序贯的思想是：经过雷达测量后得到一系列非线性测量值，这些测量值的非线性程度各不相同，建议雷达按照非线性程度对不同参数进行处理。在上述1.2节中的雷达观测模型，建议按角度测量、距离测量和多普勒速度的顺序进行滤波处理。

2.1 高阶无迹变换

高阶UT变换[14-15]可以对称地选择2n2+1个Sigma点。选取的Sigma点可以对应n维高斯随机向量x的前4个阶矩（均值、协方差、偏度、峰态）和所有的高阶奇次阶矩。

相应的协方差为：

其中：

权重wi(i=0,1,…,2n)由以下公式给出：

式中：参数λ是缩放因子，参数β用于结合xk分布的先验知识，对于高斯分布，β=2是最佳的。

2.2 高阶无迹卡尔曼滤波算法

将高阶无迹变换应用到线性贝叶斯滤波结构中，可以得到高阶无迹卡尔曼滤波，步骤如下。

2.2.1 时间更新

设k-1时刻随机变量xk-1的后验概率密度函数已知，对Pk-1|k-1进行cholesky分解得到平方根矩阵Sk-1|k-1，状态向量的估计误差协方差矩阵表达如下：

通过高阶无迹变换引入单位随机变量的sigma点σi(i=1,2,…,m)：

式中：Xi,k-1|k-1为第一类、第二类、第三类sigma点集合的表示形式。

将引入sigma点后的状态进行非线性传播，得到变换的样本：

计算k时刻状态的一步预测值：

计算k时刻的状态进一步预测估计误差协方差：

2.2.2 量测更新

（1）预测协方差分解：

（2）通过高阶无迹变换引入单位随机变量的sigma点σi(i=1,2,…,m)：

（3）将引入sigma点后的状态进行非线性传播，得到变换的样本：

（4）计算k时刻量测的一步预测值：

五月，我在省肿瘤医院的病房前，看到一棵流苏树开满了白色的花朵，远观整个树冠像是一片白色的流动的云。近看，每一朵花垂下来的丝绦，绵软光滑，在五月的微风里随风摇曳，温柔的、醉人心的。

（5）计算k时刻量测的一步预测估计误差协方差矩阵：

（6）计算k时刻状态与量测的互相关协方差 矩阵：

（7）计算计算k时刻高阶UKF的滤波增益：

（8）计算k时刻高阶UKF的状态估计：

（9）计算k时刻高阶UKF的状态估计误差协方差矩阵估计：

根据序贯理论思想，将按照角度测量、距离测量、多普勒速度的顺序得到对应的高阶无迹变换，再应用到贝叶斯滤波系统，就可以得到序贯无迹卡尔曼滤波算法，从而实现对目标的跟踪。

3 仿真及分析

为了用雷达测量来测试非线性跟踪滤波器的性能，考虑了一个在平面上运动速度几乎恒定的目标。对于目标速度、位置性能比较，均方根误差（RMSE）写成以下表达式：

式中：xi表示观测值，表示真实值，n表示观测次数。经过100次蒙特卡洛独立试验，所得的仿真结果如下。

匀速运动模型的场景如图1所示，匀速运动模型下，速度的均方根误差和位置的均方根误差如 图2、图3所示。

图1 匀速运动模型

图2 速度误差性能比较

图3 位置误差性能比较

由图2结果可见，本文所提方法的速度均方误差最小，且基本处于0.2以下，收敛速度是几种方法中最快的。在最初前5 s左右，静态融合转换卡尔曼滤波（SMCMKF）方法由于对先验信息积累不够，当受到外部噪声影响时，会有较大的扰动，而高阶无迹卡尔曼滤波（HUKF）由于处理非线性信息时对所有的信息进行一起处理，从而导致误差会有所偏大。

由图3结果可见，本文所提方法由于最初需要判断要进行处理的非线性信息，刚开始10 s内会出现跟踪效果不如其他两种方法的情况，但是在之后，跟踪性能是三种方法中最好的。高阶无迹卡尔曼滤波（HUKF）虽然在最初位置收敛速度快，但是由于处理的信息中包含非线性量较多，在处理过程中性能表现并不稳定。几种方法的均方差比较如表1所示。

4 结 语

对于雷达目标跟踪问题，实际情况中很多都是强非线性场景。目标跟踪中，对非线性进行恰当处理能够得到较好的跟踪效果。本文运用序贯高阶无迹卡尔曼滤波方法，依次对处理角度信息、距离和多普勒速度进行滤波处理，在跟踪性能上有所提升。该方法可以提高滤波精度，同时也可以提高计算效率。