Green函数法求解直井分层压裂裂缝井的井底压力

杜宗和,王金礼,咸玉席,俞天喜,晓 春,封 猛

(1.中国石油新疆油田分公司 勘探事业部,新疆 克拉玛依 834000; 2.中国石油西部钻探工程有限公司 试油公司,新疆 克拉玛依 834000;3.中国科学技术大学 工程科学学院,安徽 合肥 230027)

0 引 言

对于低渗透油气藏储层,采用常规开采技术难以达到工业产能,目前普遍采用直井多层压裂和水平井多段压裂技术进行开发。油藏的动态测试资料是了解油藏动态开发、掌握油藏产能、流体性质、井间干扰及井底压力等数据的唯一手段。但由于低渗透储层与常规高渗储层的渗透机理和压裂规模存在差异性,常规资料解释方法已不能满足分层动态测试解释需求,无法准确给出油藏的井底压力参数。目前虽然已有很多用于解释水平井多段压裂的方法,但是直井与水平井在流动机理上不同,导致适用于水平井多段压裂的理论不能直接应用于直井分层压裂动态测试资料的解释。目前还没有能够应用油藏动态测试资料对直井分层压裂裂缝井进行解释的理论模型。因此,研究出一种适用于低渗透油藏直井分层压裂的解释方法十分重要。

国内外研究者提出了很多分层油藏的模型。文献[1-2]在文献[3]提出的2层油藏体系模型基础上对多层油藏进行总结和分析,认为无层间流的层状油藏通常称为层状混合油藏;文献[4]指出文献[3]提出的模型难以求解,并且当层数超过2个时适用性不强;文献[5-7]分别建立了考虑无串流和有串流情况下的多层油藏渗流模型,并求得井底压力解析解,但是依据合试压力资料不能准确获取各小层储层参数;文献[8-9]利用多流量测试技术测量各小层产量和井底压力数据,同时根据各层流量与井底压力、脉冲响应的关系,获得了多层油藏渗流井底压力的一般表达式;文献[10]针对多层油藏渗流模型,利用半解析方法求解井底压力;文献[11]研究非稳态窜流多段压裂水平井的井底压力,建立了考虑启动压力梯度和应力敏感性在压裂区存在非稳态窜流的五线性流数学模型,得到Laplace空间下的井底压力解;文献[12]建立存在3层地层串流情况下的井底压力动态模型,推导得到各层流量与井底压力的解;文献[13]研究多层油藏在3种边界下的井底动态压力,建立渗流数学模型,并求解了多层油藏井底压力的表达式;文献[14]建立多层合采复合油藏渗流模型,绘制边界为封闭边界条件的井底压力理论典型曲线,并分析曲线的敏感性特征;文献[15]对垂直非均质封闭边界分层油藏进行瞬态压力分析,提出利用等效复合区域和等效影响边界半径确定外凸层的厚度和半径。但是对于分层油层的压力测量十分困难,因此反演油藏井底压力具有重要的意义。

以上研究主要还是基于试井理论进行地层参数反演,而利用生产过程中测试得到的动态资料并不能有效反演井底压力,因此使用以上模型解释动态资料时会出现解释参数不准确、解释结果不合理等问题。利用生产动态资料反演得出的井底压力是产能预测的关键参数之一。同样在其他模式开发油气藏过程中利用动态生产资料准确反演得到井底压力对试井也极为重要。文献[16]提出利用基于反褶积的总体最小二乘法预测变流量条件下的井底压力;文献[17]提出波动和流动耦合的缝洞型油藏试井模型,并结合外部地层渗流方程求解出井底压力。

本文提出一种适用于直井分层压裂裂缝井的渗流模型,该模型在不考虑层间串流情况下能够用于解释垂直裂缝井的动态测试资料。首先建立直井分层压裂裂缝井的数学模型,考虑各层表皮和井储效应,通过Laplace变换并引入Green函数,求解各层渗流偏微分方程,并获得最终解,给出垂直裂缝井分层井底无量纲压力及图版;然后根据模型的典型曲线特征,对主要控制参数进行敏感性分析,并通过应用实例表明该模型的正确性。

1 分层渗流力学模型的建立

1.1 模型假设

油藏整体由断层隔开,层与层相互之间没有串流,即各层间不能通过断层有任何形式的流体交换,各层的流体经过渗流汇集到井筒,并且假设:

(1) 每个分层是均质油藏,具有等温特点。

(2) 储油层间的流体均是微可压缩的。

(3) 各分储油层的厚度一定,不因位置的不同而改变。

(4) 各储油层同时开井,在开井前层与层之间不存在流体交换。

(5) 井筒中的流体在开井瞬间充分混合,各层井筒压力在开井后相等。

(6) 各层因处于不同地层深度造成的压力差不予考虑。

(7) 各层可以存在垂直裂缝。

1.2 数学模型

假设该模型由初始压力不同的N层油藏组成的层间无窜流多层合组成,则第j层的压力控制方程可表示为:

(1)

其中:Δpj为地层深度引起的压力差,Δpj=p0-pj,p0为某层的井底压力(下标0表示参考值,一般取某层值),pj为第j层的地层压力;qvj为第j层的源汇项;K为渗透率;μ为流体黏度。

初始条件为:

Δpj(t=0)=Δpij

(2)

其中,下标i表示初始时刻的参数值。

各层的井壁压力被认为各层相等,即

Δpwj=Δpw

(3)

其中,下标w表示井壁处参数值。

各层渗流偏微分方程的解用Green函数Gj表示,则有:

Δpj=Δpij+

(4)

其中:Dj为集中源区域;φ为地层孔隙度;r为径向矢量半径;CT为综合压缩系数。

集中源在该域积分后有:

(5)

其中:qj为第j层的单位时间产量;βj=hj,hj为第j层的有效厚度。

将(5)式代入(4)式可得:

(6)

对于垂直裂缝井,Green函数在笛卡尔坐标下的表达式为:

(7)

其中:χ为地层及流体的导压系数,即扩散系数,χ=K/(φμCT);xf为裂缝半长;(xw,yw)为井筒坐标;(x,y)为空间任一点的位置;erf(x)为误差函数。

1.3 考虑各层表皮因子和井储效应

将表皮因子和井储效应加入到数学模型中。

(1) 考虑表皮因子Sj,内边界条件需要进行修改,此时各层井筒压力不再相等,有

(8)

其中,rw为井筒半径。

则由(8)式可得井底压力为:

(9)

(2) 考虑井储效应Cj,流量计算公式为:

(10)

其中:qj为第j层地层流入井筒的流体流量;qT为由井筒流出地面的流体流量。

2 模型求解

对(9)式作Laplace变换,可得:

(11)

因此,有

(12)

其中:u为Laplace变量;-表示该函数的Laplace变换。

对(10)式作Laplace变换,可得:

(13)

(14)

CT=∑Cj

(15)

(16)

(16)式表示井筒初始压力。

由(12)式、(13)式可得:

(17)

(18)

(19)

下面利用Green函数方法得到井筒混合压力和分层流量在Laplace空间内的解。为方便计算,需要求解分层流量和井筒混合压力在Laplace空间下的无量纲解,定义如下无量纲参数:

(20)

其中:下标a表示平均;qD为无量纲地层流量。

(21)

(22)

(23)

hT=∑hj

(24)

令流度比Kj、储容比ωj分别为:

(25)

(26)

则应有:

∑Kj=1

(27)

引入无量纲参数后,可以得到分层流量和井筒混合压力在Laplace空间下的无量纲解为:

(28)

(29)

其中,uD为无量纲的Laplace变量。

对于垂直裂缝井,Laplace空间上的Green函数为:

(30)

u′=uD/χD

(31)

χD=Kj/ωj

(32)

其中:K0、K1分别为第2类零阶、一阶虚宗量Bessel函数;L0(x)、L1(x)分别为零阶、一阶修正的Struve函数。

(33)

(34)

(35)

其中,Γ(x)为Γ函数。

沿用试井的思路,利用Stehfest数值反演算法进行数值反演,可以得到真实空间下的井底压力解。

3 典型曲线

根据井底压力解得到垂直裂缝井分层井底无量纲压力及图版,如图1所示。

图1 垂直裂缝井分层典型曲线

从图1可以看出,垂直裂缝井分层井底无量纲压力及图版中的典型曲线由4个部分组成,各段特点如下所述。

第Ⅰ部分,为井筒存储段,由于受井筒存储的影响,压力及其导数双对数曲线重合,并且为一条45°的直线段。

第Ⅱ部分,为由井筒存储段向线性流段的过渡段,压力导数出现峰值,其峰值的高低受机械表皮Sm值影响,Sm越大,其峰值越高。

第Ⅲ部分,为线性流段,压力及其导数曲线近似平行,且其直线段斜率都为1/2,主要是由于垂直裂缝中的线性流动引起。

第Ⅳ部分,为地层径向流段,从整个地层来看,垂直裂缝井相当于一口直井,从而形成径向流动。

虽然在理论上无限大地层中均匀流量型垂直裂缝井的典型曲线由4个部分组成,但实际均匀流量型垂直裂缝井的井底压力实测数据往往只出现第Ⅲ部分和第Ⅳ部分。在大部分情况下垂直裂缝井的井底压力只有在时间非常短的情况下才出现井筒存储效应,而这个时间难以通过测量得到。

4 应用实例

新疆油田某实测井,第1层3 840.00～3 844.00 m,厚度4.00 m,第2层3 812.00～3 818.00 m,厚度6.00 m,第3层3 782.00～3 787.00 m,厚度5.00 m,第4层3 737.00～3 742.00 m,厚度5.00 m。4层合计总厚度为20.00 m。因为整个油藏段为98 m,物性参数差异性很小,所以孔隙度φ、压缩系数CT、黏度μ可取均值,分别为8.74%、9.411×10-4MPa-1、0.468 mPa·s。每层表皮Sj大致相同,即Sm=Sj。利用本文方法反演该实测井4层的不同参数,结果见表1所列。

表1 实测井基础参数

表1中,渗透率通过测试得到,裂缝半长通过停泵压力反演得到。

根据实测井的基本参数,利用Green函数方法求解直井压裂井的井底压力,如图2所示。从图2可以看出,整体预测无量纲压力与实测井底压力吻合较好。在第Ⅰ部分,预测曲线是一条斜率为1的直线,具有明显井储特征。第Ⅱ部分具有井筒存储段向线性流段的过渡特征,但预测的压力导数变化与实测数据的压力导数变化相比较小,可能是由于各层之间存在串流导致。第Ⅲ部分的无量纲压力导数曲线是一条斜率为1/2的直线,具有明显的垂直裂缝中线性流动特征。在生产一段时间后,地层流动特性发生改变,由线形流动转变为径向流动,可将垂直裂缝井近似认为是直井,并具有压力可传导边界,如第Ⅳ部分所示。

图2 实测井预测无量纲井底压力与实测压力对比

5 结 论

(1) 直井进行分层压裂,每层产生垂直裂缝,各层的流体经过渗流汇集到井筒。本文在假设各层不存在串流的情况下,建立渗流力学的控制模型并引入Green函数求解各层渗流偏微分方程,在Laplace空间求解得到直井的井底动态压力。求解直井分层压裂裂缝井渗流方程所得预测井底压力与实测井底压力吻合较好,可用于解释地层中的流动特性变化。

(2) 本文提出的模型适用于多层压裂垂直裂缝井的动态资料解释,可以解释层数大于2层的垂直裂缝井的动态资料。