一道高等数学求极限习题的不同解法背后所蕴含的数学知识与原理

李 霞

(云南民族大学 650031)

1 由一题多解引发的疑问

=5-3=2

(此处利用等价代换，当x→0时，sinx～x,sin5x～5x,sin3x～3x)

利用等价无穷小代换求极限可以使得计算简化，从以上几种方法比较来看，方法三与四应该是所有解法中较简单的，但是却很少有甚至没有同学用这两种方法做.

问题例1能不能写成如下形式呢？

在讲课本第一章第3节无穷大与无穷小，利用无穷小量进行等价代换求极限时，我们通常对学生强调，可以对分式的整个分子或分母进行等价代换，也可以代换分子或分母中的因式，但分子或分母为多个式子的代数和的时候，一般不能代替其中的一项，否则就易出错.为什么不能代换，很多书上避而不谈，可为什么如上问题结论又是对的，那样做到底对不对，这或许就是很多同学迷惑的原因.

2 解决疑问有妙招：极限四则运算法则来帮忙

例1利用等价无穷小求极限的问题，可以归结为分式中分子或分母只有其中一个可直接等价代换或只有其中一个可化简成乘积的形式进行代换的情形，怎么求极限呢，我们可以结合极限的四则运算法则来解决.

例2判断下列的题能否拆成两项直接利用等阶无穷小代换进行求极限.

(∵当x→0时，sinx～x,tanx～x,ln(1+2x2-x3+2x4)～2x2-x3+2x4)

那么对以分子分母都是加减，且分子分母都不易化成乘积的形式的极限计算，还能利用等价代换吗？

3 还有疑问再探究：查阅资料引理来帮忙

以上例4求极限的问题，可以归结为分式中分子和分母都不能化简成乘积的形式的情形，那是否还可以用等价代换呢？

笔者查阅了相关资料，对于此种类型的极限计算的方法，在许多文献中都有介绍，除了利用洛必达法则外，仍可以利用等阶无穷小代换来求解.在作者祝微、杨春艳《等阶无穷小代换定理的拓展》一文中，给出了如下定理，下面我以引理形式给出：

设α～α′，β～β′，γ～γ′，μ～μ′均为同一变化过程中的无穷小量.

引理1与引理2的证明，见参考文献[3].

利用引理的结论，例4就可以直接利用如下等阶代换求极限：

总之，使用等价无穷小代换，是求函数极限常用的一种方法之一，在一定条件下，恰当地利用等价无穷小代换求极限，可以很大程度上简化极限的计算.当然，等学生学习了第二章导数及第三章微分中值定理以后，对于这种“0/0”型的极限计算，也可以考虑用洛必达法则求极限.