概率知识核心考点综合演练

2022-05-23 10:14张夏刘中亮
中学生数理化·高一版 2022年5期
关键词:黄球判断题白球

张夏 刘中亮

一、选择题

1.下列命题中正确的是()。

A.事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率fn(A)

B.一个质地均匀的骰子掷一次得到3点9的概率是,说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点

C.掷两枚质地均匀的硬币,事件A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事件B为“两枚都是正面朝上”,则P(A)=2P(B)

D.对于两个事件A,B,若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B互斥

2.下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(AUB)=P(A)+P(B);③若事件A,B, C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A 与B是对立事件。其中正确命题的个数是()。

A.1

B.2

C.3

D.4

3.(多选题)某次数学考试的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。”已知某选择题的正确答案是C,D.且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,则下列表述正确的是()。

A.甲同学仅随机选一个选项,能得3分的概率是

B.乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是

C.丙同学随机选择选项,能得分的概率是

D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是

4.(多选题)从集合A={—1,—3,2,4}中随机选取一个数记为a,从集合B={—5,1,4}中随机选取一个数记为b,则()。

A.ab>0的概率是

B.a+b≥0的概率是

C.直线y=ax+b不经过第三象限的概率是

D.lna+lnb>1的概率是

5.(多选题)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是()。

A.P(B)=7/10

B.P(AUB)=8/10

C.P(ANB)=0

D.P(AUB)=P(C)

二、填空题

6.。

7.。

8.口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1个黄球”,C=“取出的2球至少有1个白球”,D=“取出的2球不同色”,E=“取出的2球中至多有1个白球”。下列判断中正确的序号为。

①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(CUE)=1;⑤P(B)=P(C)。

三、解答题

9.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35。

(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?

(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?

10.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5题,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题。

(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

11.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:

A组:10,11,12,13,14,15,16。

B组:12,13,15,16,17,14,a。

假设所有病人的康復时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙。

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率。

(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率。

(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

12.在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写着摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱。

(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?

(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?

(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱。

参考答案与提示

一、选择题

1.提示:频率与试验次数有关,且在概率附近摆动,A错误。概率是指一个事件发生的可能性的大小,一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是表示一次试验发生的可能性是,则骰子掷6次出现3点的次数也不确定,B错误。利用列举法可知基本事件总数为4,根据概率计算公式得P(A)=2/4=1/2,P(B)=1/4,则P(A)=2P(B),C正确。设xE[—3,3],A表示从[—3,3]中任取一个数x,使得xE[1,3]的事件,则P(A)=1/3.B表示从[—3,3]中任取一个数x,使得xE[—2,1]的事件,则P(B)=1/2,显然P(AUB)=5/6=1/3+1/2=P(A)+P(B),此时A与B不互斥,D错误。应选C。

2.提示:对立事件一定是互斥事件,①正确。当A与B是互斥事件时,才有P(AUB)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(AUB)=P(A)+P(B)- P(AB),②不正确。不一定等于1,还可能小于1,即P(A)+P(B)+P(C)≤1,③不正确。④中,如袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球,从袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B={摸到黄球或黑球},显然事件A与B不互斥,但P(A)+P(B)=1/2+1/2=1,①错误。应选A。

3.提示:甲同学仅随机选一个选项,共有4个基本事件,分别为{A},{B},{C},{D},随机事件“能得3分”中有基本事件{C},{D},则“能得3分”的概率为

1/2,A正确。乙同学仅随机选两个选项,共有6个基本事件,分别为{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B, D},{C,D},随机事件“能得5分”中有基本事件{C,D},则“能得5分”的概率为,B正确。丙同学随机选择选项(丙至少选择一项),由A、B中的分析可知共有基本事件15个,分别为:选择一项为{A},{B},{C},{D},选择两项为{A,B},{A,C},{A,D},{B, C},{B,D},{C,D},选择三项或全选为{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D}, {A,B,C,D},随机事件“能得分”中有基本事件{C},{D},{C,D},则“能得分”的概率为3/5=1/5,C正确。丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知,共有基本事件11个,随机事件“能得分”中有基本事件{C,D},则“能得分”的概率为D错误。应选A, B,C。

4.提示:由题意得(a,b)所有可能的取法为(—1,—5),(—1,1),(—1,4),(—3,—5),(-3,1),(-3,4),(2,-5),(2,1),(2,4), (4,—5),(4,1),(4,4),共12种。对于A,满足ab>0的取法为(—1,—5),(—3,—5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6种,所以ab>0的概率P=1/2,A正确。对于B,满足a+b≥0的取法为(—1,1),(—1,4),(—3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共7种,所以a+b≥0的概率P=7/2,B不正确。对于C.因为直线y=ax+b不经过第三象限,所以a<0,b≥0,满足直线y=ax+b不经过第三象限的取法为(—1,1),(—1,4),(—3,1),(—3,4),共4种,所以直线y=ax+b不经过第三象限的概率P=1/3,C正确。对于D.因为lna+Inb=lnab>1,所以a>0,b>0, ab>e,满足lna+lnb>1的取法为(2,4),(4,1),(4,4),共3种,所以lna+1nb>1的概率P=1/4,D不正确。应选A,C。

5.提示:由题意知A,B,C为互斥事件,C正确。因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,所以P(B)=7/10,P(A)=2/20=1/5,P(C)=1/10,则P(AUB)=8/10,A,B正确,D错误。应选A,B,C。

二、填空题

6.提示:由事件A,B互为对立事件,其概率分别为P(A)=1/2,P(B)=4/42,且x>0,y>0,可得P(A)+P(B)=1/2+4/2=1,所以x+y=(x+x)(1/2+4/2)=5+4/2+/≥ 5+2/2·/=9,当且仅当x=6,y=3时取等号,所以x+y的最小值为9。

7.提示:由题意可得P1=1/2x2%+1/3x1.2%+1/6x1%=39000·P2=P(A) 37答案为3/39700,3/47。

8.提示:口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1个黄球”,C=“取出的2球至少有1个白球”,D=“取出的2球不同色”,E=“取出的2球中至多有1个白球”。①由对立事件定义得A与D为对立事件,①正确。②B与C有可能同时发生,B与C不是互斥事件,②错误。③C与E有可能同时发生,不是对立事件,③错误。④基本事件的总数为15,由P(C)=1-5/15=3/5,P(E)=145,P(CE)= ,可得P(CUE)=P(C)+P(E)- P(CE)=1,即CUE=Ω,④正确。⑤由 P(B)=4/5,可得P(B)≠P(C),⑤错误。答案为①④。

三、解答题

9.提示:(1)设事件“电话响第k声时被接”为A(kEN),那么事件A,彼此互斥。设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式得P(A)=P(A1UA2UA3UA1)=P(A1)+P(A2)+ P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.5= 0.95。

(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为A。根据对立事件的概率公式得P(A)=1-P(A)=1-0.95=0.05。

10.提示:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为P1,P2。“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况为(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,P2),(x3,P1),(x3,P2),共6种; “甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况为(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2, x2),(p2,x3),共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2, x3),(xз,x1),(xз,x2),共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况为(p1,p2),(p2,p1),共2种。因此基本事件的总数为6+6+6+2=20。

(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)=3/20=3/10。记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,则P(B)=/20=3/10。故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为P(AUB)=P(A)+P(B)=3/5。

(2)记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C,则C为“甲、乙两人都抽到判断题”。由题意得P(C)=2/20=1/10·故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P(c)=1-1/10=1/10。

11.提示:(1)甲有7种取法,康复时间不少于14天的有3种取法,所以概率P=3/7。

(2)如果a=25,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙,共有49种取法,甲的康复时间比乙的康复时间长的为(13,12),(14,12),(14,13),(15,12),(15,13),(15,14),(16,12)(16, 13),(16,15),(16,14),即10种取法,所以概率P=1/49。

(3)把B组数据调整为a,12,13,14,15,16,17或12,13,14,15,16,17,a,可见当a=11或a=18时,与A组数据方差相等。(可利用方差公式加以证明,但本题不需要)

12.提示:把3只黄色乒乓球标记为A,B,C,3只白色的乒乓球标记为1,2,3。从6个球中随机摸出3个的基本事件为ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12, A13,A23,BC1,BC2,BC3,B12,B13,B23, C12,C13,C23,123,共20个。

(1)事件E={摸出的3个球为白球},事件E包含的基本事件有1个,即摸出标记为123的3个球,所以P(E)=1/20=0.05。

(2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球},事件F包含的基本事件有9个,所以P(F)=3/20=0.45。

(3)事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球},则P(G)=2/20=0.1。假定一天中有100人次摸奖,由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次,不发生90次,则一天可赚90x1—10x5=40(元),可知一个月可赚1200元。

作者单位:1.河南省焦作市第一中學

2.河南省开封市第十中学

(责任编辑郭正华)

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